Spline estimate of the time series trend for a random number of data at measurement instants.pdf Во многих задачах экономики, науки и техники приходится иметь дело с временными рядами. Наблюдаемые значения случайного процесса y(t) в моменты времени tb t2, ..., tN, ... образуют временной ряд. Одной из основных задач анализа временных рядов является задача выделения тренда [1] - систематической составляющей, так как выделенный тренд позволяет: а) предсказывать будущее на основе знания прошлого; б) управлять процестом, порождающим ряд; в) описывать характерные особенности ряда [2]. Идея использовать сплайны в задаче выделения тренда временного ряда не нова. В классической теории временных рядов измерения процесса производят через равные промежутки времени, причем в каждый момент времени производится ровно одно наблюдение [2-6]. Однако возможна такая организация измерений процесса, когда число проводимых измерений случайно [7]. Особенно часто такие ситуации возникают в экономических системах, например на фондовом рынке. Это приводит к необходимости разработки теории анализа временных рядов для ситуации, когда в каждый момент времени число измерений случайно. Заметим, что выделение тренда в виде полинома, порядок которого выше четырех, нецелесообразно, ибо при оценке коэффициентов полинома получается большая погрешность. С другой стороны, если количество наблюдений велико, полином невысокого порядка может неудовлетворительно описывать истинный тренд. Выход состоит в сплайновой оценке тренда временного ряда. В данной работе строится теория выделения тренда временного ряда, когда число измерений в каждый момент времени случайно сплайнами первого, второго и третьего порядков. В этом состоит принципиальное отличие данного исследования от работ других авторов. Постановка задачи Пусть имеется временной ряд y(t) = ■=T0 2T0 A = г = kT0 S ni y ti i=(k-1)T0 kT0 S n, yi i=(k -1)T0 i =T0 i=T0 2T 2Tn 0 0 S tin S n - 0 0 i=T0 г'=Т0 kT0 kT0 0 0 0 0 - S t,2n S tin i=( k-1)T0 i=( k-1)tq kT0 kT0 0 0 0 0 - S tn S n i=(k-1)T0 i=(k-1)T0 0 S n, >i-ti i=0 T0 S n, у, i=0 2T° Sni y,t, =Tc 2T0 Sn, y,■ 0 i=0 2T„ будет иметь вид A0 = Г , (3) откуда получаем решение системы 0 = (AT A)-1 AT Г . (4) Оценки (4) трудно исследовать и трудно считать, так как n, - случайные величины и, следовательно, матрица A - матрица со случайными элементами, соответственно и матрица A- становится случайной. Поэтому вместо матрицы A в уравнении (3) возьмем M[A] = XAq , где T0 S ^2 T0 S t, 0 0 .. 0 0 i=0 i=0 T0 T0 S ti S* 0 0 .. 0 0 i=0 i=0 2T0 2T0 0 0 S ^ Sti .. 0 0 i=T0 i=T0 2T0 2T0 0 0 S t, S1 i=T0 ■ =T0 kT0 0 0 0 0 •• S t,2 S t, i=( k-1)T0 i=(k-1)T„ «0 kT0 0 0 0 0 •• S t, S 1 i=(k-1)T„ i=(k-1)T> A0 = 0 Вычислив отдельно суммы, входящие в матрицу A0, с учетом того, что tt = i. получим 0 0 0 0 T 6 3(2k - 1)(T0 +1) 6 (5) 2T02 (3k2 - 3k +1) + +3T0(2k -1) +1 ... 3(2k - 1)(T0 +1) От матричного уравнения (3) перейдем к уравнению XA00 = Y , в котором A0 представлена (5). Заметим, что матрица A0 является квазидиагональной. Обозначим (0 - нулевая матрица) "A„ 0 ... 0 2T02 + 3T0 +1 3 (T +1) 3 (T0 +1) 6 = T0 [An,A 0 0 A = Tl A0 = 6 22 kk '22' 0 0 Тогда для обратной матрицы имеет место равенство A0 1 = TT [ A11 1, A22 1, Akk 1 ] . T0 Убедившись, что матрица A0 является невырожденной, находим обратную матрицу A0-1, которая так же, как и исходная матрица, является квазидиагональной, с элементами, стоящими на главной диагонали вида _6_ kk T00 где 2 11 _ 2 2 T02 - 12s(2s + 1)T0 - (12s2 + 12s +1) ai О = aT\ = (2s + 1)(T +1) T02 - 12s(2s + 1)T0 - (12s2 + 12s +1): 2(3s2 + 3s + 1)T02 + 3(2s + 1)T0 +1 3 (T02 - 12s(2s + 1)T0 - (12s2 + 12s +1)) s = 0, k -1. 22 Знание обратной матрицы позволяет в явном виде записать оценки неизвестных параметров тренда в виде (6) Выделение тренда в виде сплайна второго порядка Теперь в условиях предыдущей задачи в качестве функций ф^ , s = 0, к -1, возьмем функции вида toi2 + bsti + Cs, если t, е [s70;(s +1)70], [0, если ti g [s70;(s +1)70]. Задача выделения тренда сводится к нахождению оценок as, bs, cs неизвест ных параметров as, bs, cs, s = 0, к -1, и исследованию этих оценок. Так же как и в предыдущем пункте, воспользовавшись методом наименьших квадратов исходя из условия к (s+1)70 ,- , . Л 2 )]2 -(г + b,ti + с, min a,,b. si si Q = Z Z П [У-( s=0 i=s70 найдем оценки неизвестных параметров. После дифференцирования предыдущего выражения по as, bs, Cs, s = 0, к -1, получим систему уравнений (3), в которой 0 = [a0, b0, с0, ax, b1, C1,..., ak bk _J, Ck _j]r , A - квазидиагональная матрица с диагональными элементами вида i=0 s = 1, к, и Y = 7 Z ПУгЧ2 !=( к-1)Г0 Z ni уi ti 1=(к-1)70 Z ni У i=( к-1)70 От матричного уравнения (3) перейдем к уравнению AA00 = Y, в котором A есть квазидиагональная матрица, в которой диагональные элементы имеют вид Z n У г ti2 i=0 70 Z ni yi ti =0 70 Z П У s70 s70 s70 Z ^пг Z Z ti :=( s-1)70 i=(s-1)70 i=( s-1)7) s70 s70 s70 z ts Z t^nt Z ' i=( s-1)70 i=(s-1)70 i=( s-1)70 s70 s70 s70 Z tS Z Z :=( s-1)70 i=(s-1)70 i=( s-1)70 i=0 70 70 +1 a11 a12 a13 a21 a22 a23 _ a31 a32 a33 _ где a11 = 2T0 [6Т03 (1 + 10s2 - 5s + 5s4 - 10s3) + 3T02 (10s2 - 10s + 3) + T0 -1] , a33 = 60, a12 = a21 = 15T02(2s -1) ((2s2 - 2s + 1)T0 +1), a13 = a22 = a31 = 10T0 (2(3s2 - 3s + 1)T0 +1) , a23 = a32 = 30(2s - 1)T0 , s = 0, к -1. Тогда обратная матрица к матрице A0 будет также квазидиагональной матрицей с диагональными элементами вида 0 0 a 12 a 13 60 T) +1 a 31 a Здесь 3 -3(2 s -1) a 10 = a 01 = 21 (T03 + 4T02 + T0 - 6) a 11 = 11 TO3 + 4T02 + T0 - 6) (6s2 - 6s + 1)T0 -1 2(T03 + 4T02 + T0 - 6) 0 _ 0 _ a 23 - a 32 - 32 -3 (T02 (20s3 - 30s2 + 14s - 2) - (2k - 1)T0 - (2s -1)) 10(T03 + 4T02 + T0 - 6) T03 (60s4 - 120s3 + 84s2 - 24s + 3) - (12T02s(s -1) + T0 (12s2 - 12s +1) + 2) a 33 = 20(T03 + 4T02 + T0 - 6) s = 0, k -1. Оценки неизвестных параметров тренда задаются выражением (6). Выделение тренда в виде сплайна третьего порядка Теперь, в качестве функций

Скачать электронную версию публикации