The problem of unilateral contact of flexible nonstretchable rope and rigid solid.pdf Гибкая нерастяжимая нить является одной из простейших механических систем с бесконечным числом степеней свободы [1]. Для такой нити, как и для близких «одномерных» систем (струна, балка), могут быть поставлены контактные задачи. В [1] рассмотрены задачи о контакте нити с абсолютно твердым телом, как гладким, так и шероховатым (задача Эйлера). При этом область контакта нити и тела предполагается обычно заранее известной (совпадающей со всей нитью), хотя формально контакт считается односторонним и нить может отставать от тела. Задачи с заранее неизвестной областью контакта менее изучены; в [1, с. 53] имеется только одна такая задача, в которой обоснование правильности найденной области контакта является несложным. Более сложные задачи такого рода могут быть исследованы с помощью подхода, предложенного в [2-5] для струн и балок. В настоящей работе рассмотрена плоская задача о контакте находящейся в равновесии тяжелой гибкой нерастяжимой нити с абсолютно твердым гладким телом (рис. 1). Отклонение нити от вертикали предполагается малым. Целью работы является строгая математическая постановка задачи, доказательство единственности решения и построение аналитического решения в двух частных случаях. Этим построением одновременно доказывается существование решения. Постановка контактной задачи Форма твердого тела описывается заданной функцией f (x). Нерастяжимая нить длины L закреплена в точке O и находится в поле силы тяжести. Трение между нитью и телом отсутствует. Форма нити в равновесии описывается искомой функцией u(x) (рис. 1). Обозначим r(x) = u(x) - f (x) (расстояние между нитью и телом). При малом отклонении нити от вертикали 0 < x < L, силы, с которыми тело действует на нить, направлены вдоль оси у; плотность этих сил обозначим через q(x). Используя принцип возможных перемещений [6], нетрудно найти, что х Рис. 1. Контакт нити r (x) =j Г (\Lq(t) dt - f(x), (1) 0 \ s ) m(s)g где g - ускорение свободного падения, m(s) - заданная масса участка нити s < x < L. Функцию m(x) будем считать положительной и непрерывной при 0 < x < L. Положительность m(L) означает, что на конце нити имеется сосредоточенная масса. Это предположение сделано для того, чтобы избежать возможной расходимости интеграла (1) при x = L (и аналогичных интегралов ниже). Отыскание u(x) сводится, таким образом, к отысканию q(x). Будем считать, что q(x) имеет вид p( x) + Х P S( x - x,), (2) где p(x) > 0 - кусочно-непрерывная, непрерывная слева при 0 < x < L и непрерывная справа при x = 0; P, > 0; x, > 0 (все x , различны); сумма конечна; 5 - дельта-функция Дирака. Условие контакта нити и тела состоит, помимо неотрицательности q(x), в том, что расстояние между нитью и телом неотрицательно, а в тех точках, где q(x) положительна, равно нулю. Окончательно приходим к следующей математической постановке задачи. Задача. Найти функцию q(x) вида (2), такую, что при 0 < x < L r % (3) {> 0 (q(x) = 0), где r(x) выражается формулой (1). Утверждение 1. Поставленная задача может иметь только одно решение. Доказательство Пусть q(x) и q (x) - два решения задачи. По формуле (1) им соответствуют функции r(x) и r (x). Обозначим Ф( x) = q( x) - q* (x). (4) Так как q(x) и q (x) имеют вид (2), то 9(x) также имеет вид (2), но p(x) и P t в (2) могут быть неположительными. Обозначим E = j 0 (r(x) - r*(x))ф(x)dx . (5) Из (3), (4) нетрудно установить, что в (5) подынтегральная функция неположительна; следовательно, E < 0. C другой стороны, подставляя (1) в (5) и учитывая (4), найдем E =f dx, (6) J 0 m( x) g где J(x) =f L ф(s)ds . (7) x Из (6) следует, что E > 0. Так как выше было доказано неравенство E < 0, то E = 0. Далее, учитывая (7) и упомянутый выше вид 9(x), легко установить, что из (6) и равенства E = 0 следует, что J(x) = 0 при 0 < x < L. Тогда 9(x) = 0 при 0 < x < L. Действительно, предположим, что для 9(x) в (2) p(x) > 0 при некотором x > 0. Тогда, в силу непрерывности p(x) слева и конечности суммы, можно найти такие е 1 > е 2 > 0, что отрезок 0 < x - £ 1 < x < x - £ 2 не содержит ни одной точки x , и p(x) > 0 на этом отрезке; это противоречит равенству J(x) = 0 при 0 < x < L. Аналогично устанавливается невозможность неравенств p(x) < 0 при x > 0 и p(0) Ф 0; следовательно, p(x) = 0 при 0 < x < L, и для 9(x) в (2) остается только сумма 5-функций. Пусть x m > 0 - максимальное из чисел x t , соответствующих ненулевым значениям P t . Тогда из (7) следует, что J(x) Ф 0 в некоторой левой полуокрестности x m , что противоречит равенству J(x) = 0 при 0 < x < L. Таким образом, 9(x) = 0 и q(x) = q (x) при 0 < x < L; тем самым, утверждение 1 доказано. Аналитическое решение задачи в некоторых частных случаях Утверждение 2. Пусть f (x) дважды непрерывно дифференцируема при 0 < x < L; m(x) непрерывно дифференцируема при 0 < x < L; (m(x) f'(x))' < 0; f (0) < 0; f'(0) > 0; f'(L) < 0;f (P) > 0, где 0 < p < L - корень уравнения f (В) = 0 (эти условия соответствуют рис. 1); 0 < а < Р - корень уравнения Ф(А) = 0, где Ф(А) = m(A)f '(A)f- f (А). J 0 m(s) Тогда решение поставленной задачи имеет вид q(x) = {-(m(x)f'(x)) (a < x P). Доказательство. Так как f (В) непрерывна при 0 < В < L; f (0) > 0; f'(L) < 0, то корень р существует. Так как Ф(А) непрерывна при 0 < А < Р; Ф(0) = - f (0) > 0; Ф(Р) = - f (Р) < 0, то корень 0 < а < Р существует. Далее, q(x), очевидно, имеет вид (2). Остается доказать справедливость (3). Неравенство q(x) > 0 выполнено только при а < x < Р; для этих x из (1), (8) (с учетом упомянутых в формулировке утверждения 2 свойств функции f (x)) нетрудно найти, что r(x) = 0; тем самым, первое соотношение в (3) выполнено. При x < а из (1), (8) и равенств /'(Р) = 0, Ф(а) = 0 можно получить следующее представление для r(x): r(x) = -f ;(J as(m(t) f >(t)U ч; (/; (m(t >f '(t >)dt) mS), откуда следует, что r(x) > 0; тем самым, второе соотношение в (3) выполнено и утверждение 2 доказано. Утверждение 3. Пусть f (x) дважды непрерывно дифференцируема при 0 < x < L; m(x) непрерывно дифференцируема при 0 < x < L; (m(x)f'(x))' > 0; f (0) < 0; f(L) > 0. Тогда решение поставленной задачи имеет вид (рис. 2) q( x) = F S( x - L), (9) где F = f (L)g/ f . (10) / J 0 m(x) Рис. 2. Одноточечный контакт нити и тела Доказательство. Функция (9), очевидно, имеет вид (2). Остается доказать справедливость (3). Неравенство q(x) > 0 выполнено только при x = L; из (1), (9), (10) нетрудно найти, что r(L) = 0; тем самым, первое соотношение в (3) выполнено. При 0 < x < L из (1), (9), (10) можно получить следующее представление для r(x): r (x) = ffj 'muj;^, (11) f(L)gJxm(s) J° m(s) где V(x) = J L (J 0s (m(0f '(0)' dt) -J ; (m(t)f(t))' Л . Так как (m(x) f'(x))' > 0, то y(0) > 0 и y(x) убывает при 0 < x < L. Если y(L) > 0, то y(x) > 0 при 0 < x < L; тогда из (11) следует неверное неравенство r(L) > 0; следовательно, y(L) < 0. Тогда существует 0 < x < L, такое, что y(x) > 0 при 0 < x < x и y(x) < 0 при x < x < L; следовательно, второе слагаемое в (11), обращаясь в нуль при x = L (так как r(L) = 0), возрастает при 0 < x < x и убывает при x < x < L. Поэтому данное слагаемое неотрицательно при 0 < x < L. Первое слагаемое в (11) неотрицательно вследствие условия f (0) < 0. Таким образом, r(x) > 0; тем самым, второе соотношение в (3) выполнено и утверждение 3 доказано. Некоторые замечания к полученным результатам и выводы Можно показать, что утверждения 2 и 3 остаются справедливыми и при заметном ослаблении требований на гладкость функций f (x) и m(x). Функцию f (x) можно считать лишь непрерывно дифференцируемой и дважды кусочно-непрерывно дифференцируемой, доопределяя f''(x) в точках излома f'(x) по непрерывности слева. Функцию m(x) можно считать лишь кусочно-непрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируемой, доопределяя m '(x) в точках излома m(x) по непрерывности слева и добавляя к m '(x) в точках разрыва m(x) (первого рода) соответствующие 8 -функции. Использованный подход к постановке и решению контактной задачи для нити и твердого тела может быть применен как для дальнейшего исследования данной задачи (случаи, когда (m(x) f'(x))' меняет знак), так и для решения близких контактных задач для нитей, струн и балок.

Скачать электронную версию публикации