Influence of Oseen's correction on fine particle settling velocity formula for bidisperse suspension.pdf При седиментации частиц в би- и полидисперсной суспензиях наблюдается значительное повышение скорости оседания мелких частиц по сравнению со значением, даваемым формулой Стокса [1-3]. Ускоренная седиментация мелких частиц может играть большую роль в технических приложениях. С одной стороны увеличение скорости оседания мелких частиц способствует повышению качества очистки жидкости от мелких примесей при очистке сточных вод, а с другой - увеличение скорости оседания мелких частиц ухудшает качество разделения частиц суспензии по размерам за счет попадания мелких фракций в крупный продукт [4, 5]. Для объяснения причин ускорения седиментации мелких частиц в окружении соседних крупных в работе [6] была предложена ячеистая модель увлечения мелких частиц крупными за счет попадания мелких частиц в гидродинамический по-гранслой крупных. Эта модель, построенная на приближении Стокса для поля течения около крупной частицы, позволила объяснить на качественном и количественном уровнях такое явление, как «фиш-хук»-эффект, наблюдаемый при разделении частиц в гидроциклонах малых масштабов [4, 7, 8]. Очевидно, что течение Стокса имеет место при малой скорости дисперсной среды относительно дисперсионной, когда относительное число Рейнольдса для крупной частицы близко к нулю. В гидроциклонах малых масштабов (диаметром менее 50 мм) разделяемая суспензия подвергается большим ускорениям, что приводит к отклонению поля течения около крупной частицы от Стоксовского режима [9]. В Авторами [10] была предложена гипотеза, объясняющая ускоренное оседание мелких частиц за счет их попадания в вихревую зону, образующуюся за крупной частицей при числах Рейнольдса больше 25. В частности, было показано, что средняя скорость седиментации мелких частиц ведет себя немонотонно с увеличением числа Рейнольдса от 25 до 200. Целью настоящей работы является развитие модели ускоренного оседания мелких частиц в бидисперсной суспензии, предложенной в работе [6], на случай поля течения Озеена около крупной частицы, которое справедливо для Re < 1. В работе [11] приводится решение задачи об обтекании неподвижного шара вязким потоком несжимаемой жидкости (рис. 1) для чисел 0 < Re < 1. W Рис. 1. Схема обтекания частицы жидкостью a \ \ 0 Поле течения жидкости, скорость которой на бесконечности равна W, а кинематическая вязкость - v, определяется следующими выражениями для компонент вектора скорости, записанных в сферической системе координат: A 2Ajcos (6) C0exp (-kR [1 - cos (0)]) 2kR R -[1 + kR (1 + cos (0))] + r R7 (1) + Ctcos(0)exp(-kR [1 - cos(0)]) + Wcos(0); kR8 Ajsin (0) C0sin (0) V0 = R Ctsin (0) 2kR3 A = -1 Wa3; 1 2 exp (-kR [1 - cos (0)])-+ 2R (2) exp (-kR [1 - cos (0)])- Wsin (0), , .. _ 3Wa ( 3ka ] 3 m ъ. . 3Wa ( 3ka где k = - ; Cn =-1 1 +-I; C =-Wa3k ; A =--1 1 +- 2v 2 I 4 J 1 2 ^ 4k I 4 a - радиус шара; R - расстояние от центра шара, R > a. В декартовой системе координат компоненты вектора скорости течения выразятся в виде U = Vr cos(0) - Ve sin(0); V = Vr sin(0) + Ve cos (0). Для перехода к безразмерной форме записи выберем в качестве масштаба длины радиус шара, а в качестве масштаба скорости - W, тогда r = R/a , vr = Vr/W , v0= V0/W . .04 Aq 2 Ajcos (0) f 1 ri /041 vr = cos(0)-0+-' v / + expI - Re,r[^-cos(0)] r r V 2 W exp | - ^ Re • r [1 - cos (6)] |-1 A (C C1 sin (6), (4) va = 2r Re•r aU Re =- C =- Re. 1 4 ' где v C0 = 3 (1+3Re A1 = - 1 2 1 + 3Re A0 =- 2Re Здесь r > 1. Очевидно, что при r = 1 условия прилипания vr = 0, v6 = 0 не выполняются, поэтому вблизи поверхности шара целесообразно использовать решение Стокса. В декартовой системе координат компоненты вектора скорости течения выразятся в виде u(x,y) = vr (r,0)cos(0)-ve (r,0)sin(0); v(x, y) = vr (r, 0)sin(0) + ve (r, 0) cos (0). = (5) Рис. 2. Линии тока жидкости в окрестности крупной частицы: D = 20, Re = 0,5 x2 + y2 , cos(6) = x/r , sin(6) = y/r . Для нахождения траекторий мелких частиц (в предположении малости чисел Стокса, [6]) решается система кинематических уравнений dx , л л dy - = u (x, y) - Uf; - = v(x, y). dt dt где Uf - скорость оседания мелкой частицы в неподвижной жидкости. С начальными условиями: t = 0, x = -D, y = y0. Система уравнений (5) решается до момента времени, соответствующего х = D. На рис. 2 показаны линии тока жидкости в окрестности крупной частицы для Re = 0,5. Видно, что в отличие от стоксовского режима обтекания линии тока перестают быть симметричными относительно оси ОУ и отклоняются от оси ОХ к периферии. 5 4 3 2 1 0 -10 На рис. 3 приведены траектории мелких частиц для Uf = 0,2. Для них, как и для линий тока жидкости, имеет место нарушение симметрии относительно оси ОУ, а отклонение от продольной оси к периферии становится более выраженным, чем для жидкости. Рис. 3. Траектории мелких частиц в окрестности крупной частицы. D = 20, Re = 0,5, Uf = 0,2 На рис. 4 представлены результаты расчетов Us по формуле (6) для Uf = 0 (средняя скорость жидкости в лабораторной системе координат), полученные для поля течения Озеена при разных числах Рейнольдса в диапазоне 0 < Re < 1. Видно, что с ростом размера ячейки (увеличение D) и числа Рейнольдса, средняя скорость жидкости в ячейке в лабораторной системе координат уменьшается, а для больших значений D - близка к нулю: Us (Uf, D,Re) = 1 - D D, ( ТТУ DR d>. (6) D 0 t(y,Uf,D,Re) Рис. 4. Скорость движения жидкости в ячейке в зависимости от ее размера: кр. 1 - Re = 0; кр. 2 - 0,2; кр. 3 - 0,4; кр. 4 - 0,6; кр. 5 - 0,8; кр. 6 - 1,0 Коэффициенты a, b, c являются функциями числа Рейнольдса, которые для 0,1 < Re < 1 можно аппроксимировать полиномами третьей степени: a(Re) = -8,3036 • Re3 +17,466 • Re2 - 9,5047 • Re -1,0824; b(Re) = 7,3536 • Re3 -16,075 • Re2 +10,365 • Re + 0,3369; c(Re) = -1,6898 • Re3 + 3,9965 • Re2 - 3,3239 • Re +1,1518. Полученные данные для Us(0) аппроксимируются полиномами третьей степени Us (0, D) = a (1/D )3 + b (1/D )2 + c (1/D). В таблице приведены значения коэффициентов полинома для различных значений числа Рейнольдса. Значения коэффициентов полинома Re a b c 0 0,233 - 0,7016 1,3334 0,1 -1,8104 1,1737 0,8672 0,2 - 2,4571 1,9123 0,6157 0,4 - 2,5658 2,3388 0,3617 0,6 - 2,2635 2,3302 0,2377 0,8 - 1,8092 2,1499 0,1756 1,0 - 1,4077 1,9657 0,1378 Таким образом, средняя скорость жидкости в ячейке в лабораторной системе координат может быть представлена в виде Us (0, D,Re) = a (Re) (Dj + b(Re) + c(Re) (Dj . Влияние размера ячейки на осредненную относительную скорость мелких частиц в ячейке Us (Uf, D,Re) - Us (0, D, Re) показано на рис. 5. Как видно, число Рейнольдса в диапазоне от 0 до 0,8 слабо влияет на относительную скорость мелких частиц, и данные можно аппроксимировать с приемлемой степенью точности зависимостью 1 -1,3/D2 . Рис. 5. Зависимость относительной скорости мелких частиц в ячейке от размера ячейки: кр. 1 - Re = 0,1; кр. 2 - 0,2; кр. 3 - 0,4; кр. 4 - 0,6; кр. 5 - 0,8; кр. 6 -аппроксимационная кривая Окончательное выражение для осредненной скорости мелких частиц имеет (7) вид Us (Uf, D,Re) = + « + £(Re) + Uf fi - M ' D3 D2 D f I D2 В размерном виде формулу ускоренного оседания мелких частиц в присутствии крупных частиц (7) можно записать как ■ = 1 -1,57а 2/3 + (l, 5a(Re)a c + 1,31b(Re)a2'3 +1,145c(Re)ai'3) d (8) d f f В отличие от формулы, полученной для течения Стокса около крупной частицы [6], в формуле (8) учтены слагаемые более высокого порядка малости относительно объемной доли крупных частиц, а именно а2'3 и ас. Как следует из (8), таблицы и рис. 4, увеличение числа Рейнольдса ведет к снижению влияния отношения размеров крупной и мелкой частиц на повышение скорости оседания мелких частиц us. Более того, для разреженных суспензий увеличение числа Рейнольдса с 0 до 1 уменьшает относительную среднюю скорость оседания мелких частиц в 2,5 - 3 раза (рис. 6). На рис. 7 показано влияние объемной доли крупных частиц на относительную среднюю скорость оседания мелких частиц для низких и умеренных значений чисел Рейнольдса. Видно, что зависимость UJUf от ас имеет ярко выраженный максимум, что качественно согласуется с результатами экспериментов по измерению скорости оседания мелких частиц полидисперсной суспензии в тарельчатой центрифуге [12]. 60 24 20 J 16 12 8 4 0,4 Re 0 1 40 20 0 Г 0,4 0 с tU 1 0,2 Г 0,6 "Г 0,8 0,6 0,2 а Рис. 6. Зависимость средней скорости оседа- Рис. 7. Зависимость средней скорости ния мелких частиц от числа Рейнольдса, оседания мелких частиц от объемной доли dc/df = 10: кр. 1 - ас = 0,001; кр. 2 - 0,003; кр. 3 крупных частиц, djdf = 10: кр. 1 - Re = - 0,005 = 0,05; кр. 2 - 0,1; кр. 3 - 0,2

Скачать электронную версию публикации