Parametric solutions for the Monge - Ampere equation and gas flow with variable entropy.pdf Уравнение Монжа - Ампера и его газодинамические приложения имеют важное значение в математической физике. Современное состояние этой проблемы и библиография представлены в [1-4]. Изучение литературных источников показывает, что конструирование аналитических решений, содержащих функциональный и константный произвол, по-прежнему является актуальной задачей. Данная работа имеет следующие цели: получение новых точных решений неоднородного уравнения Монжа - Ампера; построение примеров нестационарного адиабатического течения газа с нормальными и аномальными термодинамическими свойствами. Алгоритм построения параметрических решений Рассмотрим уравнение Монжа - Ампера 42V ( Л2 d2Y d_Y_ drj2 dx^ d 2Y vdx1dx2 j _ W(x1,x2), (1) правая часть которого зависит только от переменных x1, x2, a Y (x1, x2) - неизвестная функция. Уравнению (1) дадим следующую форму записи: 5y_5yl-5y_5yl _ W, 5Y_ _5yl, () dx1 dx2 dx2 dx1 dx2 dx1 где dY _ Y1dx1 + Y2 dx2 , (3) Y1 _ dY / dx1, Y2 _ dY / dx2 . Решение системы (2) представим в параметрическом виде (а - параметр): Y1 _ x22A2 (а) + x2A1 (а) + A0 (а), (4) Y2 _ x23B3 (а) + x^B2 (а) + x2B1 (а) + B0 (а), x1 _ аx2 +x2C1 + C0, C0, C - const. Такой способ построения параметра а применялся в [5] для изучения газодинамических процессов с ударными волнами. Примем, что W определяется зависимостью x24W = £x2Пi, Пi = Пi(а), (5) i=0 где Пг- (а) - аналитические функции. После подстановки (4) в (2) и проведения стандартных вычислений получаем дифференциальные уравнения, связывающие между собой функции A0, A1, A2, B0, B1, B2, B3 : A s0 - B0 = п о, ЛЛ + a si - 2B0 B = ц, (6) A2s0 + aA1s1 + A0 s2 - B1 - 2B2 B0 = П2 , A2 s1 + a41s2 + A0 s3 - 2B3 B0 - 2B2B = П3, Л2 s2 + Al1s3 + A s4 - BB2 - 2B B3 = П4, A2 s3 + Al1s4 - 2B3 B2 = П5, Л2 s4 - B32 = П6, B0 = -C1 Ao, B = -Ac - 2аЛ0 , B2 = A1 - 2aAl1 -C1A2, B3 = 2(A2 -aA2), s0 = -C1Ii0, s1 = -2aB0 - C1£>1, s2 = B1 - 2aB1 - C1B2 , s3 = 2(B2 - aB2) - C1iJ3, s4 = 3B3 - 2aB3. Точка над символом функции есть производная d /da. Сначала рассмотрим основной вариант С1 = 0 , для которого a = (x - C0) / x^, B0 = const, (7) s0 = 0, s1 = 0, П0 = 0, П1 = 0 . В этом случае совокупность уравнений (6) представляет собой систему восьми уравнений, в которые входят шесть функций Л0, A1, Л2, B1, B2, B3 и пять коэффициентов П2, П 3, П 4, П 5, П6. Ясно, что задача будет замкнута, если априорно задать любые три из этих пяти коэффициентов. Таким образом, мы получаем возможность построения частных решений уравнений Монжа - Ампера с нетривиальной правой частью вида (5): подходящий выбор функции W позволяет проинтегрировать в конечном виде уравнения (6). Полный дифференциал (3) искомой функции Y (x1 (a, x2), x2) подсчитывается по формулам (4). Примеры точных решений Сформулируем основные результаты. При записи правой части уравнения (1) применяем формулу (5) либо даем более компактный вид этого выражения. Функции П„ которые отсутствуют в развернутой записи W, являются тождественно нулевыми. Решение I. W = - g0 (a) - x2 g1 (a) - x2; g2(a), (8) g1 = 4A1A2 - 2A2 (B2 + aA1), g2 = 4Л2 (A2 - aA2) - 3A2B3, A2 = (A12 -g0)/Bj, B2 = aA1 + b2, B3 = 2(A2-aA2). Здесь A0, A1, B0, B1, b2 - произвольные постоянные; g0(a) - произвольная функция. Например, если g0 = const, то W (x1, x2) является полиномом второй степени по отношению к аргументу x2 и линейно зависит от x1. Решение II. W _-/0(о) - x-1/?^), (9) h0 _ A12 + 2oA1 A1 - 6 JA1, h1 _-A1 B1, A1 _ J (а), A2 = 0, B3 = 0, B2 = 3J - 2аA1. Здесь А0, B0, B1 - произвольные постоянные; J (а) - произвольная функция. Например, если A1 _ a^n1, то W _ a?(1 - n1)(2n1 -1)(1 + n1)-1 а2n1 + a1n1B1 x-1on1 -1, (10) a1, n1 - const, 1 + n1 Ф 0 . Решение III. W _ -h0 (а) - x-1h1(а) - x-2/2(а), (11) h0 _ b2 - 2a2 (J - oj + 2а2 J), h1 _ 2A1 (oJ - 2а2 J - J) - 4b2аJ , h2 _ 2J (oj - J), aq _ J (а), A1 _ b2 + a1а1/2, A2 _ a^ , B1 _ 2(J-oJ), B2 _ Ь2а, B3 ^ 0 . Здесь B0, a1, a2, b2 - произвольные постоянные; J (а) - произвольная функция. Отметим, что, несмотря на сходство записи, формула (9) не является следствием (11); решения II и III обладают разной структурой. Решение IV. Для функции W имеем выражения (5), (7), причем п2 _ -BB /(2а), П3 _ -2b2B1, П4 _ 4b^o-172 -b22 -2]31Ь3а1'2, П5 _ -3ь2ь3о1/2, П6 _ -3ь32о , где B1 (а) - произвольная функция. Итоговая запись решения выглядит так: 2oa0 _ -B1 , A1 _ b2, A2 _ 3ь3о1/2 /2 , B2 _ ь2о, B3 _ ь3о3/2 , где b2, b3 - произвольные постоянные. В рамках решения IV отметим три частных примера. IV-1. Если b3 _ 0 , то W _ (П2/x22) + (П3/x2) + П4 П2 _ -BB /(2а), П3 _ -2BB1b2, П4 _ -b22 , где b2 - произвольная постоянная, B1(a) - произвольная функция. IV-2. Если b2 _ 0, П4 = 0, то B1 = b1 а1/6, П2 _ -b12 /(12а5/3), W _ (П2 /x^)--9b32(x1 -C0), где b1, b3 - произвольные постоянные. IV-3. Если B1 = const, то W _ 4Blbза-1/2 - b22 - 3b2b, (x1 - Q )1/2 -9b32 (x - Cq) , где B1 , b2, b3 - произвольные постоянные. Решение V. Функция W определяется выражением (5), (7), где П2 _ -b-, П3 _ --(В2а-3/2 + B7a-1/2) , 2 4a 3 2 2 2 П4 _ 2A1 (B2 -aB2) - В22 - -2b1b3, П5 _ |b3(В2а-1/2 - 3B2a1/2), П6 _--4Ь32о . Здесь В2 (а) - произвольная функция. Итоговая запись решения имеет вид "1/2 а 4(a) Jo , _ 3 b ^1/2 а"" 2 ^ Aq _ a0 + [b /(2а1/2)], A1 _ j ^Мdа, A2 _ 3Ь301 В1 _ Ь1о1/2, В3 _ Ь3о3/2, где a0 , b1, b3, а0 - произвольные постоянные. В рамках решения V отметим два частных примера. V-1. Если b1 _ 0, b3 _ 0, то W _ 2aA1B2 - A1BB2, где В2(а) - произвольная функция; формула для A1 (а) дана в записи решения V. V-2. Если В2 = const, A1 = 0, то W содержит три произвольные постоянные b1 , В2, b3: W _ 3B2b3x221/2 - 9 b32(x1 - Cq)--b1---bBi- - 3. 2(x1 - Cq)1/2 4 1 ^ 4(x1 - Cq) 2(x-Cq)3/2 2 13 Решение VI. Функция W (см. (5), (7)) содержит следующие выражения: П2 _--bL, П3 _ -b^a-172 , 4а П4 _ b-(2aB3 -3В3)а-3/2 -b22 -b^a-172, П5 _ -2b2В3, 'к + a а^ v a a а2 , V aQ J П 6 _ И3 - f В3 - В32 , где В3 (а) - произвольная функция. Решение определяется формулами A _ aQ + [b1 /(2a1/2)], A1 _ b2 = const, Л2 =-- f ^^da, B = b1a1/2, B2 = b2a, 2 a2 где a0 , b1, b2, ao - произвольные постоянные. В рамках решения VI отметим два примера. VI-1. Если b1 = 0, b2 = 0, то W = х^П6(a), и это выражение зависит от выбора произвольной функции B3 (a). VI-2. Если B3 = const, то П2 П3 W =Чт +- + П 4, x22 x2 и эта функция содержит три свободных постоянных b1, b2, B3. Решение VII. Функция W (см. (5), (7)) подсчитывается с помощью формул П2 = -Дв /(2a), П3 = a1 a-1/2 (B1 - 2aB1) + 2Л0B2 , 3a П4 = a2(B1 -2aB1) + a1 B2a-1/2 + 3B3Al0, П5 = 2a2B2 + a-1/2B3, П6 = 3a2B3, где B1 (a) - произвольная функция; B2, B3 - произвольные постоянные. Решение имеет вид A0 = -B1 /(2a), A1 = a1a1/2, A2 = a2a; a1, a2 - произвольные постоянные. Решение VIII. Правая часть W уравнения Монжа - Ампера содержит следующие выражения: П2 = b12 /2, П3 = -2b1b2, П4 = -b22 - (3b1b3 /2), П 5 =-2b2b3, П 6 =-b32, где b1, b2 , b3 - произвольные постоянные. Итоговая запись решения выглядит так: A0 = (-b1 /2)lna, A1 = b2, Л2 = b3 /2, B1 = ab1, B2 = ab2, B3 = ab3. Решение IX. Укажем здесь три частных решения, для которых отдельные функции Пг- (a) - степенные (см. (5) и (7)). IX-1. П2 = 0, П3 = a1 B1, П4 = r4a"4, П5 = a1r4r5a2+ "4 /B1, П6 = r6a2+2"4 (r4 / B1)2 , A, = const, A1 = aa1, r5 = (n4 - 2)(n4 -1) /[(1 + n4 )(2 + n4)], B1 = const, B2 = -a1a2 / 2, r6 = 2n4(1 -n4)/[(1 + n4)2(2 + n4)],(1 + n4)(2 + n4) * 0;B1 ^ 0, 1+n4 2+ A = r4a 4 b = -2n4 r4a 4 2 = Bj(1 + n4)' 3 = B1(1 + n4)(2 + n4), где A0, B1, n4, a1, r4 - произвольные постоянные. IX-2. П2 = 0, П3 = 0, П4 = 0, П5 = а1а2г5а1+"2, П6 = a22г6а2"2; r5 = ("2 - 2)("2 - 3) /(1 + "2) , Гб = 2(1 - "2 )("2 - 2) /(1 + "2); А = const, B1 = 0, A2 = а2а"2, Aj = аа1, B2 = -а1а2 /2, 2(1- "2) 1+"2 ^ B3 =-- а2а 2, 1 + "2 ф 0. (1 + "2) где A0, а1, а2 , "2 - произвольные постоянные. IX-3. П2 = 0, П3 = 0, П4 = Г4а"4, П5 = 4А'"4Г4 oj+"4, Bj(1 + "4) П = 2А2"4(1 + 2"4 )г4а2+"4 + 2"4(1 - "4)г42а2+2"4 ; 6 Bi(1 + "4)(2 + "4) Bj2(2 + "4)(1 + "4)2 ; аа-j2 г4 а A0 = const, A1 = const, А2 = -- + -2" Г а2+"4 = const, B2 = oA^ B3 =-^-,(1 + "4)(2 + "4) ф 0, B1 ф 0. 1+". B B1(1+"4) B1(1 + "4)(2 + "4)' Здесь A0, A1, B1, "4 , г4 - произвольные постоянные. Напомним, что решения I - IX получены для С1 = 0 с учетом формул (7). Укажем далее два решения, для которых допускается С1 ф 0 . Решение X. W = П4 +(П5/ x2) + (П6/ x2), п4 = A2(b -qB2)-B22, п5 = Ai2(2B2 -2ob2 -c1bb3 ), п6 = A2(3B3 -2ob3)-B32, а A0 = const, A1 = const, A2 =--j а-2B3 (а)dа, 0 B0 = const, B1 = const, B2 = b2 + oA1 - C1 A2. Здесь B3(а) - произвольная функция; A0, B0, Ai, Bi, C0, Ci, b2 - произвольные постоянные. Решение XI. Функция W определяется выражением (5), в котором Пi =а'г, i = 0,1,..., 6; Г) = -bo (а0С1 + b0), r = -2[а1С1Ь0 + а0 (b0 + bjCj) + 2b0bj ], r2 = -3[ а2Cib0 + а0 (b1 + C1b2) + 2b0b2]-4[а1 (b0 + bjC1) + b12], r3 = -6[а2 (b0 + b1C1) + а1 (b1 + C1b2) + 2b1b2 ] - 4[а0 (b2 + C1b3) + 2b0b3 ], r4 = -9[а2 (bj + Cjb2) + ] - 8[а1 (b2 + Cjb3) + 2bjb3] - 5a0b3, r5 = -12(b2 + C1b3 + 2b2 b3) - 10aib3, r6 = -b3 (15а2 + 16b3). Здесь все r, постоянны. Решение определяется формулами A, _ aa0, A1 _а2a1, A2 _a3a2, Bq _ abQ, B1 _ a2b1, B2 _ a3b2, B3 _ a4b3, bQ _ -aQC1, b1 _ -aQ - a1C1, b2 _ -a1 - a2C1, b3 _ -a2, где C0, C1, a0, a1, a2 - произвольные постоянные. Далее мы рассмотрим пример газодинамического истолкования решения II. Течения газа с переменной энтропией Уравнения адиабатического движения идеального газа с переменной энтропией можно преобразовать к уравнению Монжа - Ампера для функции _ р, у): д¥ IT, (12) др э2е я2е ( я2е Л2 д21 д21 др2 ду2 д 2£, дрду д£ д£ t _-, u _-, V _ V(p,S), S _ S(y), V _ 1/р, dy _ pdx-pudt. др ду История этого вопроса и библиография даны в [1, 2]. Здесь приняты обозначения: x - декартова координата; t - время; у - лагранжева координата (функция частицы); и - скорость газа; р - давление; р - плотность; V - удельный объем; S - энтропия единицы массы газа. Далее нам потребуются следующие известные термодинамические соотношения [6]. Уравнения состояния газа р _ p(V, Т), е _ e(V, T), S _ S(V, T) должны удовлетворять второму началу термодинамики: TdS _ d е + pdV, а это значит, что T2Af A, cv t^, (13) дV дТ V T J V дТ дТ где Т - температура; е - удельная внутренняя энергия; ст - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Если за независимые параметры приняты р и V, то функции е _ е(р, V), S _ S(р, V), Т _ Т(р, V) подчинены связям дТ дS дТ cS , ^ дS де ^ дS де -----_ 1, Т-_ р +-, Т- _-. (14) др дТ дТ др дТ дТ др др Условие устойчивости термодинамического равновесия имеет вид др(Т, S) / дТ < 0 или, что то же самое, дТ(р, S) / др < 0. Классическая газовая динамика изучает сжимаемые среды, удовлетворяющие свойствам нормального газа [1], [7]. В частности, для нормального газа выполнено условие выпуклости д 2 p(V, S)/ дТ 2 > 0 . Термодинамически аномальная сжимаемая среда удовлетворяет условию вогнутости д2p(V, S)/ дТ2 < 0, и в ней возможно существование ударных волн разрежения [8-10]. Сжатие поршнем такой среды инициирует расширяющуюся волну, которая является аналогом волны разрежения в обычном газе. Расширение аномального газа Сопоставим друг с другом уравнения (1) и (12) и выполним в (3) - (5) переобозначения: x1 ^ р, x2 ^ у, Y Y ^ t, Y2 ^ u, W ^ дТ/др . Обсудим газодинамическую интерпретацию решения II для случая (10) при В0 = 0, В1 = 0: дV / др _ -(a2к1 / у4n )(1 + 2n)(р - p0)2n, n > 1, k1 _ (n - 1)(2n -1)/[(n + 1)(2n +1)]. Движение газа определяется формулами (15) ч (n+1)/n t +10 a1 2n-1 " (16) (17) u _ a у(n-1)7 n (1 + n) 1/n (t + to^ p - po _ a В этих выражениях (см. (4), (9), (10)) приняты обозначения: CQ, _ р0 > 0, - A, _ t0 > 0; р0, t0, a1 - свободные параметры задачи. Интегрируя (15), получаем уравнение состояния термодинамически устойчивой сжимаемой среды (газа): k2S _ V/[р1+2n - (р - pq)1+2n], р > 0, к2 > 0. (18) р1, к2 - const. Здесь параметр к2 характеризует зависимость температуры от давления (см. ниже формулу (20)). Распределение энтропии по частицам газа имеет вид к2S _ a2 к1 / у 4n (19) Ясно, что д V(р, S)/ др _ 0 при р _ р0. Для каждого фиксированного у имеем положительную выпуклость (нормальный газ) при 0 < р < р0; имеем отрицательную выпуклость (аномальный газ) при р0 < р < да (рис. 1). Рис. 1. Знакопеременная выпуклость уравнения состояния (18) V _ V(р, S) д 2V / др2 < 0, р > р, На основе формул (13), (14) находим выражения для температуры, внутренней энергии и удельной теплоемкости: (T - Tq )/ k2 = ppj+2" - [(p - Po)2+2" /(2 + 2")]; (20) 6 = V{[T /(nk)] - p}, nj - n (p) = pj+2" - ( p - Po)j+2" , 0, T > 0, 6 > 0 обеспечиваются подходящим выбором констант T0, p1. Здесь мы рассматриваем малую, но конечную окрестность термодинамической точки (p0, V0, T0). Внутри этой окрестности dT / dV = 0 (см. (20)). Функции (18), (20), (21), определяющие термодинамические свойства газа, зависят от выбора параметров ", p0, p1, T0, k2. Из (18) следует, что V) = k2 S) pj+2", So = S(y = Vo), (22) где у0 - фиксированное значение лагранжевой координаты. Изучаемая задача состоит в следующем. В начальный момент времени (t = 0) аномальный газ находится между двумя непроницаемыми поршнями: , уГ ], где 0 0), а за фронтом - положительную выпуклость (нормальный газ, p - p0 < 0). Форма записи термодинамических выражений (19) - (21) одинаковая по обе стороны сильного разрыва. Различие в содержании этих формул, т.е. и различие между точками вида (p0, V0, T0) по обе стороны скачка, обусловлено тем, что параметры k2 и Т0 меняются при переходе через разрыв, но при этом их отношение T0/k2 остается непрерывным (см. ниже формулу (31)). Далее рассматриваем ситуацию, когда ударный переход «аномальный газ - нормальный газ» сопровождается выделением импульса и энергии в окрестности линии сильного разрыва x = Xj (t) = х(у ■, t). Подвод импульса и энергии происходит с правой стороны разрыва. Динамические условия совместности при х = Xj (t) имеют вид [1, 6] р , (и, - N) = р, (и,- N) = m'; (23) j J p, + р, (иj - N)2 = p, + р, (и, - N)2 + p'; (24) 6 , + p,Vj +1 (и, - N)2 = 6, + p,V, +1 (и, - N)2 + - (W'+ Np'). (25) j 1 1 2 1 2 m Кроме того, на разрыве должен быть выполнен закон возрастания энтропии: S, > S,. (26) Здесь индексы * и j отмечают значения функций перед и за фронтом ударной волны; N _ dxj / dt - скорость перемещения сильного разрыва; m', кг/(м2 с) - поток массы газа через разрыв; р', Н/м2 и W', Дж/(м2 с) - плотности распределения на разрыве внешних для среды сил и притока энергии. Таким образом, величина u' _ р'/ m', м/с, есть скорость, которая характеризует воздействие давления р' на скачке; е' _ W'/m', Дж/кг, определяет подвод энергии, рассчитанный на единицу массы. Нетрудно видеть, что d у j , d у j m _--, р - р. _ (u, - u„)--+ р . dt F] F 1 dt F Движение газа между левым поршнем и УВР определяется формулами (16), (17), уе[уг, у, ); в этой области u < 0, р - р0 > 0. Справа от разрыва, т.е. при у е (у,, уГ ] движение газа представляется в виде ч (n+1)/n (27) (2n - 1) (n-1)/n | t + t0 у n +1 p - pq _- 2n-1 (t +1, (28) в этой области u > 0, p - p0 < 0. Скорость перемещения УВР отрицательная: N < 0. Удовлетворяя условиям (23) - (25), получаем следующие зависимости: ui _-u„, р1 - р, _ р, - р„, (р1 - po)1+2n _ H1u}, (p. - po)1+2n _ H1u,, p1+2n _ N1A1, H1 _ h1(t-t0)-fe1, N _ N1(t + t0)b1, h1, N1 - const; b1 _ n(1 + 8n)/(n -1); 1/(1-4n) n > 1, h < 0, N1 < 0. у 1-n ,(t) _у,(t + to)(1+2n)/(1-n), у1, _ _ (1 + 2 n) a1 k1h1 После аналитических преобразований находим (2n -1) ui _ (n + 1)a1 p, - pq _-(у1, )(2n-1)/n (t + to)b2 a-17 n, b2 _ (4n -1)/(1 - n). '1 -fo Чтобы обеспечить баланс энергии (25), необходимо принять соотношение (Tq/ к2)._ (TQ/ к2) j. (31) Функции источников импульса и энергии содержат свободный параметр h1 и имеют вид h(у,)(n-1)/n (t + to)-1' (29) (30) 6n2 1 \(2n-1)/n (t + to). (32) р' _- 3/7 (у,)' (n2 - 1)a11' е'+ u'N _ a2к1 p^2np'/у4n. Зависимость источников от модуля скорости перемещения УВР - степенная: pN|(1-4")/["(1+8")], (6'+ и N)~|N|(1+8"2)/("-1). Параметры а1, "1, k1, p0, p1 одни и те же по обе стороны разрыва, поэтому (k2S)* = (k2S)j (см. (19)). В формуле (22) нужно взять у0 =у, (t = 0), и тогда V0, = V0 j = V0. Условие (26) возрастания энтропии дает неравенство 7 anomal 7 normal k2 > k2 anomal normal T0 > T0 (34) Следовательно, согласно (31), термодинамические точки (p0, V0, T0)* и (p0, V0 , T0)j различаются только значениями T0 , а именно: (35) Напомним, что параметры (p0, V0, T0)* и (p0, V0 , T0)j служат основой построения формул (18), (20), (21), но при этом их числовые значения не принадлежат ни «аномальной» ни «нормальной» областям течения. Согласно (16), зависимость скорости левого поршня от времени имеет вид и1 = и(у = у,, t)~(t +10)("+j)/" . Вместе с тем N ~ (t + t0 )bj, причем у, (t = 0) =уГ >у, (см. постановку задачи). Ясно, что в b1 > [("+1) / " ], поэтому существует конечный момент времени t1 > 0 , когда фронт УВР догонит левый поршень: у, (t = t1) = у,. Именно это значение t = t1 представляет собой длительность процесса расширения аномального газа. Сжатие нормального газа В начальный момент времени (t = 0) нормальный газ находится между двумя поршнями, у е [у, , уГ ], где 0 0 этот сильный разрыв перемещается влево, N < 0. Этот процесс длится до момента встречи левого поршня с УВС: у j (t = t1) = у. Перед фронтом УВС уравнение состояния (18) имеет положительную выпуклость (нормальный газ, p - p0 < 0, u > 0); за скачком выпуклость отрицательная (аномальный газ, p - p0 > 0, u < 0). Данный ударный переход сопровождается поглощением импульса и энергии в правой окрестности сильного разрыва. Форма записи динамических условий совместности (23) - (25) полностью сохраняется. Движение нормального газа между левым поршнем и УВС определяется формулами (27), (28). В предыдущей задаче эти формулы относились к области газа, расположенной справа от разрыва. Движение аномального газа справа от разрыва описывается формулами (16), (17). Таким образом, по сравнению с предыдущей задачей, нормальная и аномальная области поменялись местами (рис. 2). Алгоритм расчета газодинамических параметров на фронте разрыва остается прежним, но итоговые формулы отличаются знаками. А именно: в левых частях выражений (29), (30), (32) надо сделать замену Uj ^ (- uj), p -p0) ^ (p0 - pj), p' ^ (-p ). Из (33) ясно, что при этом изменится на противоположный знак функции источника энергии е'+ u' N . Условие (26) возрастания энтропии приводит к неравенствам ; normal ^ ; anomal ^normal ^ ^anomal /о^тч k2 > k2 , T0 > T0 . (36) Сопоставляя друг с другом задачу о расширении аномального газа и задачу о сжатии нормального газа, можем заключить, что для них форма записи термодинамических выражений (18), (20), (21) одинаковая. Различия сосредоточены в содержательной части этих формул и обусловлены отличием (34), (35) от (36). Следовательно, термодинамическая устойчивость двух процессов: процесса расширения, содержащего УВР, и процесса сжатия, содержащего УВС, имеет место для двух сжимаемых сред с различающимися термическими уравнениями состояния вида T = T(p) (рис. 3). А именно: в задачах о движении УВР и УВС зависимость (20) должна обладать свойствами (34), (35) либо (36) соответственно. Рис. 3. Качественные свойства зависимости (20) T = T(p) в нормальной и аномальной областях: пунктирные линии - для задачи о расширении аномального газа; сплошные линии - для задачи о сжатии нормального газа. Дуговые стрелки указывают направления процессов Заключение Для неоднородного уравнения Монжа - Ампера (1) найдены частные параметрические решения I - XI. Дана газодинамическая интерпретация решения II. Получено аналитическое описание термодинамически устойчивых ударных переходов вида «аномальный газ - нормальный газ» и «нормальный газ - аномальный газ».

Скачать электронную версию публикации