Geometric modeling of metallic mesh sheet tailoring for an axissymmetric reflector. Part 1.pdf 1. Постановка задачи В конструкторской практике слово «раскрой» должно означать и «выкройку» листа сетеполотна, и некоторый способ прикрепления его к несущим конструкциям, при этом имеется в виду указанная равномерность локальных деформаций (здесь отличие нашего подхода от традиционного - уменьшения СКО). Технологические приемы достижения желаемого традиционного результата можно проследить в работах [1-3]. В рамках представленной задачи геометрического моделирования раскрой определяется как точечное соответствие между временно плоским листом и областью на параболоиде [4-6]. Применяемая идеализация предполагает, что СКО, конечно же, равен нулю (раз уж есть точечное соответствие). Геометрически очевидно, что равное нулю СКО само по себе не обеспечивает сколь-нибудь приемлемой равномерности натяжения сетеполотна (как бы ни понимать эту приемлемость). Причина в том, что СКО зависит от смещений отдельных участков сетеполотна по нормали идеального параболоида (такие смещения принадлежат внешней геометрии поверхности [7, 8]), а натяжение сетеполотна в предположении равенства нулю СКО зависит от смещений участков сетеполотна по поверхности параболоида (принадлежит его внутренней геометрии [9]). Рис. 1. Принципиальная схема рефлектора Действуя как в [10], вводим в рассмотрение две параметризованные поверхности : R1 = 1 (^ v), ^2 : R2 = Г2 (U, v) . Точки A = r (u, v) и A = r2 (u, v) как раз и являются соответствующими. Локальная метрика каждой из поверхностей определяется соответствующим метрическим тензором. Матрицы этих тензоров составлены из коэффициентов первых квадратичных форм: Сами же первые квадратичные формы [9] имеют вид dsj2 = Eldu2 + 2Fldudv + Gldv2, ds^ = E2du2 + 2F2dudv + G2dv2 . Мерой локального искажения длин (точнее, их квадратов) является величина ds2 Экстремальные значения X суть совместные инварианты матриц M1 и M2, равные корням уравнения m = det(M2 - XMj) = E1G1 - F2 + X(2F F2 - E1G2 - E2G1) + X2 (E2G2 - F22) = 0. (1.1) Важно отметить, что положительная определенность симметричных матриц Mj и M2 гарантирует вещественность корней уравнения (1.1). Коэффициенты уравнения (1.1) имеют вид a = E2G2 -F22, b = 2FX F2 -E G2 -E2Gx, c = Efix -F2. Составим выражение, обращение которого в нуль равносильно равенству обоих корней X2 уравнения (1.1) единице: L = (a - c )2 + (2a + b )2, то есть L = (E2G2 - F22 - E1G1 + F2 )2 +(2E2G2 - 2F22 - E1G2 - E2G1 + 2F1F2 ) . (1.2) Постановка задачи содержит элемент, формализация которого нетривиальна. Дело в том, что равномерность натяжения сетеполотна (и степень его близости к структуре плоского куска) более важна (с точки зрения эффективности радиофизических характеристик рефлектора) вблизи вершины осесиммет-ричного параболоида, нежели у его границы. Эти соображения формализуем способом, который будет объяснен ниже. Применим наши построения к ситуации, которая кажется (на первый взгляд) тривиальной. Имеется в виду прикрепление к несущим конструкциям рефлектора круглого плоского диска сетеполотна (иногда так и делают). z Рис. 2. Параболический рефлектор и плоский лист сетеполотна Ясно, что (ввиду осевой симметрии) для установления биективного соответствия между плоским диском и куском параболоида достаточно сделать это для прямолинейного отрезка [OA] и отрезка параболы [OB]. Само собой напрашивается, что оптимальное соответствие должно быть таким (рис. 3). z Рис. 3. Схема соответствия отрезка [OA] и отрезка параболы [OB] Именно, длина прямолинейного отрезка [OD] должна равняться длине дуги [OC] параболы. Примем обозначения: \OM\ = u, \OC\ = OD = g(u). Действуя так, как это обычно в конструкторской практике, задаем параболу уравнением z = u2 /4F . Тогда 4F2 + u2 I-4F2 ln2-4F2 lnF 2 uyl4F2 + u2 + 4F2 ln(u + V4F2 + u2 ) g(u) = W1 + ((F) du=' 4F Первая поверхность, участвующая в соответствии, - плоская область R ={g(u) cos v, g(u)sinv,0}, u e [0,R], v e [0,2n). (1.3) Здесь константа R - радиус вырезающего цилиндра для параболоида. Вторая поверхность - кусок параболоида вращения f u2 ] г п R2 =

Скачать электронную версию публикации