On sequential estimation of a periodic signal on the background of an autoregressive noise.pdf В последние годы разработаны различные эффективные методы оценивания параметров сигналов с дискретным и непрерывным временем на фоне аддитивных помех при различных уровнях априорной информации относительно типа сигналов и вида помех [1-3]. В случае дискретного времени проблема выделения сигналов наиболее полно изучена для случая помех, являющихся последовательностью независимых случайных величин. Менее изучена проблема оценивания параметров сигналов при шумах с неизвестными спектральными свойствами. Наличие дополнительных неизвестных (мешающих) параметров шума существенно усложняет задачу вычисления точности оценок параметров сигнала (см., например, [4]). В работе [5] построена последовательная процедура оценивания периодического сигнала на фоне авторегрессионных помех с неизвестными параметрами, обладающая хорошими асимптотическими свойствами и гарантирующая оценивание параметров сигнала с любой заданной среднеквадратической точностью. Эта процедура, однако, может оказаться достаточно сложной для практической реализации в случае многих неизвестных параметров, поскольку она требует построения системы из случайного числа оценок методом наименьших квадратов (МНК), путем сглаживания которых находится последовательная оценка. В данной работе предлагается одноэтапная последовательная процедура оценивания параметров периодического сигнала при авторегрессионном шуме с неизвестными параметрами, которая дает возможность контролировать среднеквад-ратическую точность оценок. Постановка задачи. Построение последовательной процедуры Рассмотрим задачу оценивания параметров |j, |2, р;1, рj2, j = 1,...,r, тригонометрического сигнала r Sn = I +(-1)n 12 +ХРЛ cosa]n + Pj2 sina]n (1) j=1 по наблюдениям xn = Sn + , (2) где - шум, являющийся устойчивым процессом авторегрессии р -го порядка: (3) ^n = 11^n-1 + ... + X p^n- p + Sn . Здесь {en} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Een = 0, Ee2n = ст2; Xj,..., X - неизвестные параметры, такие, что все корни характеристического полинома P(z) = zp -Xzp-1 -... -Xp лежат внутри единичного круга комплексной плоскости. Относительно известных параметров ю j предположим, что 0 [а] обозначает целую часть числа a . С учетом (1) и (3), наблюдаемый процесс (2) удовлетворяет уравнению r p xn = m1 + (-1)n m2 + S (j cos ю jn + Y j2 sin ю jn) + S Xkxn-k + Sn, n > p + 1. (4) j=1 k=1 Здесь m1, m2, уц и Xk - неизвестные параметры, связанные с параметрами сигнала равенствами ( Л ( \ 1 -S (-1)' Xl V 1=1 1 -SXl V l=1 J >h =1 Ь =12 f p ) p Yj1 =Pj1 1-SXi cosюil +Pj2SX' sinюJL V i=1 J i=1 (5) ( Yj2 = -Pл 1 -SXl sinю}l V i=1 \ f p + Pj2 1 -SX' cosЮjl V i=1 Используя обозначения f Xn ^ Ф1 (n) ф n Yn = ф n = (6) xn = V Xn - p+1 J 4Ф2r +2 (n) J Ф1(п) = 1, ф2(п) = (-1)n, Фk (n) = cos rok-2n при 3 < k < r + 2. Фk(n) = sinrok-r-2 при r + 3 0 n^W N n=p+1 Zn = AZn-1 +пп, Zp = 0, пп =(en,0,...,0)'. Заметим, что матрица Mn , удовлетворяющая (14), обладает требуемым свойством X min (Mn при n Кроме свойства (14) нам требуется оценить скорость сходимости матрицы к предельному значению F. N Лемма 1. Пусть (en)n> в (3) последовательность н.о.р. случайных величин с Еen = 0, Е&П = ст2, ЕеП < да . Тогда MN sup Еа аеК 4 - F (18) 2 ' N N Доказательство леммы 1 достаточно громоздко и приводится после доказательства теоремы 1. Используя лемму 1 и схему доказательства теоремы 3.1 из [6], можно показать, „ T(h) что lim sup Еа-< +да . h^+ аеК h Далее имеем оценку с ^ T(h) -IF-2Р - F ~2\ 2 Еа (19) 1 с +1 If ~2h pfi M. м. ф)_ h T(h) T(h) П > П -х T(h) T(h) Здесь Д - некоторая положительная постоянная. Для анализа асимптотического поведения правой части этого неравенства будет использоваться следующий результат из работы [6]. Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда для любого компакта К с Л и произвольного п верно неравенство lim sup Pe ^да6еК M T(h) > П I = 0. - F (20) T(h) Используя эту оценку, можно показать, что аналогичное предельное соотношение выполняется и для второго слагаемого в правой части (19). Теорема 1 доказана. 2. Доказательство леммы 1. Учитывая (7), запишем процесс (5) в векторной форме Xn = AXn-1 +ГФn +Пп, n > p +1, (21) где A , Г и nn определены в (17). Ip-l - единичная матрица порядка p -1. Отсюда n -1 • Xn = An-pXv +Zn + Wn, n > p, n - p-1 где Zn = AZn-1 +Пп , Z p = 0, Wn = X A} ГФ j=0 Тогда выборочная информационная матрица Фишера будет иметь вид f 1 N 1 N - У YY = ЛГ i-i И И Mn (23) N N n=p+1 IN 1 N л ±Уф ф' ±Уф x ' N i-i n n N i-i n n-1 N n=p+1 N n= p+1 1 N ,1 N N У Хп-1Фп N У Xn-1 Xn-1 V N n=p+1 N n= p +1 Отсюда, выделив компакт K из параметрической области Л с помощью элементарного неравенства, получаем 4 < 43 I ||An IГ + sup Ea |\BN 114 + 2 sup Ea \\CN 114 aeK 1 N i N An = N У ФnФ'п - Mo, BN = N У Xn-1 Xn-1 -(( + DMoD'), N n = p + 1 N n = p + 1 1N cn =- У X„ 1o„ - m1 . MN (24) (25) sup Ea aeK --F N N aeK где n = p+1 N дг / / n-1 n 1 N n= p+1 Покажем, что для An , Bn и Cn выполняются неравенства IKI I4 < L1 N 4 Г < L2 1 N 2 г < L3 1 N 2 (26) (27) (28) где Li, i = 1,2,3, - некоторые положительные постоянные. Неравенство (26) можно легко проверить, учитывая периодичность компонент вектора Ф в (7) и определение М0 в (11). Подставляя XN в CN, с помощью элементарного неравенства получим (29) aeK sup Ea ICn IГ < 43 sup ((aGn + EaHN + EaQn ) aeK 1 N-1 1 У a™-pX Ф' , 4 GN = где ^ Zj p Ш+1 N 1 N -1 - Ус ф' 1 дг / . m+1 m= p 4 HN = да да Учитывая оценку X ||Am|| < X -qm, 0 < q < 1, и ограниченность нормы вектора Ф m+1, имеем C 4 N-1 4 C N-1 т sup Gn < -C4 Еа| |Xp| |4 •X||Am-p|| -bm+J < -4 X qm-p 0 k>n-p оценим Qn : Wn = DФ n + Д „, n n n - 1 N-1 1 N-1 -DV(1) X Фm+,®m+1 -M + - X ДmФ N m=p 4 4 X Ak ГУ (k) 4 ■> N-1 - X ф ф' N Lu m^m m=p 44 M 0 + / k >m / с N4 qn < - (33) N m=p С 1 N 1 N - X Фm фm - M0 < с DV (1) V N m=p+1 Подставляя (30), (31), (33) в (29), приходим к (28). Учитывая (22), для BN, получим следующее неравенство: (34) sup Еа| |Bn| Г < С X sup Еа 11 (N), аеК j=\ аеК где 1 N , 4 4 1N N XZnW n=p 1 X An-p-1 XpX'p (An-p-1) I1( n ) = 12 (N) = 2 N n=p+1 4 4 1 N , 1 XZnXp (An-p-1) 1N - X An - pXpWn N ^ p n= p Ib( N) = 2 14 (N) = 2 N n=p 1N - X WnWn - DM0D N n = p+1 4 4 1 N , N XZ n Z n - F0 n=p 15 ( N) = 1б( N) = Оценим слагаемые правой части этого неравенства. Первое слагаемое допускает оценку г о n с E X с „ IU, 1|8 х-1 Ч£^ p II (35) sup Ea I1( N)

Скачать электронную версию публикации