On 2-ordered groups.pdf Исследование алгебраических систем, снабжённых различными структурами порядка, имеет давнюю и богатую историю. Сюда относятся работы по линейно упорядоченным группам, решёточно упорядоченным группам, по частично упорядоченным кольцам и телам и линейно упорядоченным полям. В эту область математики внесли выдающийся вклад Р. Дедекинд, Д. Гильберт, Дж. Нойман, Г. Биркгоф, А. И. Мальцев, Ф. Холл, Р. Бэр, Е. Артин, О. Шрайер, И. Капланский, Ю. Л. Ершов, А. И. Кокорин, В. М. Копытов. Настоящая статья относится к этой быстро развивающейся области математики. Она содержит новые интересные результаты по теории двумерно упорядоченных групп. 1. Основные понятия и результаты теории 2-упорядоченных групп Напомним основные понятия, связанные с двумерно упорядоченными группами [1]. Определение двумерного порядка в аксиоматической форме. Определение 1.1. Пусть M - непустое множество и на M3 задана функция Z(x, y, z), принимающая значения 0, 1, -1 и удовлетворяющая следующим условиям: A1. Функция Z(x, y, z) меняет значение на противоположное при каждой перестановке двух аргументов. A2. Если A с M, A|= 4 и существуют a, b, c e A, такие, что Z(a, b, c) Ф 0, то: a) Для каждой пары x, y e A найдётся z e A, такое, что Z(x,y, z) Ф 0; b) существует такая пара a, b e A, что для x,y e A\{a, b} выполнено Z(a, b, x) = = Z(a, b, y) ф 0. A3. (A с M, И1 = 5 л a, b e A) ^ 3c e A л 3e = ±1 (Vxe A\{a, b} (Z(a, c, x) ф 0 ^ Z(a, b, x) = eZ(a, с, x))). Пара (M, Z) называется 2-упорядоченным (или двумерно упорядоченным) множеством. Функция Z(x, y, z) называется функцией двумерного порядка на множестве M. Определим двумерный порядок через отображение в ориентированную плоскость. Определение 1.2. Введём естественную ориентацию плоскости. Пусть x, y, z есть точки плоскости R2. Если обход тройки точек (x, y, z) происходит против часовой стрелки, то полагаем п(х, У, z) = 1. Если обход происходит по часовой стрелке, полагаем ц(х, y, z) = - 1. Наконец, если точки х, y, z расположены на одной прямой, то принимаем ц(х, y, z) = 0. Функцию ц(х, y, z) назовём естественной ориентацией плоскости R2. Разумеется, функцию n(x, y, z) легко задать как знак соответствующего определителя: 1 п( х, y, z) = sg 1 y1 у: 1 z, z2 Определение 1.3. Если для множества A с M, |A| < 5 существует инъективное отображение ф: A ^ R2 , такое, что Vx, y, z e A Z(x, y, z) = п(ф(х), ф(у), ф(z)), то говорят, что ф есть реализация множества A в плоскости R2 или что множество A реализуемо в R2. Если каждое множество A с M, |A| < 5, реализуемо в R2, то пара (M, Z) называется двумерно упорядоченным множеством. В дальнейшем вместо «двумерно упорядоченное множество (M, Z)» будем часто говорить «двумерно упорядоченное множество M». Порядок Z в двумерно упорядоченном множестве (M, Z) называется невырожденным, если Z(x, y, z) не обращается тождественно в нуль на M. Более полные сведения о двумерно упорядоченных множествах представлены в [1]. Определение 1.4. Пусть на группе G задан двумерный порядок Z(x, y, z). Будем говорить, что порядок Z(x, y, z) согласован с групповой операцией, если для всех элементов х, y, z, a группы G выполнено Z(ax, ay, az) = Z(xa, ya, za) = Z(x, y, z). Группу с заданным на ней двумерным порядком, согласованным с групповой операцией, назовём двумерно упорядоченной группой. Более общее определение n-упорядоченной группы см. в [2]. 2. Примеры 2-упорядоченных групп Пример 2.1. Простейшим примером 2-упорядоченной группы является аддитивная группа комплексных чисел со стандартным 2-порядком (С, +, п). Пример 2.2. Мультипликативная группа комплексных чисел со стандартным 2-порядком (С*, •, п). Пример 2.3. Каждая циклически упорядоченная группа (G, •, ю) является двумерно упорядоченной группой [3]. Пример 2.4. Внешняя 2-упорядоченная группа. Теорема 2.1. Пусть (G, •, Z) есть 2-упорядоченная группа. Тогда ультрастепень ( G, •, Z) также есть 2-упорядоченная группа. Доказательство. Напомним аксиомы двумерного порядка: А1. Vх, у, z e G Z(x, y, z) = -Z(y, x, z), Z(x, y, z) = -Z(z, y, x). А2а. (A с G л A| = 4 л 3a, b, с e A Z(a, b, с) Ф 0) ^ (V^ у e A 3z e A Z(x, y, z) Ф 0), А2б. 3a, b e A Vх, у e A \ {a, b} (Z(a, b, x) = Z(a, b, y) Ф 0). A3. (A с M, |А| = 5 л a, b e A) ^ Зс e A л 3e = ±1 (Vxe A\{a, b} (Z(a, с, x) ф 0 ^ Z(a, b, x) = eZ(a, с, x))). Применяя к А1 - А3 принцип переноса (transfer principle) [4], получим А1 . Vх, у, z e G Z(x, y, z) = -Z(y, x, z), Z(x, y, z) = -Z(z, y, x). A2*а. (A с *G л A| = 4 л 3a, b, c e A Z(a, b, c) ф 0) ^ (Vх, у e A 3z e A Z(x, y, z) ф 0), A2*6. 3a, b e A V^у e A \ {a, b} (Z(a, b, x) = Z(a, b,y) ф 0). A3*. (A с *G л A| = 5 л a, b e A) ^ [3c e A л 3e = ±1 (Vх, у e A \ {a, b} (Z(a, c, x) ф 0 ^ Z(a, b, x) = eZ(a, c, x))]. Итак, G есть 2-упорядоченное множество. Далее, порядок в группе G согласован с операцией умножения: Vх, у, z, а e G Z(ax, ay, az) = Z(xa, ya, za) = Z(x, y, z). По принципу переноса имеем Vх, у, z, a e G Z(ax, ay, az) = Z(xa, ya, za) = Z(x, y, z). Порядок в *G согласован с алгебраической операцией. Пример внешней 2-упорядоченной группы Мультипликативная группа комплексных чисел С со стандартным 2-порядком П есть 2-упорядоченная группа. Группа ( С, •, п), согласно теореме 2.1 также есть двумерно упорядоченная группа. Обозначим через Н подмножество С, состоящее из таких элементов х e С, что (|x| - 1) есть бесконечно малая. Итак: Н = {x e *С | (|x| - 1) e ц(0)}. Покажем, что Н есть подгруппа группы С. Пусть х, у e Н. Тогда х = 1 + a, у = 1 + Р; a, р e ц(0). Имеем отсюда ху e Н. Далее: ху = 1 + (a + Р) + ap = 1 + у; у e ц(0), х- = (1 + a)-1, 1 - x"1 = ■ = 2 | a | 1 - 12 1+a Итак, |1 - x_1| e ц(0), значит, x_1 e Н. Таким образом, Н- подгруппа С. Так как С - абелева группа, то Н< *С. Докажем, что группа Н есть внешнее множество. Прямая l0,1 есть внутреннее множество. Пересечение H n l01 есть множество ц(-1) о ц(1). Это внешнее множество. Поскольку пересечение двух внутренних множеств есть внутреннее множество, то множество H - внешнее. Итак, (H, •, п) является внешней двумерно упорядоченной группой. Пример 2.5. На каждой линейно упорядоченной, в том числе и неабелевой, группе можно задать 2-порядок, согласованный с операцией [5]. Таким образом, получаем целый класс неабелевых 2-упорядоченных групп. Теорема 2.2. Каждая конечная двумерно упорядоченная группа является абе-левой, более того, циклической группой [3]. Следствие 2.3. Каждая двумерно упорядоченная неабелева группа - бесконечна. Пример 2.6. Нестандартный двумерный порядок на C. Теорема 2.4. Пусть T0 - тороидальная группа, L - произвольная линейно упорядоченная группа, тогда T0 х L допускает 2-упорядочивание. Доказательство. Обозначим двумерную функцию порядка на группе T0 через ю, а линейную функцию порядка на группе L через Z, Группу T0 будем интерпретировать как окружность, а L будем называть прямой. Тогда структура группы G = T0 х L выглядит так: в каждой точке окружности проведена перпендикулярная ориентированная прямая (направление от центра окружности) бесконечно малого масштаба по сравнению с самой окружностью. Каждый элемент g = (t, l) группы G в этой интерпретации определяется следующим образом: первая координата показывает, что этот элемент принадлежит прямой с индексом t и на этой прямой занимает место l. Введем на группе G двумерную функцию порядка Z2. Покажем, как действует Z2 на кортеже: g = (gi, g2, g3) e G3, где gk = (tk, lk), tk e T0, lk e L. Для удобства положим: t = (t:, t2, t3), l = (l:, l2, l3). Рассмотрим несколько случаев по мощности set(t). Случай первый: |set(t)| = 3, т. е. все элементы t попарно различны. Положим Z2(g) = Ю(0. Второй случай: |set(t)| = 2, т. е. среди элементов t ровно два одинаковых. Не умаляя общности, можно считать t, = t2. Покажем, как Z2 действует на тройки (t:, l:), (t2, l2), (t3, l3). Так как функция порядка должна согласовываться с алгебраической структурой группы, то умножим исходную тройку на (t,-1, 1) - поворот на «угол» t1 по часовой стрелке. Получим (1, lj), (1, l2), (tj-1t3, l3). Прямая (1, L) разбивает окружность на положительный (верхний) и отрицательный (нижний) конусы. Пусть l, < l2. Тогда: Если t,-113 попадает в строго положительный конус, то положим Z2(g) = 1. Если t,-113 попадает в строго отрицательный конус, то положим Z2(g) = -1. Если t,-113 принадлежит пересечению конусов, то положим Z2(g) = 0. Если l, > l2, то все знаки меняются на противоположные. Если l, = l2, то положим Z2(g) = 0 независимо от того, куда попадает t1-1t3. Другими словами, положим Z2(g) = Zi(li, l2)ra(t3-1ti, 1, ti-1t3). В случае |set(t)| = 1 положим Z2(g) = 0. Функция Z2 задается явным образом как произведение функций порядка Z, и ю, которые согласованы с алгебраической структурой групп L и T0 соответственно. Поэтому Z2 согласована с алгебраической структурой группы G. Проверим реализацию (G, Z2) на (R2, п). Покажем, что для каждого S с G, |S| = 5, существует инъекция ф: S ^ R2 такая, что Vg e S3 выполняется: Z2(g) = п(ф(?)). Переобозначим некоторые ранее введенные переменные. Пусть s e S5, Sj = (tj, j), tj = exp(aji), t = (t:, ..., t5), l = (l:, ..., l5), j = 1, 5 . Шаг 1. Отметим на комплексной плоскости C точки tj = exp(aji). Если |set(t)| < 2, то сразу переходим ко второму шагу. Если |set(t)| > 3, то выберем из t произвольную тройку различных элементов tj,, tj2, j (1 < j, < j2 < j3 < 5). Рассмотрим функцию p(x, y, z): G3 ^ [0, +o>), которая равна расстоянию от точки z до прямой, проходящей через точки x и y. Если x = y, то значение функции p(x, y, z) равно расстоянию между точками x и z. Точки tj1, tj2, tj3 являются различными точками окружности, поэтому P(tj1, tj2, j) > 0. Пусть е = min p(tj1, t] t ) jl,j2,j 1 2 3 • В силу непрерывности р получаем 3 5 > 0 V Tj1, Tj2, Tj3 e C. Как только выполнены неравенства p(Tj1, tj1) < 5, p(Tj2, j) < 5, p(Tj3, tj3) < 5, то справедливо неравенство P(Tj1, Tj2, Tj3) > 6. Шаг 2. В 5-окрестности каждой точки tj проведём ориентированные отрезки (направление от центра), перпендикулярные окружности |z| = 1. Отрезок, проходящий через точку tj, обозначим aj. Если на прямой (tj, L) в группе G расположена только одна точка sj, то положим ф^) = tj. Если таких точек несколько sj1, ..., sjn (без потери общности можно считать j

Скачать электронную версию публикации