Residual properties of abelian groups.pdf Введение Пусть K - некоторый класс групп. Напомним, что группа G называется аппроксимируемой группами из класса K (или, короче, K-аппроксимируемой), если для любого неединичного элемента a группы G существует гомоморфизм группы G на некоторую группу из класса K, при котором образ элемента a отличен от 1. Группа G называется почти аппроксимируемой классом K, если она содержит K-аппроксимируемую подгруппу конечного индекса. Если F обозначает класс всех конечных групп, то понятие F-аппроксими-руемости совпадает с классическим понятием финитной аппроксимируемости. Наряду с финитной аппроксимируемостью изучается также более тонкое свойство Fjt-аппроксимируемости, где п - некоторое множество простых чисел, Fn - класс всех конечных п-групп. Напомним, что конечная группа называется конечной п-группой, если ее порядок является п-числом, т.е. если все его простые делители принадлежат множеству п. Если п состоит из всех простых чисел, то понятие Fjj-аппроксимируемости совпадает с понятием финитной аппроксимируемости. Очевидно, что группа G финитно аппроксимируема ^-аппроксимируема) тогда и только тогда, когда пересечение всех подгрупп конечного индекса (всех нормальных подгрупп конечного п-индекса) группы G совпадает с единичной подгруппой. Очевидно также, что произвольная FK-аппроксимируемая группа является почти FK-аппроксимируемой. С другой стороны, любая почти F-аппроксими-руемая (и, в частности, любая почти Fjt-аппроксимируемая) группа является F-аппроксимируемой. Действительно, если H - подгруппа конечного индекса группы G, то любая подгруппа конечного индекса группы H имеет конечный индекс в G, и поэтому из финитной аппроксимируемости группы H следует финитная аппроксимируемость группы G. Таким образом, свойство почти FK-аппроксимируемости является промежуточным между финитной аппроксимируемостью и Fjj-аппроксимируемостью. Особый интерес представляет случай, когда множество п состоит из одного простого числа р. В этом случае класс F^; совпадает с классом Fp всех конечных р-групп. Понятие финитно аппроксимируемой группы было введено еще А. И. Мальцевым в [1]. В этой работе доказана финитная аппроксимируемость конечно порожденных линейных групп. Частным случаем этой теоремы является результат К. Гирша [2] о финитной аппроксимируемости произвольной полициклической группы. В дальнейшем выяснилось, что полициклические группы почти Fp-аппроксимируемы для каждого простого числа p [3]. Свойством Fp-аппрокси-мируемости полициклические группы, вообще говоря, не обладают, и соответствующий критерий получить до сих пор не удается. Еще сложнее дело обстоит с изучением финитной аппроксимируемости и других аппроксимационных свойств разрешимых групп. Некоторые результаты о разрешимых группах конечного ранга, полученные в этом направлении, упомянуты ниже. Для абелевых групп вопросы Fjj-аппроксимируемости и почти F^-аппроксимируемости полностью исследованы. Этим вопросам и посвящена настоящая работа. Пусть, как и выше, п - непустое множество простых чисел. В исследованиях F^-аппроксимируемости абелевых групп и некоторых разрешимых групп особое значение имеет понятие п-полного элемента группы. Напомним, что элемент a группы G называется п-полным (или, в другой терминологии, п-радикабельным), если для любого целого положительного п-числа n уравнение xn = a разрешимо в группе G. Если множество п совпадает с множеством всех простых чисел, то понятие п-полного элемента совпадает с классическим понятием полного элемента. В теории абелевых групп вместо термина «полный элемент» используется также термин «делимый элемент». Если множество п состоит из одного простого числа p, то вместо термина «п-полный элемент» используют термин «p-полный элемент». Связь финитной аппроксимируемости группы с полнотой ее элементов впервые была обнаружена еще А.И. Мальцевым в [4], где он заметил, что в произвольной финитно аппроксимируемой группе нет полных элементов отличных от 1 и что абе-лева группа финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда в ней нет полных элементов отличных от 1. Это простое утверждение легко проверяется с помощью хорошо известной теоремы Прюфера о разложимости периодической абелевой группы с ограниченными порядками элементов в прямое произведение циклических. Более того, теорема Прюфера позволяет обобщить утверждение А.И. Мальцева на случай Fjj-аппроксимируемости следующим образом [5]. Теорема 1. Пусть G - абелева группа. И пусть п - множество простых чисел. Группа G Fjj-аппроксимируема тогда и только тогда, когда она не содержит п-полных элементов отличных от 1. Эта теорема является простым следствием следующего утверждения, доказанного ниже. Лемма. Пусть G - абелева группа, п - множество простых чисел, ra^G) - множество всех п-полных элементов группы G, c^G) - пересечение всех подгрупп конечного п-индекса группы G. Тогда ra^G) = c^G). Рассмотрим теперь вопрос о почти FK-аппроксимируемости для абелевых групп. В случае, когда п совпадает с множеством всех простых чисел, свойство почти Fjt-аппроксимируемости совпадает со свойством почти F-аппроксимируе-мости, которое, как легко видеть, равносильно свойству F-аппроксимируемости, и поэтому в данном случае поставленный вопрос решается упомянутой выше теоремой Мальцева. Теперь мы можем предполагать, что п не совпадает с множеством всех простых чисел. При этом предположении здесь доказан следующий критерий почти FK-аппроксимируемости абелевых групп. Теорема 2. Пусть G - абелева группа; п - множество простых чисел, не совпадающее с множеством П всех простых чисел; п' - дополнение множества п в множестве П. И пусть T - п'-компонента группы G, т. е. множество всех элементов группы G, порядки которых конечны и являются п'-числами. Тогда следующие три утверждения равносильны между собой. 1. Группа G почти Fjj-аппроксимируема. 2. Подгруппа T конечна и фактор-группа G/T Fп-аппроксимируема. 3. Подгруппа T конечна и совпадает с множеством всех п-полных элементов группы G. В качестве следствия из теоремы 2 приведем следующее утверждение, дающее полную информацию о месте Fjj-аппроксимируемых групп среди почти Fjt-аппроксимируемых абелевых групп. Следствие. Пусть G - абелева группа. И пусть п, п' и T такие же, как в теореме 2. Группа G является Fjj-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда она почти Fjj-аппроксимируема и T = 1. В частности, для абелевой группы без кручения свойства FK-аппроксимируемости и почти Fjt-аппроксимируемости равносильны между собой. Необходимость в этом утверждении очевидна, так как в любой Fjj-аппроксими-руемой группе нет п'-кручения. Для проверки достаточности предположим, что абелева группа G почти Fjt-аппроксимируема и что T = 1. Тогда по теореме 2 фактор-группа G/T Fjt-аппроксимируема. Отсюда и из того, что T = 1, следует Fjj-аппроксимируемость группы G. Заметим, что теорема 1 не может быть распространена с абелевых групп на нильпотентные группы. Соответствующий пример был подсказан автору настоящей работы А.Л. Шмелькиным и представляет собой обобщенное прямое произведение бесконечного числа экземпляров группы кватернионов с объединенными центрами. Такая группа не является финитно аппроксимируемой, но при этом в ней нет полных элементов, кроме 1. С другой стороны, в работе [5] теорема 1 без каких-либо изменений переносится на произвольную нильпотентную группу конечного ранга, т. е. на нильпотентную группу, для которой существует целое положительное число r такое, что любая ее конечно порожденная подгруппа порождается не более чем r элементами. На разрешимые группы конечного ранга теорема 1 уже не может быть распространена, но она оказывается справедливой для разрешимых групп конечного ранга в случае, когда множество п совпадает с множеством всех простых чисел. Критерий финитной аппроксимируемости разрешимой группы конечного ранга в терминах полноты элементов был получен еще Д. Робинсоном (см., например, [6, п. 5.3.2]). Для произвольного множества п простых чисел вопрос об FK-аппрок-симируемости разрешимой группы G конечного ранга не исследован даже в простейшем случае, когда группа G является полициклической, а множество п состоит из одного простого числа. Значительно лучше изучен вопрос о почти FK-аппрок-симируемости разрешимых групп конечного ранга (см., например, [7, 8]). Среди финитно аппроксимируемых групп особое место занимают мощные группы, т. е. группы, все элементы которых являются мощными. Напомним, что элемент a бесконечного (конечного) порядка группы G называется мощным, если для каждого натурального числа n (для каждого натурального делителя n порядка элемента a) существует гомоморфизм группы G на некоторую конечную группу, при котором порядок образа элемента a равен n. Мощные абелевы группы могут быть легко описаны в терминах полноты элементов следующим образом. Теорема 3. Абелева группа G является мощной тогда и только тогда, когда она финитно аппроксимируема и не содержит p-полных элементов бесконечного порядка ни для какого простого числа p. Выше отмечалось, что теорема 1 доказана в работе [5]. Здесь доказаны теоремы 2 и 3. В процессе их доказательства будет заново доказана и теорема 1. Доказательство теорем 1. Доказательство леммы. Пусть G - абелева группа, п - непустое множество простых чисел, ra^G) - множество всех п-полных элементов группы G, c^(G) -пересечение всех подгрупп конечного п-индекса группы G. Введенные здесь обозначения сохраняются всюду в этой статье. Докажем справедливость сформулированной выше леммы, т.е. покажем, что ra^G) = c^(G). В самом деле, пусть а - произвольный элемент из ra^G), т.е. a - п-полный элемент группы G. И пусть F - подгруппа группы G конечного п-индекса. Так как в конечной п-группе G/F, очевидно, нет п-полных элементов отличных от 1, а элемент aF наследует п-полноту от элемента а, то aF = 1, т. е. a принадлежит F. Следовательно, а принадлежит c^(G). Таким образом, мы видим, что ra^(G) содержится в c^(G). Теперь для доказательства равенства ra^(G) = c^(G) остается проверить, что любой элемент a группы G, не принадлежащий ra^(G), не принадлежит и некоторой подгруппе конечного п-индекса группы G. Так как элемент a не является п-полным, то он не принадлежит некоторой степенной подгруппе H = Gn группы G, где n - п-число. Так как G/H - абелева п-группа с ограниченными порядками элементов, то по хорошо известной теореме Прюфера (см., например, [9, с. 85]) группа G/H раскладывается в прямое произведение циклических п-подгрупп. Поэтому группа G/H F^-аппроксимируема. Отсюда и из того, что aH - неединичный элемент группы G/H следует, что в группе G/H существует подгруппа F/H конечного п-индекса, не содержащая элемент aH. Тогда F - подгруппа конечного п-индекса группы G, не содержащая элемент a. Равенство ra^G) = c^(G) доказано. 2. Доказательство теоремы 1. Так как F^-аппроксимируемость группы G, очевидно, равносильна условию c^(G) = 1, то справедливость теоремы 1 вытекает из доказанной выше леммы, утверждающей, что ra^G) = c^(G). 3. Доказательство теоремы 2. Для доказательства теоремы 2 будем далее предполагать, что п не совпадает с множеством П всех простых чисел. Как и в формулировке теоремы 2 через п' будем обозначать дополнение множества п в множестве П, а через T - п'-компоненту группы G. Покажем, что следующие три утверждения равносильны между собой. 1. Группа G почти F^-аппроксимируема. 2. Подгруппа T конечна и фактор-группа G/T F^-аппроксимируема. 3. Подгруппа T конечна и совпадает с множеством ra^(G). Предположим сначала, что выполняется условие 1, т. е. что G почти Fjj-аппроксимируема. Обозначим через P какую-нибудь F^-аппроксимируемую подгруппу конечного индекса группы G. Так как в любой Fjj-аппроксимируемой группе, очевидно, нет п'-кручения, то пересечение подгрупп T и P тривиально. Отсюда и из того, что индекс подгруппы P в группе G конечен, следует, что подгруппа T конечна. Очевидно, что если порядок элемента группы конечен и является п'-числом, то этот элемент является п-полным. Поэтому все элементы из T являются п-полными, т.е. T содержится в ra^G). Для доказательства обратного включения обозначим через L подгруппу группы G, содержащую P и такую, что индекс l = [G : L] является п'-числом, а индекс [L : P] является п-числом. Из последнего обстоятельства и Fjt-аппроксимируемости группы P следует Fjj-аппроксимируемость группы L. Пусть a - произвольный элемент из ra^G). Так как a - п-полный элемент группы G, и L - подгруппа группы G индекса l, то al -п-полный элемент группы L. Отсюда и из F^-аппроксимируемости группы L по теореме 1 следует, что a1 = 1. Так как l - п'-число, то последнее равенство означает, что a принадлежит T. Тем самым доказано, что ra^(G) содержится в T. Мы видим, таким образом, что подгруппа T конечна и совпадает с ra^(G). Иными словами, выполняется условие 3. Пусть теперь выполняется условие 3, т. е. подгруппа T конечна и совпадает с ra^(G). Тогда в силу доказанного выше равенства ra^(G) = c^(G) (см. лемму) подгруппа T совпадает с пересечением всех подгрупп конечного п-индекса группы G. Отсюда следует, что в фактор-группе G/T пересечение всех подгрупп конечного п-индекса тривиально, т. е. что группа G/T F^-аппроксимируема. Мы видим, что выполняется условие 2. Предположим теперь, что выполняется условие 2, т. е. что подгруппа T конечна и фактор-группа G/T F^-аппроксимируема. Обозначим через m порядок подгруппы T. Пусть элемент t принадлежит пересечению подгрупп T и Gm. Поскольку элемент t содержится в подгруппе T порядка m, то f = 1. Так как t принадлежит еще и подгруппе Gm, то t = gm для некоторого элемента g из G. Из последних двух равенств следует, что порядок элемента g делит m2. Отсюда и из того, что m = |T| -п'-число, следует, что g содержится в T. Но тогда gm = 1, т. е. t = 1. Таким образом, пересечение подгрупп T и Gm тривиально. По теореме Прюфера фактор-группа G/Gm раскладывается в прямое произведение циклических подгрупп и поэтому является финитно аппроксимируемой группой. Поскольку пересечение подгрупп T и Gm тривиально, то естественный гомоморфизм е группы G на фактор-группу G/Gm инъективен на подгруппе T. Так как Te - конечная подгруппа финитно аппроксимируемой группы G/Gm, то существует гомоморфизм ф группы G/Gm на конечную группу K, инъективный на Te. Тогда произведение еф является гомоморфизмом группы G на конечную группу K, инъективным на T. Поэтому ядро N гомоморфизма еф является подгруппой конечного индекса группы G, и при этом N тривиально пересекает T. Отсюда следует, что естественный гомоморфизм р группы G на фактор-группу G/T инъективен на N. Поэтому группа N вложима в группу G/T. Отсюда и из того, что G/T F^-аппроксимируема, следует, что и N F^-аппроксимируема. Таким образом, N - F^-аппроксимируемая подгруппа конечного индекса группы G. Следовательно, G почти F^-аппроксимируема, т. е. выполняется условие 1. Теорема 2 доказана. 4. Доказательство теоремы 3. Докажем сначала необходимость в теореме 3. Пусть G - мощная абелева группа. Очевидно, что группа G финитно аппроксимируема. Пусть a - элемент бесконечного порядка группы G. Тогда из определения мощного элемента следует, что для произвольного простого числа p существует гомоморфизм группы G на конечную группу P, при котором порядок образа элемента a равен p, причем ввиду разложимости группы P в прямое произведение примарных компонент можно считать, что P - конечная p-группа. Следовательно, элемент a не принадлежит пересечению cp(G) всех подгрупп конечного p-индекса группы G, которое, как мы видели выше, совпадает с множеством rap(G) всех p-полных элементов группы G. Таким образом, группа G финитно аппроксимируема и не содержит p-полных элементов бесконечного порядка. Это доказывает необходимость в теореме 3. Для доказательства достаточности в теореме 3 предположим, что абелева группа G финитно аппроксимируема и не содержит p-полных элементов бесконечного порядка ни для какого простого числа p. Покажем, что произвольный элемент a группы G является мощным. Если порядок элемента a конечен, то ввиду финитной аппроксимируемости группы G существует гомоморфизм группы G на некоторую конечную группу, сохраняющий порядок элемента a, и тогда мощность элемента a обеспечивается тем очевидным обстоятельством, что любая конечная абелева группа является мощной. Предположим теперь, что порядок элемента a бесконечен и H - циклическая подгрупп группы G, порожденная элементом a. Покажем, что элемент a является мощным, т. е. что для каждого натурального числа n в группе G существует подгруппа N конечного индекса, высекающая в H подгруппу Я". Доказательство этого утверждения очевидным образом сводится к доказательству того же самого утверждения для случая, когда n = pk - степень простого числа p. Пусть m = pk-. Элемент am имеет бесконечный порядок, и поэтому он не является p-полным. Таким образом, элемент am не принадлежит подмножеству rap(G), которое, как мы видели, совпадает с cp(G). Поэтому существует гомоморфизм ф группы G на конечную p-группу P, переводящий элемент am в элемент отличный от 1, причем мощность группы P позволяет без потери общности считать, что образ элемента am относительно ф имеет порядок p. Тогда порядок образа элемента a относительно ф равен n, и поэтому в качестве искомой подгруппы N можно взять ядро гомоморфизма ф. Теорема 3 доказана.

Скачать электронную версию публикации