Asymptotic expansion of the solution of a perturbed elliptic equation when the limit equation has singular points.pdf Постановка задачи Рассмотрим задачу Дирихле для бисингулярно возмущенного эллиптического дифференциального уравнения еДи - (1-x1) иу = f(x,y), (x,y)eD = {(x,y)| y > x2-1, y < 0}; (1) и|Г = v(x,y), Г = dD, (2) д 2 d2 где Д = -- +--- - оператор Лапласа, и = u(x,y,e), y(x,y), f(x,y) e C(m,m)(D), dx2 dy2 0 < е kМ+ (5) (6) (7) (8) k=0 ( ^2 k=0 IIek+1 (dZkCvL), d2nk(^T) |-(1 -x2))pek k(xT) £ dx2 e2dx2 J 1 k едт д wk (]ьy)-п(2-Hn)dwkd(]1y) + H2 д wk (]ъy) k=0 V ux ъ U l J k=0 ад Z' я2,,, /„ я,,, /„ я2,,, k+1 + IH k=-1 ад + IH k=-1 2 dy д]2 V 2 d2qk (Z, y) dZ2 k+1 -Z(2-HZ) dy (9) dy d%(Z,y) +H2 d2(Z,y) - + H dy 2 = f (x, y )-£е khk (x, y ) + Хц3Ч (x, y). k=0 k=0 По идее метода, мы в правую часть последнего равенства ввели новую, пока ад неизвестную функцию I ekhk (x, y), функции hk(x,y) конкретизируются ниже. k=0 Регулярное внешнее решение Из (5) и (9) для функции vk(x,y) имеем Iek Vk-1 (x,y)-(1 -x2))kdxZ) + hk (x,y) k=1 = f (^y)-h0 (^у), dv0 (x,y) dy -(1 - x'2) Отсюда получим -(1 -x2)0 dy У) = f (x,y)-h (x,y), V0 (x,y)y=x2-1 =v((,x2-1); (10) (1 - x2 ) dy y) = ДVk-1 (x, y) + hk (x, y) , Vk (x, y) = 0, keN. (11) y=x2-1 Решения задач (10), (11) имеют соответственно вид 1 У У) = -7-^ f (f (x,s)-h0 (x,s)ds + x2 -1), (1-x2 )-1 1 У vk (xУ) = -Т,-n J (Avk-1(x, s) + hk (x,s))ds. (1 - x )x2 -1 Пусть gk(x, y) = -Avk-1 (x,y), тогда vk (x, y) e C(ад,ад) (D), k = 0,1,..., при h0(x,y) = f(1,y)(1+x)+f(-1,y)(1-x))/2, hk(x,y) = (gk(1,y)(1+x)+ gk(-1,y)(1-x))/2, keN. Таким образом, мы построили регулярное внешнее решение: 7 (1, s )(1 + x) + f (-1, s )(1 - x) - f (x, s )J ds + V(x,y,e) = y(x,x2 -)1-2)jj^ gk (1, s )(1 + x) + gk (-1, s )(1 - x) + Ёек J I gk (x,s)ds k=1 Классическая пограничная функция Из (6) и (9) для функции nk(x,T) имеем fd2 п0 (x т)-(1 - 2 )))n0Cx,T) V ^д^лД^т)-(1 - 2 ))я1(г,т) дт2 ^ ' дт J V дт2 1 ' дт yek f д 2 пк (x т)-(1 - x2 ))к(,т) ^ Я.2 V / дг Л,2 дт дт2 Отсюда (12) (13) 5x2 к=2 V n0(x,0) = ^x^-vc)^^), nk(x,0) = ^к(х,0), keN; я^т) ^ 0 при т ^ -ад, к = 0,1,2,... . Iп0 ^4 ^т)-(1 -x2) (x,т) = 0, 0 дт2 1 ' дт ' n0(x,0) = ^x^-Vo^^), n^x^^^, при т^-ад; ln1 = 0, nj(x,0) = ^(х,0), л1(x,т)^■0, при т^-ад; дт = 0, nk(x,0) = -vk(х,0), n^x^^^, при т^-ад, к>1. (14) д2Пк-2 (xт) 1 Пк = 5x2 Задачи (12) - (14) имеют единственные решения, представимые соответственно в виде п0 (x,^^v^x^)- v0 (x,0))(1 x )т , / , / , (1-x2 )т п1 (x,т) =-Vj (x,0)ev ' , (i-x2 )т Пк (x, т)= ^ ; (-Vk (x,0) + тPk (x, т)), к >1, Рк(х,т)- ограниченная, гладкая функция. Обобщенные пограничные функции ад Функцию I ekhk (x, y) представим в виде (е k=0 I ekhk (x,y) = I H3kh,k (x,y) +1 H3kh2k (x,y), k=0 k=0 k=0 где hlk (x,y) = f (1,y)-f (1,y) + Iek |gk (1,У)-^gk (1,У)J, h2k (x,y) = f (-1,y)-^ f (-1,y) + Iek Vgk (-1,У)-^gk (-1,У)J . Из (7) и (9) для функции ^(пу) имеем ^ k+1 (d2wk (п,y) ( )dwk (п,у) 2 d2wk (п,y)| ^ 33 ( ) IH -- п (2 - Нп) k d W-=lH3kh1k (1-нп,), k=-1 V d] dy dy J k=0 wk(0,0) = 0, ^(пу) -0, при п-+ад. Отсюда получим d2w 1 (п, y) dw 1 (п, y) , , Lw-i --Т^2 - 2п 'd - f (1, У), d]2 dy w_i(0,0) = 0, w^Cn^) -0, при п-+ад; (15) 0 2 d]2 w0(0,0) = 0, w^^) -0, при п-+ад; (16) Lw =-п2 dw0 (]],У) d2w-1 (]], У) 1 dy dy2 ' wi(0,0) = 0, w^^) -0, при ]-+ад; (17) Lw3k-1 + gk(1, y), dy dy2 w3k-1(0,0) = 0, w3k-1(n,у) -0, при ]-+ад, keN; (18) dw3k-1 (п,y) Л d2w3k-2 (п,y) Lw3k =-212п dy + gk(1,y)--lyM, w3k(0,0) = 0, w3k(n,у) -0, при ]-+ад, keN; (19) Lw = п2 dw3k (]У) d2w3k-1 (]У) Lw3k+1 = -т----2-, dy dy2 w3k+1(0,0) = 0, wзk+l(n,у) -0, при ]-+ад, keN. (20) Все эти задачи имеют единственные решения, удовлетворяющие заданным граничным условиям. Задачи такого типа встречаются в задачах диффузионного пограничного слоя [6]. Действительно,задачу д2w(п,У) -= ф(п,У), дп2 ду w(0,0) = 0, м>(п,у) -^0, при п-+ад с помощью преобразования t = 9у/8, z = п32 можно привести к уравнению (z, t) = д2w(z,t) + dw(z,t)_ф(г t) дt 5z2 3z 5z 93Z2 ^ ' w(0,0) = 0, w(z,t) -0, при z-+ад, которое имеет решение [6] Z2 + Е2 2 * ад z1/3 f л w (z, t ) = - 2 J J ФК, т)^. «•->/„, ( -^J d 5d т, где Z1/3(s) - модифицированная функция Бесселя. Асимптотическое поведение решения задач (15) - (20) при п - +ад, можно определить с помощью ряда: w-1 (п, У ) = (21) п п2 п" Подставляя (21) в (15), имеем {ЫЛ+...+"(п+1)a" (у)} - 2п{-а1М+...+

Скачать электронную версию публикации