On classification of spaces of continuous S -valued functions on polihydrons.pdf Все неопределенные в статье понятия можно найти в [1]. Пусть S1 - обычная окружность, которую будем рассматривать как факторгруппу Rl/Z с естественной топологией. Иначе говоря, это есть множество всех точек в R1 c периодом 1. Множество всех представителей можно отождествить с множеством точек полуинтервала [0,1). Это множество тогда будет топологической группой относительно операции сложения. В этой статье нас интересует пространство Cp(X, S1) всех напрерывных S1-значных функций, наделенное топологией поточечной сходимости. Как обычно, символом Cp (Y, R1) будем обозначать топологическое векторное пространство всех непрерывных вещественных функций со стандартными операциями сложения и умножения на вещественные числа. Оператор T : Cp (F, R1) ^ Cp (X, R1) называется оператором продолжения, если F является 1 2015 № 4(36) Математика и механика УДК 515.127 DOI 10.17223/19988621/36/2 замкнутым подпространством в X и T(f) |F = f для каждого f е Cp (Y, R1). Если F есть замкнутое подмножество пространства X, то обозначим CCp (X |f , F>) = {f : X ^ R1; f F =0}. Теорема 1. Пусть X является метрическим пространством и F - его замкнутое подпространство, которое является окрестностным ретрактом. Тогда существует T : Cp (F, R1) ^ Cp (X, R1) - непрерывный линейный оператор продолжения, причем 0 < Tf < 1 как только 0 < f < 1. Доказательство. Пусть O - окрестность множества F и r : O ^ F - непрерывная ретракция. Для каждой функции f е Cp (F, R1) положим x е X \ O. Нетрудно проверить, что T - линейный непрерывный оператор и T(f) |F = f , т.е. это отображение является оператором продолжения. ■ Заметим, что линейный непрерывный оператор продолжения может существовать не только благодаря ретракциям (см. ниже доказательство следствия 5). Кроме того, для существования оператора продолжения метризуемость пространства X вовсе не является необходимым условием. Из теоремы 1 следует, что для каждого замкнутого подмножества F в X пространство Cp (F, R1) вкладывается как замкнутое векторное подпространство в Cp (X, R1). Кроме оператора продолжения T, нам понадобится еще один оператор. Для каждого замкнутого подмножества F в X определим оператор U : Cp (F, R1) ^ Cp (F, S1) формулой U(f)(x) = e2mf(x), х е F. Ясно, что U(f + g) = U(f) -U(g), т.е. этот оператор является непрерывным групповым гомоморфизмом. Из теоремы 1 следует, что оператор U переводит подмножество Cp (F, [0,1)) в точности на Cp (F, S1). Более того, нетрудно понять, что последний оператор имеет непрерывный правый обратный U- : Cp (F, S1) ^ Cp (F, [0,1)). Использование этих операторов приводит к следующей теореме. Теорема 2. Пусть X является метрическим пространством и F - его замкнутое подпространство. Композиция UTU- является непрерывным изоморфным вложением группы Cp (F, S1) в Cp (X, S1). Более того, группа Cp (X, S1) топологически изоморфна произведению Cp (F, S1) х C°p (X |F, S1). Доказательство. Первая часть теоремы очевидна из определения оператора U и теоремы 1. Далее искомый изоморфизм можно задать формулой f ^ (f lF, f - UTU(f |F)), где T - оператор продолжения, построенный в предыдущей теореме. ■ Хорошо известно [1], что любой полиэдр является абсолютным окрестност-ным ретрактом в классе метрических пространств, т. е. он является ретрактом некоторой его окрестности в любом содержащем его метрическом пространстве, следовательно, для любого полиэдра X верны обе предыдущие теоремы. Поскольку одноточечное подпространство всегда является ретрактом, то верно следующее утверждение. Следствие 3. Для любой точки x е X выполнено Cp(X,S1) = S1 х C0p(X {x},S1). ■ Пусть дана дискретная последовательность компактных пространств Xn , тогда символом (Cp (X1, S1) х Cp (X2, S1) х " ')c будем обозначать аналог обычного c0 -произведения, т.е. совокупность точек вида (/j,f2,--) в декартовом произведении пространств вида Cp (Xn, S1), причем таких, что У fn 0, где У fn У обозначает максимальное отклонение точки fn (x) от двухточечного множества {0,1} в [0,1] (заметим, что если последовательность чисел сходится к 1, то она, как последовательность элементов S1, стремится к 0). Теорема 4. Пусть X есть топологическое пространство, представляющее собой сходящуюся последовательность вместе с ее пределом. Тогда Cp (X, S1) = (S1 X S1 X ...)С0. Доказательство. Обозначим через F одноточечное множество, состоящее из предельной точки, и применим теорему 2 и следствие 3. ■ Из последних двух утверждений заключаем: Следствие 5. Пусть X - топологическое пространство, содержащее сходящуюся последовательность (к точке x). Тогда Cp (X, S1) = C°p (X {x}, S1). Доказательство. Пусть xn - последовательность точек в X, которая сходится в x. Из следствия 3 вытекает, что Cp (X, s1) = s1 X cp (X { x}, S1). (1) Пусть On - непересекающиеся окрестности точек xn и fn - последовательность непрерывных S1 -значных функций, которые равны 0 вне On и fn(xn) = 1/2 для всех n = 1,2,.... Обозначим: F = {xj,x2,...} и определим линейный непрерывный оператор продолжения T : C°p (F |{x}, S1) ^ C°p (X |{x}, S1) формулой T(f)(x) = X Г=/(xn) fn (x). Формула f ^ (f If , f - T (f |f )) вместе с формулой (1) и теоремой 4 доказывают утверждение. ■ Пространство X |F является метрическим компактом, которое получается из X в результате коллапсирования его замкнутого множества F в одну точку. Из теоремы 2 и следствия 5 вытекает,что справедливо следующее утверждение: Следствие 6. Пусть X - метрический компакт. Тогда Cp (X, S1) изоморфно Cp (F, S1) x Cp (X |F, S1) для каждого замкнутого подмножества F в X. ■ Для дальнешего понадобится следующий общий прием построения изоморфизмов между пространствами функций, который в функциональном анализе называется «схемой Пелчинского». Применим эту схему для рассматриваемых топологических групп, но это не меняет сути дела. Теорема 7 (Схема Пелчинского). Пусть E и G - топологические группы, для которых выполняются следующие три условия: 1) E = G x H - для некоторой топологической группы H; 2) G = E x P - для некоторой топологической группы P; 3) E = (E x E-)c0. Тогда E = G . Доказательство. Имеем G = E x P = (E x E x •••) x P = (E х E х---) х E x P = (E x E x---) x G = ((G x H) x (G x H) x--)c x G = ((G х H) х (G х H) х -)c = (E х E х-)c = E. ■ Теорема 8. Если G изоморфно (E х E х • • •) , то G изоморфно своей c0 степени (G х G х • • •)_ . c0 Доказательство. G = (E х E х-Л = ((E х E х---) х (E х E х---) х---) = (G х G х---) . ■ c0 c0 c0 c0 c0 Теорема 9. Пусть n > 1. Для n -мерного симплекса Дп выполнено Cp (Дп, S1) = (Cp (Дп, S1) х Cp (Д n, S1) х-)^, и, тем более, Cp (Дп, S1) изоморфно любой своей конечной степени. Доказательство. Пусть x0 - вершина симплекса Дп и F0 - противоположная этой вершине грань. Пусть F1,F2,... - последовательность параллельных этой грани сечений симплекса, которая «сходится» к точке x0. Тогда множество F = {x0}u F0 u Fj u... является замкнутым подмножеством в Дп. По теореме 2 группа Cp (Дп, S1) топологически изоморфна Cp (F, S1) х C°p (Д |F, S1). Заметим далее, что фактор-пространство Д |F является одноточечной компактификацией счетной дискретной суммы попарно гомеоморфных между собой пространств (равно открытому множеству всех точек между параллельными сечениями Fn-1 и Fn), которую обозначим через (©fflT). Кроме того, множества Fn попарно между собой гомеоморфны. Суммируя эти факты, заключаем, что Cp (Дп, S1) топологически изоморфно счетному c0 -произведению попарно изоморфных между собой сомножителей вида Cp (Y © Fn, S1). Остается применить теорему 8. ■ Если дан конечный набор Xj,---,Xn топологических пространств, то символом X1 v • • • v Xn обозначим букет этого семейства, который получается, если в каждом Xk, к = 1, • • •, п, фиксируется одна точка и все эти точки отождествляются между собой. Теорема 10. Если X = Дп v... vДn - букет симплексов, то Cp(X,S1) изоморфно Cp (Дп, S1). Доказательство. Пусть x0 - центральная точка букета. По следствию 5 Cp (X, S1) = C0 (X |{x0}, S1). Ясно, что Cp(X |{x0},S1) = C0(Дn |{x0},S1)х.х^(Дn |{xo},S1). Но по тому же следствию 5 C°p (Дп |{x0}, S1) = Cp (Дп, S1). Остается применить теорему 9. ■ Теорема 11. Если к < п , то Cp (Дп, S1) = Cp (Дп, S1) х Cp (Дк, S1). Доказательство. По теореме 9 пространство Cp (Дп, S1) топологически изоморфно своей счетной с0-степени. Кроме того, каждая из двух групп Cp (Дп, S1) и Cp (A n, S1) х Cp (Ak, S1) вкладывается в другое в качестве прямого сомножителя. Остается применить теорему 7. ■ Для полиэдра X через X(n) обозначим его n -мерный остов, т.е. объединение всех симплексов размерности < n. Множество X(n) является замкнутым подмножеством в X . Теорема 12. Пусть X- n-мерный полиэдр, n > 1. Тогда Cp (X, S1) = Cp (An, S1). Доказательство проведем по индукции. Если n = 1, то X(0) есть множество всех вершин полиэдра X. Ясно, что множество X(0) конечно. Имеем Cp (X, S1) = Cp (X(0), S1) х Cp (X (0), S1). Первый сомножитель есть конечная степень топологической группы S1, а второй - изоморфен пространству всех непрерывных S1-значных функций на букете окружностей, и тогда по теореме 10 последний изоморфен конечной степени группы Cp (A1, S1). Эти утверждения вместе со следствием 3 показывают, что Cp (X, S1) = Cp (Д1, S1). Рассмотрим общий случай. Пусть X(n-1) - остов комплекса X. Тогда Cp(X,S1) = Cp(X(n-1),S1)х C°p(X |X(n-1),S1). По предположению индукции Cp (X(n-1), S1) изоморфно Cp (A(n-1), S1), а второй сомножитель по теоремам 9, 10 и следствию 3 изоморфен Cp (An, S1). Осталось применить теорему 11. ■ В связи с теоремой 12 возникает теперь вопрос о ее обобщении, т.е. будут ли неизморфными топологические группы Cp (X, S1) и Cp (Y, S1), если размерности полиэдров X и Y не совпадают? Заметим, что в статье [2] вторым автором настоящей статьи было доказано, что размерность компактов является инвариантом изоморфизма соответствующих пространств непрерывных S1-значных функций, если S1 кроме естественной операции наделено также некоторой дополнительной операцией, при которой S1 становится так называемым топологическим почти модулем. Авторы выражают благодарность Л.В. Гензе и Т.Е. Хмылевой за полезные обсуждения.

Скачать электронную версию публикации