Co-Hopfian abelian groups.pdf 1. Введение В 1932 г. швейцарский математик Хайнц Хопф (1894-1971) поставил следующий вопрос: может ли конечно порожденная группа быть изоморфной своей собственной фактор-группе? В соответствии с этим группа G называется хопфовой, если всякий ее сюръективный эндоморфизм является изоморфизмом. Двойственным образом, группа G называется кохопфовой, если любой ее инъективный эндоморфизм является изоморфизмом. Изучению кохопфовых (некоммутативных) групп посвящены работы Бэра [1], Гонзалез-Акуны и Уиттена [2], Потягайло и Вана [3], Ошики и Потягайло [4], Зе-лы [5], Вана и Ву [6], Вана и Чжоу [7], Део и Варадараджана [8], Белла и Марга-лита [9], Ли [10], Эндимиони [11], Кейна и Мальцева [12]. Начало систематическому изучению кохопфовых групп было, по-видимому, положено Бэром в 40-е годы прошлого века. В статье [1] автор указывает на ряд условий, когда группа не имеет собственных изоморфных себе подгрупп. Группы, обладающие таким свойством, были названы Бэром S-группами. Эта же работа содержит интересные результаты, касающиеся связей свойств хопфовости и ко-хопфовости в группах. Гонзалез-Акуна и Уиттен [2] поставили вопрос о кохопфовости фундаментальных групп трехмерных многообразий. Они ответили на этот вопрос для многообразий Хакена, край которых является непустым объединением торов. Позднее, Потягайло и Ван [3] сформулировали гипотетическое необходимое и достаточное условие кохопфовости фундаментальной группы трехмерного многообразия, удовлетворяющего гипотезе геометризации Тёрстона, доказали необходимость и достаточность этого условия, правда, последнюю - при некоторых дополнительных предположениях. Внимание многих специалистов привлекают кохопфовы клейновы и гиперболические группы. Так, Ван и Чжоу [7], исследуя кохопфовы клейновы группы, установили, что фактор-группа кохопфовой группы может не быть кохопфовой, и указали на существование кохопфовой группы, содержащей нормальную подгруппу конечного индекса, не являющуюся кохопфовой. Белл и Маргалит [9] занимались изучением кохопфовых групп кос. Они доказали, что группа Bn кос на n нитях не кохопфова, и осветили ряд вопросов, затрагивающих смежные темы. Кохопфовы кольца и модули, а также близкие к ним классы изучали Варада-раджан [13-15], Сюэ [16], Хагани, Асгари и Ведади [17-21], Лю, Ган и Фань [22-25], Горбани и Хагани [26, 27], Ван [28], Дивани-Азар и Мафи [29], Хмайму, Кайди и Санчес Кампос [30], Айдогду и Озджан [31], Янь и Лю [32], Цзяо [33], Ван и Ли [34], Дьялло, Мауйя и Сангаре [35, 36]. Весьма содержательные и глубокие результаты в этой области представлены в трудах Варадараджана. Автор распространяет понятия хопфовости и кохопфово-сти на модули, кольца, алгебры и топологические пространства, приводит яркие, любопытные примеры и обозначает открытые вопросы. В работе [14] дается детальный обзор результатов, касающихся хопфовых и кохопфовых объектов в различных конкретных категориях, таких, как категории модулей, колец и топологических пространств. Статья [15] посвящена антихопфовым и антикохопфовым1модулям. Интересные классы модулей, «родственные» кохопфовым - полу(ко)хопфовы2, сильно (ко)хопфовы3, обобщенно хопфовы4 и слабо кохопфовы5 модули - указаны в статьях [21, 26, 27, 30, 31]. Эти статьи насыщены свежими идеями, каждая из них является замечательным вкладом в теорию модулей. Круг вопросов, рассматриваемых авторами в этих работах, чрезвычайно широк. Исследования по кохопфовым абелевым группам очень немногочисленны и носят незавершенный характер. Тем не менее результаты этих исследований выразительны и многоценны. Наиболее значительными являются работы Такаши и Ирвина [37, 38], Голдсмита и Гонга [39-42], Дикраниана, Голдсмита, Сальче и За-нардо [43]. К числу новейших работ относятся статьи Голдсмита и Гонга, в которых, наряду с хопфовыми и кохопфовыми абелевыми группами, рассматриваются супер(ко)хопфовы6 и наследственно (ко)хопфовы1 абелевы группы, а также обсуждаются некоторые прилегающие проблемы. У Дикраниана, Голдсмита, Сальче и Занардо [43], а позднее - у Голдсмита и Гонга [40] хопфовы и кохопфовы абелевы группы возникают при изучении алгебраической и сопряженной энтропий абеле-вых групп. Другие классы абелевых групп, граничные с классом кохопфовых абелевых групп, освещены в литературе намного лучше. Так, абелевы группы, содержащие собственную подгруппу, изоморфную самой группе7, изучал Бьюмонт [44], он называл их /-группами. Автор показал, что всякая примарная абелева группа, разложимая в бесконечную прямую сумму коциклических групп, является /-группой. /-модули исследовались в [45] Бьюмонтом и Пирсом. Ими установлено, что R-модуль без кручения M, не являющийся делимым, является /-модулем, а любой периодический модуль M конечного ранга не является /-модулем. В [46] кроме /-групп рассматривались /Р-группы (абелевы группы, изоморфные собственной сервантной подгруппе) и /D-группы (абелевы группы, изоморфные собственному прямому слагаемому). С.Я. Гриншпон и М.М. Никольская [47-50] ввели понятие /F-группы (абелевы группы, изоморфные собственной вполне характеристической подгруппе) и изучали /F-группы в различных классах абелевых групп. Е.В. Кайгородовым [51-54] представлены результаты по описанию хопфовых групп в конкретных классах абелевых групп и изучению их общих свойств. Кроули [55] построил пример бесконечной примарной кохопфовой абелевой группы без элементов бесконечной высоты. В работе [56] Хилл и Меджиббен представили более общую и простую конструкцию кохопфовых примарных абе-левых групп, чем Кроули. В своей работе они также показали, что для того, чтобы бесконечная редуцированная примарная абелева группа была кохопфовой, необходимо, чтобы она была неограниченной, несчетной и имела конечные инварианты Ульма-Капланского. В [57] Монк исследовал абелевы р-группы, не содержащие собственных сер-вантных плотных подгрупп, изоморфных самой группе. Голдсмит, Охогейн и Валлутис [58] изучали квазиминимальные8, сервантно квазиминимальные9 и прямо квазиминимальные10 группы. А.Р. Чехлов и П.В. Данчев [59] рассматривали абелевы группы, у которых все собственные вполне инвариантные подгруппы изоморфны. Почему в последнее время возрастает внимание алгебраистов к кохопфовым алгебраическим системам? Дело в следующем. Общеизвестно, что вопросы, касающиеся отображений алгебраических систем и их подсистем, а также связей отображений со свойствами самих систем, имеют важное, если не первостепенное значение при описании рассматриваемых алгебраических систем, т. е. при построении соответствующей структурной теории. Поэтому и неудивительно, что во второй половине XX - начале XXI века, когда получают интенсивное развитие такие важнейшие разделы современной алгебры, как теории групп, абеле-вых групп, колец, модулей, решеток, направление исследований, связанное с ко-хопфовым свойством в перечисленных алгебраических системах и смежными вопросами, приобретает все большую актуальность. Условимся о следующем. Далее всюду рассматриваются исключительно абе-левы группы, поэтому под термином «группа» понимается аддитивно записанная абелева группа. По мере надобности приводятся необходимые определения и результаты. Значком ■ обозначается конец доказательства или его отсутствие. 2. Общие свойства кохопфовых абелевых групп С целью придать данному в первой параграфе настоящей работы определению кохопфовой группы законченный и удобный вид вынесем его отдельно, а также сформулируем еще одно эквивалентное определение кохопфовой группы. Определение 1. Группа A называется кохопфовой, если всякий мономорфизм группы A на себя является автоморфизмом. Определение 2. Группа A называется кохопфовой, если она не имеет собственных изоморфных себе подгрупп. Начнем с доказательства хорошо известной и простой, но весьма полезной теоремы, которая позволит сделать некоторые выводы о связи свойств конечности и кохопфовости. Теорема 1. Любая конечная группа кохопфова. Доказательство. Пусть дана конечная группа A, | A |= n, и пусть B - собственная подгруппа группы A. Порядок подгруппы B обозначим буквой s. Имеем A ^ B. Действительно, по теореме Лагранжа n делится на s. Отсюда n > s, так как подгруппа B собственная. Итак, | A |>| B |, следовательно, группы A и B не изоморфны и группа A кохопфова. ■ Данная теорема говорит о том, что класс кохопфовых групп, как и класс хоп-фовых групп, содержит все конечные группы. Вместе с тем, этот класс содержит группы, лишь в каком-то смысле близкие к конечным группам. Более точно, свойства хопфовости и кохопфовости представляют собою одни из важнейших обобщений конечности. Эта точка зрения отражена в книгах Куроша [60] и Гретцера [61]. Через многие теоремы о кохопфовых абелевых группах красной нитью проходит идея конечности, представленной в различных своих видах. Теорема 2. Если A = B © C и A - кохопфова группа, то группы B и C ко-хопфовы. Доказательство. Пусть дана прямая сумма A = B © C, и пусть A - кохопфова группа. Покажем, что группы B и C также кохопфовы. Предположим противное, т. е. пусть, например, группа B не кохопфова. Это означает, что существует мономорфизм ф: B ^ B, не являющийся автоморфизмом, т.е. Imф ^ B. Определим гомоморфизм у: A ^ A, полагая у(а) = ф(Ь) + idC (c) для любого a = b + c, где b е B, c е C. Имеем у (a) = у (b + c) = ф(Ь) + idC (c) = ф(Ь) + c. Ясно, что гомоморфизм у инъективен. В самом деле, из ф(Ь) + c = 0 выводим ф(Ь) = 0 и c = 0, откуда b = c = 0, а, стало быть, и a = 0. Таким образом, Ker у = 0. При этом 1ту = 1тф©C. Так как 1тф^B, то 1ту^B©C, т. е. 1ту^A и у не является эпиморфизмом. Получили противоречие с тем, что группа A кохопфова. Таким образом, прямые слагаемые B и C суть кохопфовы группы. ■ Легко проверить, что доказанная теорема обобщается на случай, когда количество прямых слагаемых в разложении группы A бесконечно. Приходим к важному следствию. Следствие 3. Пусть Ai (i е I) - семейство групп, где множество индексов I произвольно, и пусть группа A = ©Ai кохопфова. Тогда для каждого i е I iEl группа Ai кохопфова. ■ Далее задаемся вопросом: допускает ли обращение теорема 2 в каком-либо случае? Отвечаем положительно на этот вопрос в теореме 5. В линейной алгебре хорошо известно матричное представление линейных преобразований. Используя прямые разложения, можно получить подобное представление эндоморфизмов абелевых групп определенными матрицами, называемыми формальными или обобщенными. Для удобства чтения приведем соответствующие хорошо известные построения (см., например, [62, теорема 3.11]). n Пусть дана прямая сумма групп A = ©Ai. Рассмотрим квадратную матрицу i=1 IIа ji li j=i п с элементами aji е Hom(Ai, Aj ). Для таких матриц можно определить обычные для матриц операции сложения и умножения. Нетрудно убедиться, что сложение и умножение обобщенных матриц всегда выполнимы и приводят к матрицам этого же вида. В результате получаем кольцо матриц указанного вида (кольцо обобщенных матриц). n Теорема 4 [62, теорема 3.11]. Кольцо эндоморфизмов группы A = ©Ai изоi=1 морфно кольцу обобщенных матриц || a Ji || порядка n. Доказательство. Пусть {si |i = 1,...,n} - полная ортогональная система проекций, соответствующих данному разложению группы A. Произвольный элемент n a е A равен сумме ^eia. Для любого а е E(A) имеем i=1 n n aa = ^a(eia) = ^ (sjasi)a. i =1 i, J =1 Сопоставим эндоморфизму a матрицу || aji ||г- j=1 n, f: a aji ||, где ajt = sjasi. Можно отождествить sjE(A)si с Hom(siA, sjA), т. е. с Hom(Ai, Aj ). Если РеE(A) и ||pji || - соответствующая матрица с pji = sjPs;, то матрицы, соответствующие a-p и ap, - это разность || a-р ~ || и произведение n || ^ajkpk || матриц || aji || и || рji ||. Следовательно, f - кольцевой гомоморk=1 физм. Понятно, что нулевой матрице соответствует лишь нулевой эндоморфизм группы A. Обратно, пусть || a^ \[ j=1 n - некоторая матрица с элементами aji esjE(A)si. Определим aeE(A), положив для a е A n aa = ^ a ;ia. i, J =1 Тогда f: a i^|| a||. Таким образом, f - изоморфизм колец. ■ Остановимся подробно на простейшем случае, когда A = A1 © A2. Пусть s1 и s2 - соответствующие ортогональные проекции. Тогда имеем: s1 |A = idA , e1 A = 0, е2 IA = 0, е2 U2 = 'dAl. Другими словами, представляя произвольный элемент a e A в виде a = a1 + a2, где a1 e A1, a2 e A2, получим &1a = a1 e2 a = a2, отку, ме 4, получаем E(A) J Е(Л) Hom(A2,A) У Hom(A1,A2) E(A2) Каждому эндоморфизму a e E(A) поставим в соответствие обобщенную матрицу ( Siae, 6,a6 2 f: a ^ I 1 1 1 2 S2 as2 или, согласуясь со введенными выше обозначениями, i f: a ^ va21 a 2 Зафиксируем некоторый элемент z группы A. Запишем z = x + y, где x е A1, y e A2. При соответствии f действию эндоморфизма a на элементе z отвечает умножение матрицы I a11 a12 I на вектор-столбец Va21 a22 ) VУ Выясним, как действуют эндоморфизмы a^ на элементах групп A1 и A2. Пусть x е A1 и a(x) = x1 + x2, где x1 e A1, x2 e A2. Тогда a11 (x) = x1, a21 (x) = x2. Аналогично, если y e A2 и a(y) = y1 + y2, где y1 e A1, y2 e A2, то a12(y) = y1, a22( y)= y2. Если A = A1 © A2 и Hom(A1, A2) = 0 (т. е. подгруппа A1 вполне инвариантна в группе A ), то будем иметь (E(A1) Hom( A2, A1)Л E(A) ^ 0 E(A2) В теории модулей известен следующий важный факт. Если M - R-S-бимодуль, то верхние треугольные матрицы вида r m 0 5 где r e R, s e S, m e M, образуют кольцо, называемое кольцом обобщенных треугольных матриц второго порядка. Несложно показать, что матрица u 0 обратима в этом кольце тогда и только тогда, когда элемент u обратим в кольце R, а элемент v обратим в кольце S. Теперь может быть доказана теорема, указывающая на один из случаев обращения теоремы 2. Теорема 5. Если A = B © C, а прямые слагаемые B и C кохопфовы и, кроме того, подгруппа B вполне инвариантна в группе A, то A - кохопфова группа. e2a = a2, откуда ej2 = e1, e^ = e2, е1е2 = е2е1 =0 и e1 + e2 =1A. Согласно теоре- Доказательство. Зафиксируем некоторый мономорфизм а : A ^ A. Пусть а = J"11 а12 I 0 а22 Сначала покажем, что а22 : C ^ C - автоморфизм. Так как а - мономорфизм, то равенство а( z) = 0, где z s A, выполняется тогда и только тогда, когда z = 0. Запишем z = х + y, х s B, y s C. Из матричного равенства «

Скачать электронную версию публикации