On sums of diagonal and invertible formal matrices.pdf 1. Введение Числовые матрицы используются во многих областях математики и в различных её приложениях. В алгебре часто встречаются и имеют большое значение так называемые обобщенные матрицы. Их называют также формальными матрицами. Элементы этих матриц могут принимать значения в нескольких кольцах и бимо-дулях. Обобщенные матрицы складываются и умножаются по стандартным правилам матричного сложения и умножения. В результате получается кольцо -кольцо обобщенных (или формальных) матриц. Это кольцо представляет собой важный алгебраический объект. Например, кольцо эндоморфизмов разложимого в прямую сумму модуля и любое кольцо с нетривиальным идемпотентом являются кольцами обобщенных матриц. Кольца обобщенных матриц играют важную роль в изучении ряда классов артиновых колец и алгебр. Исследование колец обобщенных матриц - это актуальное направление в современной теории колец и модулей. Оно имеет большое научное значение. В настоящее время эта тематика привлекает повышенное внимание зарубежных специалистов. С определением и основными свойствами колец обобщенных матриц можно познакомиться в статьях [1-3]. Напомним, что Kn обозначает некоторое кольцо обобщенных матриц порядка n ( R M12 ... Мы ^ М 21 R2 ... М 2 Kn = VMn1 Мn2 ... Rn У где R1, ..., Rn - некоторые кольца, Mj - R -R-бимодуль, i, j=1,...,n. Пусть k - натуральное число, k > 2, R - произвольное кольцо. Элемент a кольца R называется k-хорошим, если его можно записать в виде суммы k обратимых элементов кольца R. Кольцо называется k-хорошим, если каждый его элемент является k-хорошим. Изучение колец, порождаемых аддитивно своими обратимыми элементами, началось в 1953-1954 годах, когда Вольфсон [4] и Зелинский [5] независимо друг от друга показали, что всякое линейное отображение векторного пространства V над телом D есть сумма двух обратимых линейных отображений, кроме случая, когда dim(V) = 1 и D = Z2. Это значит, что кольцо линейных преобразований End(V) порождается аддитивно своими обратимыми элементами. В 1958 году Скорняков [6] поставил задачу описания такого рода колец. В [7] Рафаэль, отвечая на вопрос Скорнякова, дал начало систематическому изучению таких колец, которые он назвал S-кольцами. Независимо от предыдущих работ к этой проблеме пришел Фукс. В [8] он сформулировал вопрос: «Когда автоморфизмы абелевой группы порождают аддитивно её кольцо эндоморфизмов?» За этим последовал ряд статей Стрингалла [9], Фридмана [10], Хилла [11] и Кастаньо [12]. В 1973 г. Хенриксен [13] описал два широких класса колец, порождаемых своими обратимыми элементами. Позже с этими кольцами работали Вамос [14] (он ввел понятие Л-хорошего кольца), Сривастава [15]. Имеется несколько статей, посвященных различным Л-хорошим кольцам. Так, например, в [14] и [15] получены результаты по Л-хорошести регулярных колец фон Неймана, правых само-инъективных колец. 2. Одно условие А-хорошести произвольного кольца обобщенных матриц Теорема 1. Кольцо Kn является Л-хорошим, если все Ri - Л-хорошие кольца для некоторого Л > 1, i = 1,.. ,,n. Доказательство. Пусть все Ri - Л-хорошие кольца, Л >1, i = 1,...,n и I e Kn. Запишем матрицу I в полном виде: "1n bn 12 21 X = V'"n1 "Ы2 ■■■ 'n ) Зададим матрицы A, В и С следующим образом: ( 0 ^ 0 ( 0 0 ^ 0 (0 m12 0 0 m1n Л r1 0 0 r2 m2 2n A = C = B = Vmn1 mn 2 00 00 0 Очевидно, что X=A+B+C. Так как все Ri - Л-хорошие кольца, то (u{ + Uj2 +... + u\ (r 0 0 r 0 ^ 0 u2 + u2 +...+u2 B = ul„ + u„2 +... + ukn ) 00 ^ (u2 (u ( u? 0 0 0 0 uЛ 2 0u 0u +... + 00 00 = U + U 2 +...+uk где Uj, U2, ..., иЛ - обратимые матрицы. Определим теперь матрицыA' и C'следующим образом: (M1 mj2 A' = A + U1 = m 2n 10 0 .. мП ' Mj2 0 ... 0 m21 M2 ... 0 C' = C + U 2 = m n2 ••• " Легко видеть, что A' и C' - обратимые матрицы как треугольные матрицы с обратимыми элементами на главной диагонали. Таким образом, имеем X=A+B+C = A'+C'+U3+...Uk - сумма k обратимых матриц. Итак, Kn является k-хорошим кольцом. Что и требовалось доказать. 3. О суммах диагональных и обратимых обобщенных матриц Через M(n, R) будем обозначать обычное кольцо квадратных матриц порядка n над кольцом R. Хенриксеном [5] было показано, что M(n, R) - 3-хорошее кольцо. А именно, он доказал, что всякая матрица из этого кольца представима в виде суммы диагональной и обратимой матриц. Диагональная же матрица всегда может быть записана как сумма двух обратимых матриц. Кольцо M(n, R), конечно, является кольцом обобщенных матриц. На главной диагонали матриц из M(n, R) находятся элементы кольца R. На остальных местах - элементы R-R-бимодуля R. Умножение задается с помощью тождественных гомоморфизмов. Докажем, что обобщенная матрица также есть сумма диагональной и обратимой обобщенных матриц. Доказательство следующей леммы элементарно. Лемма 2. Пусть R - кольцо, x е R, p, q е U(R) - множеству обратимых элементов кольца R. Еслиp-x-q = 1, то x е U(R) и x4 = qp. Лемма 3. Пусть U' - блочная матрица порядка 2 (обобщенная матрица порядка n+1) U ' = Г B 1 t C 1 + CU~lB где U - обратимая обобщенная матрица порядка n, B - вектор-столбец длины n, C - вектор-строка длины n. Тогда U' - обратимая матрица и -1 / Т 7Л-1 (-U)-1 B (U ()-1 (U - + (-U)-1 B(-C )U -t -CU- Доказательство. Положим En (-U )-1 B 1 U-1 0 и Q = где En - единичная матрица кольца Kn обобщенных матриц порядка n. Убедимся, что P и Q - обратимые матрицы в кольце Kn+1. P = -CU- Действительно, утверждаем, что E„ " Ho B). P- = CU - Запишем следующие равенства: E„ 0Y En 0 1Л CU-1 1 E„ *0 + 0*1 En 0 PP- = -CU -f En *En + 0*(CU-1) (-CU- )* En +1* (CU-) (-CU)*0 +1*1 En En P ~lP = CU - 1 A-CU En *En + 0*(-CU-1) En *0 + 0*1 )fEn v(CU-1)*En + 1*(-CU^1) (CU_1)*0 + 1*iJ f 0 И далее имеем равенства QQ-f; 1. Покажем, что она верна и для кольца K"+1. Пусть Х е K"+1. Напомним, что ( R M12 ... M,,"+1 ^ K"+1 - M 21 R2 ... M 2,"+1 V M"+1,1 M"+1,2 ... R"+1 У где R1, ..., R"+1 - некоторые кольца, M' - R,-Rj-бимодуль, /,/'=1,...,"+1. Тогда можем записать ' A БЛ X-Vc d где A е K", B - вектор-столбец длины ", C- вектор-строка длины ", d е R"+1. По предположению индукции A - сумма диагональной и обратимой матриц, A = D+U, где D - диагональная, U- обратимая матрицы. Тогда если положить D' -U '- D 0 0 d -1 - CU~lB U B C 1 + CU-lB то будет верно равенство X = D'+U', где D' - диагональная матрица, U' - обратимая матрица (по лемме 3). Что и требовалось доказать. Таким образом, задача описания k-хороших колец обобщенных матриц сведена к задаче описания ^-1)-хороших диагональных матриц. В общем случае диагональная обобщенная матрица 2-хорошей не будет. Таким образом, встает вопрос - при каких условиях обеспечивается k-хорошесть диагональной обобщенной матрицы?

Скачать электронную версию публикации