Relative holomorphs of free abelian groups and their invariant subgroups.pdf При изучении голоморфов абелевых групп важное место занимает вопрос об определяемости группы своим относительным голоморфом (голоморфом). Исследованию нормальных подгрупп голоморфов абелевых групп и определяемости абелевых групп своими голоморфами посвящен ряд работ И.Х. Беккера, И.Э. Гриншпон, С.Я. Гриншпона, В.Х. Миллса (см. например, [1-4]). Пусть G - абелева группа и пусть Ф - некоторая подгруппа группы Aut(G) (группы её автоморфизмов). Относительный голоморф r(G, Ф) группы G - это множество пар вида (g, с), где g - элемент группы G, с - элемент группы Ф; с операцией сложения, введенной следующим образом: (g1, с1) + (g2, с2) = (g1 + c1g2, с1с2). Для всякого элемента (g, с) исходной группы противоположным будет являться (- a4g, с-1). Элемент (g, е), где е - тождественный автоморфизм группы G, будем обозначать просто g, а элемент (0, с), где 0 - нейтральный элемент группы G, - просто с. Согласно этой договоренности, можно считать, что G и Ф содержатся в r(G, Ф). Если Ф = Aut(G), то r(G, Ф) называется просто голоморфом и обозначается T(G). Рассмотрим некоторые свойства нормальной подгруппы относительного голоморфа. Лемма. Пусть S - нормальная абелева подгруппа относительного голоморфа r(G, Ф) абелевой группы G и Ф - содержит автоморфизм 9, такой, что 9g = -g, и пусть (a, с) 6 S, g 6 G . Тогда справедливы следующие утверждения: 2a е S, ст2 е S ; aa - a е S ; ст(стя - a) = CTa - a ; (1) (2) (3) (4) ст "a = a + n(CTa - a); 2(стя - a) = 0 . (5) (6) Доказательство. Пусть т £ Ф. Покажем вначале, что элемент (та, тех4) принадлежит S. Это следует из нормальности подгруппы S: (0,т) + (а,с) + (-(0,т)) £ S, то есть (0, т) + (а, с) + (0, т-1) = (та, тот-1) £ S. Так как S - абелева, то (а, с) + (та, тс т-1) = (та, тот-1) + (а, с). То есть (а,с) + (та, тот-1) = (я + о(тя), стст-1) и (тя, тот-1) + (я, с) = (тя + тот-1 я, тст-1с). Сравнивая первые компоненты, заключаем, что я + ста = тя + тст-1а. Поэтому, если т £ Ф и та = а, то са = ста. Полагаем, что Ф содержит автоморфизм 9 группы G, такой, что 9g = -g (то есть 9 = -е). Заметим, что 9- g = -g, то есть 9 = 9-1 . Пусть 1 = с 9. Поскольку с £ Ф и 9 £ Ф, то автоморфизм 1 £ Ф. Так как 9 коммутирует с с, то 1с1-1 = с. Заменив в ранее полученном равенстве а + ста = та + тот4 а автоморфизм т на 1, имеем а + с1а = а + 9а = а - а = 0. С другой стороны, 1а + 1с1-1а = (с-19)а + са = с-1(9(а)) + са = с-1(-а) + са. Значит, 0 = с-1(-а) + са. Применяя с, получаем о0 = сс-1(-а) + оса, 0 = -а + с2а, т.е. a = с 2 a. Таким образом, заключаем, что с 2 a = a. Покажем, что (a, с) + (0, 1) +(а, с) + (- (0, 1)) = (0, с 2). Имеем (а, с) + (0, 1) + (а, с) + (-(0, 1)) = (а, с) + (0, 1) + (а, с) + (-1-1(0), 1-1) = = (а, с) + (0, с-19) + (а, с) + (0, 1-1) = (а + 0, со-19) + (а, с) + (0, 9-1с) = (а, 9) + + (а, с) + (0, 9-1с) = (а + 9а, 9с) + (0, 9-1с) = (0, 9с9-1 с) = (0, с9с9-1) = (0, с99-1с) = = (0, сес) = (0, с 2). Так как (а, с) е S и (0, 1) +(а, с) + (-(0, 1)) е S, то (0, с2) е S. Кроме того, имеем -g + (а, с) + g + (-(а, с)) = -(g, е) + (а, с) + (g, е)+ (-(а, с)) = = (-e-1g, е-1) + (а, с) + (g, е)+ (-с-1 а, с- 1) = (-g, е-1) + (а, с) + (g + е(-с-1а), ес- 1) = = (-g + е-1а, е-1 с) + (g + (-с-1а), ес- 1) = (-g + а, с) + (g - с-1а, ес-1) = (-g + а + + с(g - с-1 а), со-1) = (-g + а + оg - со-1 а, е) = (-g + а + оg - а, е) = (-g + сg, е) = = -g + сg = сg - g. Итак, сg - g е S. Отсюда -(са - а) + 2(а, с) +(-(0, с2)) е S. Имеем -((са - а), е) + 2(а, с) + + (-с- 20, с- 2) = (-е-1(са - а), е-1) + (а + са, с 2) +(0, с-2) = (-(са - а), е-1) + (а + са + + с 20, с 2 с- 2) = (-са + а + е-1(а + са), е-1е) = (а + а, е) = (2а, е) = 2а. Таким образом, установили, что (0, с2) е S, ^g - g) е S и 2а е S. Утверждения (1) и (2) рассматриваемой леммы доказаны. Если т е Ф, то S содержит элемент (0, т) + ^g - g) + (-(0, т)) = ^g - g). Тогда, так как S - абелева группа, то (а, с) коммутирует с т ^g - g), то есть (а, с) + (r^g - g), е) = (то - g), е) + (а, с). Следовательно, (а + от^ - g), с) = (r^g - g) + а, с). Сравнивая первые компоненты, получаем от(оg - g) = т(оg - g). Если положим в полученном равенстве, что т = е, то получим равенство о(оg - g) = сg - g, из которого, индукцией по n, следует, что с"g = g + n^g - g ). Индукцией по n также доказывается, что n (a, c) = ^na + ^^ 1) (aa - a),an , Vn е N. Покажем это. Ясно, что при n = 1 (a, a) = ^а + 1) (aa - a), a1 j = (a, a). Данное равенство выполняется. Пусть это равенство верно для n = k, т.е. k (a, a) = ff ka + k ^ 1) (aa - a),ak Проверим, выполнено ли это равенство для n = k + 1. Имеем (k +1) (a, a) = k (a, a) + (a, a) = = ( ka + --- (aa - a) +aka, ak+1 | = f ka + --- (aa - a) + a + k(aa - a), ak+: = ((k +1) a + ^+ kj (aa - a), ak+1 j = ((k +1) a + (aa - a), ak+ j. Значит формула n (a, a) = (na + n(^^^ 1) (aa - a), an j Vn s N верна. Сравним равенства c2a = a и cng = g + n(cg - g ). Во втором равенстве вместо элемента g рассмотрим элемент a: c2a = a + 2(ca - a). Отсюда следует, что a = a + 2(ca - a ), то есть 2(ca - a ) = 0. Таким образом, лемма доказана. Рассмотренные утверждения являются обобщением [4] на случай относительного голоморфа. Напомним, что в построении относительного голоморфа предполагается, что подгруппа Ф содержит автоморфизм, переводящий любой элемент группы в ему противоположный. Напомним, что две группы называются относительно голоморфно изоморфными (голоморфно изоморфными), если относительные голоморфы (голоморфы) этих групп изоморфны. Говорят, что группа A определяется своим относительным голоморфом (голоморфом) в некотором классе групп M, если любая группа B из этого класса, относительно голоморфно (голоморфно) изоморфная группе A, изоморфна группе A. Рассмотрим G и G' - свободные абелевы группы. Эти группы представимы в виде G = © (aj и G' = © (b^ , где (aj (i s /b^j (j s J) - бесконечные циклические группы. Понятно, что для любой пары a^, a^ группы G, где i1, i2 s /, i1 Ф i2, существует автоморфизм т, такой, что xa^ = a^ , а на подгруппе C = © (a^ автоморфизм т действует тождественно. Начиная с этого места, все такие автоморфизмы будем включать в группу Ф относительного голоморфа. Аналогично поступим для относительного голоморфа r(G', Ф'). Теорема. Если G и G' - свободные абелевы группы, каждая из которых изоморфна нормальной подгруппе относительного голоморфа другой группы, то G изоморфна G'. Доказательство. Пусть G = H', G' = H, где H и H' - нормальные подгруппы голоморфов r(G, Ф) и r(G', Ф') соответственно. Полагаем, что Ф и Ф' содержат автоморфизм е. Так как G' = H и G' - группа без кручения, то H -группа без кручения. Пусть (a, с) s H (т.е. a s G и с s Ф). Пусть n(a, с) = (0, е). Так как H - группа без кручения, то из этого равенства следует, что (a, с) = (0, е), т. е. a = 0 и с = е. Так как в H обязательно существует элемент (a, с), у которого a ф 0, то рассмотрим сервантную подгруппу, порожденную элементом 2a: (2a)*. Имеем в силу утверждения (1) леммы 2a е G n H . Группа G является однородной сепара-бельной группой, и поэтому, так как однородная группа сепарабельна тогда и только тогда, когда каждая её сервантная подгруппа, имеющая конечный ранг, служит для неё прямым слагаемым, подгруппа (2a)* выделяется в G прямым слагаемым [5, с. 137]. Можно считать, что для некоторого i1 е I (2a)* - ^a^. Для любого i е I (i Ф ij) существует автоморфизм т, е Ф группы G, такой, что тц - ai. Имеем (0, т, )+ц, 6) - (0, т, ) - (0, т, )+ц, 6)+(0, т-1) -- (0, т1 ) + a , 6Т-1) - (Tiai1, т1 6Т-1) - a,. Так как 2a е^a^ то т, (2a) е(a,). Учитывая, что 2a е H и т, (2a) - (0, т, ) + + (2a, б) - (0, т, ), получаем т, (2a) е H . Итак, мы можем в H построить |I| линейно независимых элементов: {2a,т,(2a)},е}. По условию H = G', т.е. |I| линейно независимых элементов можно построить ив G', поэтому | J > |I|. Аналогично получаем, |I| > |J|. Таким образом, |I| - J. Учитывая, что две свободные группы изоморфны тогда и только тогда, когда их ранги совпадают, получаем, что группы G и G' изоморфны. Следствие. Если G и G' - свободные абелевы группы с изоморфными относительными голоморфами, то G изоморфна G'. Доказательство. Так как любая абелева группа является нормальной подгруппой в своем относительном голоморфе, то, применяя предыдущую теорему, получаем утверждение следствия. Таким образом, мы получили, что всякая свободная абелева группа определяется своим относительным голоморфом (а значит, и голоморфом) в классе всех свободных абелевых групп.

Скачать электронную версию публикации