Orthogonalities in Z _p ? Z _p.pdf Всё больше геометрические понятия проникают в пространство изучения алгебры. Haukkanen и другие [1] вводят понятие ортогональности в абелевой группе с помощью аксиом, которые оказываются вполне естественными, если придать им геометрическую интерпретацию. Цель данного исследования - выяснить, какими ортогональностями обладает прямая сумма циклических групп Z © Z p. На пути к ответу на этот вопрос мы рассматриваем частные случаи: группы Z 2 © Z 2, Z3 © Z3, Z5 © Z5, и только после этого нам удаётся обобщить результаты для произвольной группы Z © Z p. Пусть G = (G, +) - аддитивная абелева группа. Пусть 1 - бинарное отношение в G , удовлетворяющее следующим аксиомам: (A1) Va е G : 3b е G : a 1 b, (A2) Va е G\{0}: a 1 a, (A3) Va,b е G : a 1 b ^ b 1 a, (A4) Va, b,c е G : a 1 b л a 1 c ^ a 1 (b + c), (A5) Va, b е G : a 1 b ^ a 1 -b. Будем называть данное бинарное отношение 1 ортогональностью в G [1]. Следующая ортогональность называется тривиальной: (1) x 1 y » x = 0 v y = 0. Однако наибольший интерес представляют нетривиальные ортогональности [1]. Определение 1. Назовём отношение ортогональности максимальной ортогональностью в G, если при добавлении к нему каких-либо новых пар полученное отношение уже не является ортогональностью в G . Сформулированная ниже теорема помогает определить, когда G имеет нетривиальную ортогональность. p Теорема 2 [1]. Следующие условия эквивалентны: (a) G имеет нетривиальную ортогональность L ; (b) G имеет нетривиальные циклические подгруппы H и K, такие, что H n K = {0}; (c) G имеет нетривиальные подгруппы Ни K , такие, что H n K = {0} . Наибольший интерес представляет собой доказательство импликации (с) ^ (а), поскольку с его помощью вводится способ построения нетривиальных ортогональностей. А именно, определим L как x L y » (x e Н л y e K) v (x e K л y e H) v x = 0 v y = 0. (2) Пример 3. Пусть G = Z 2 © Z 2. Обозначим через 0 = (0, 0), а = (0, 1), b = (1, 0), с = (1, 1) элементы группы Z2 © Z2. Нетривиальными подгруппами группы G являются подгруппы: A = {0, a}, B = {0, b}, C = {0, с}. Применяя (2) к каждой паре подгрупп, получаем 3 нетривиальные ортогональности: x L y » (x e A л y e B) v (x e B л y e A) v x = 0 v y = 0, x L y » (x e A л y e C) v (x e C л y e A) v x = 0 v y = 0, x L y » (x e B л y e C) v (x e C л y e B) v x = 0 v y = 0. Все эти ортогональности являются максимальными [1]. Оказывается, что ситуация существенно усложняется при рассмотрении группы Z 3 © Z 3. Пример 4. Пусть G = Z3 ©Z3. Z3 © Z3 = {0, ab a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8}, где 0 = (0, 0), aj = (0, 1), a2 = (0, 2), a3 = (1, 0), a4 = (1, 1), a5 = (1, 2), a6 = (2, 0), a7 = (2, 1), a8 = (2, 2). В силу теоремы 2, группа G имеет нетривиальную ортогональность тогда и только тогда, когда G имеет нетривиальные подгруппы, имеющие тривиальное пересечение. Так как порядок группы Z3 © Z3 равен 9, то, согласно теореме Ла-гранжа, порядок любой её нетривиальной подгруппы равен 3. Выпишем эти подгруппы: A = {0, a1, a2}, B = {0, a3, a6}, C = {0, a4, a8}, D = {0, a5, a7}. Заметим также, что каждые две подгруппы имеют лишь тривиальное пересечение. Таким образом, в силу (2), получаем 6 различных нетривиальных ортого-нальностей: x L1 y » (x e A лy e B) v(x e Bлy e A) vx = 0 vy = 0, (A,B) x L 2 y » (x e A л y e C) v (x e C л y e A) v x = 0 v y = 0, (A, C) x L3 y » (x e A л y e D) v (x e D л y e A) v x = 0 v y = 0, (A, D) x L 4 y » (x e B л y e C) v (x e C л y e B) v x = 0 v y = 0, (B, C) x L5 y » (x e B л y e D) v (x e D л y e B) v x = 0 v y = 0, (B, D) x L6 y » (x e C л y e D) v (x e D л y e C) v x = 0 v y = 0. (C, D) Будем называть такие ортогональности, полученные с помощью (2), элементарными. Заметим, что каждая ортогональность соответствует паре подгрупп. Так, например, ортогональность Lj соответствует паре (A, B), L2 - паре (A, C) и т.д. Будем говорить, что (X, Y) и (S, T) не имеют общих элементов, если (3) (X и Y) П (S и T) = 0. Например, (A, B) и (A, C) имеют общие элементы, а (A, B) и (C, D) нет. Можно ли построить новые ортогональности, отличные от элементарных? Следующее предложение помогает при ответе на этот вопрос. Предложение 5. Объединение ортогональностей, соответствующих парам подгрупп, не имеющих общих элементов, также является ортогональностью. Таким образом, объединив ортогональности Lj и L6, L2 и L5, L3 и L4, мы получим 3 новые ортогональности: х L16 y » (x e A л y e B) v (x e B л y e A) v (x e C л y e D) v v(x e D л y e C) v x = 0 v y = 0, x L25 y » (x e A л y e C) v (x e C л y e A) v (x e B л y e D) v v(x e D л y e B) v x = 0 v y = 0, x L34 y » (x e A л y e D) v (x e D л y e A) v (x e B л y e C) v v(x e C л y e B) v x = 0 v y = 0. Предложение 6. Ортогональности L16, L25 и L34 являются максимальными. Доказательство. Докажем, что L16 является максимальной ортогональностью. x L16 y » (x e A л y e B) v (x e B л y e A) v (x e C л y e D) v v(x e D л y e C) v x = 0 v y = 0. Предположим, что ортогональность L16 не является максимальной, а значит, в силу определения максимальной ортогональности, L16 можно расширить. По построению мы можем добавить пару, у которой или первая координата из A, а вторая из C, или первая координата из B, а вторая из D, или первая координата из A, а вторая из D, или первая координата из B, а вторая из C. Рассмотрим случай, когда первая координата из A, а вторая из C. Остальные случаи рассматриваются аналогичным образом. Пусть ортогональность L такова, что (4) (x L16 y) v (x = a лy = a4) ^ x L y, тогда, в силу (А4), из того, что ax L a4, следует ax L a8, где a8 = a4 + a4 e C . Таким образом, a L C . Так как подгруппа A циклическая и каждый её ненулевой элемент является её образующим, то (5) Объединив условия (5) и (6), получим A L B л A L C л C L D. Воспользовавшись (А4), имеем A L B © C , где B © C = G . Таким образом, из того, что A с G, следует A L A , а значит, ax L ax л a2 L a2, что противоречит антирефлексивности ортогональности. Таким образом, отношение L не является ортогональностью. Аналогичным образом можно показать, что ортогональности L25 и L34 также являются максимальными. □ Замечание 7. Если пары подгрупп, соответствующие ортогональностям, имеют общие элементы, то их объединение не является ортогональностью. Так, например, объединив L1 и L2 , получим х L12 y » (х e A л y e B) v (x e B л y e A) v (x e A л y e C) v v(x e C л y e A) v x = 0 v y = 0. (7) Покажем, что отношение L12 не является ортогональностью. Из определения L12, в частности, вытекает, что ax L12 a3 л ax L12 a4. В силу (А4) a1 L12 a3 + a4, то есть a1 L12 a7, где a7 e D, что противоречит (7). Нетрудно показать, что всякая нетривиальная ортогональность в Z © Z р может быть получена как объединение элементарных ортогональностей. Таким образом, в рассматриваемой нами группе Z3 © Z3 существует 9 нетривиальных ортогональностей, 6 из которых являются элементарными, а 3 другие -это всевозможные их объединения, являющиеся максимальными ортогонально-стями. Перед тем как перейти к исследованию произвольной группы Z © Z , рассмотрим группу Z5 © Z5. Пример 8. Пусть G = Z 5 © Z 5. Z5 ©Z5 = {0, a1, a2, ..., a24}, где 0 = (0, 0), a1 = (0, 1), a2 = (0, 2), a3 = (0, 3), a4 = (0, 4), a5 = (1, 0), a6 = (1, 1), a7 = (1, 2), a8 = (1, 3), a9 = (1, 4), a10 = (2, 0), an = (2, 1), a12 = (2, 2), an = (2, 3), aM = (2, 4), a15 = (3, 0), a16 = (3, 1), a17 = (3, 2), a18 = (3, 3), a19 = (3, 4), a20 = (4, 0), a21 = (4, 1), a22 = (4, 2), a23 = (4, 3), a24 = (4, 4). Так как порядок группы Z5 © Z5 равен 25, то порядок любой её нетривиальной подгруппы равен 5. Выпишем эти подгруппы: A ={0, a1, a2, a3, a4}, ^={0, a5, aw, a15, a20}, C={0, a6, a12, a18, a24}, ^={0, a7, a14, a16, a2s}, E={0, a8, an, a19, a22}, F={0, a9, a13, a17, a21}. С помощью (2) построим 15 элементарных ортогональностей, которые запишем в виде пар соответствующих им подгрупп: 1) ±^(A,B) ±2:(A,C) ±3:(A,D) ±4:(A,E) ±5:(A,F) 2) l6:(B,C) ±7:(B,D) l8:(B,E) ±,:(B,F) 3) ±i0:(C ,D) ±n:(C ,E) ±12:(C ,F) 4) ±13:(D,E) ±14:(D,F) 5) ±15:(E,F) Здесь в первой строке указаны пары, содержащие в качестве первой компоненты подгруппу A, во второй - подгруппу B и так далее, пока не останется единственная пара (E, F). Рассмотрим ортогональности, являющиеся объединениями двух элементарных ортогональностей, удовлетворяющих (3). Каждую из ортогональностей первой строки можно объединить с шестью другими ортогональностями; каждую ортогональность второй строки можно объединить с тремя из оставшихся ортогональностей; ортогональности третий строки объединяются с ортогональностями последующих строк единственным образом; ортогональности четвёртой и пятой строчек не могут быть объединены, поскольку имеют общие элементы. Запишем полученные ортогональности в следующую таблицу. ±6,13 ±6,14 ±6,15 ±7,11 ±7,12 ±7,15 ±8,10 ±8,12 ±8,14 ±9,10 ±9,11 ±9,13 ±1,10 ±1,11 ±1,12 ±1,13 ±1,14 ±1,15 ± 2,7 ±2,8 ±2,9 ±2,13 ±2,14 ±2,15 ±3,6 ±3,8 ±3,9 ±3,11 ±3,12 ±3,15 ±4,6 ± 7 ± 9 ±4,10 ±4,12 ±4,14 ±5,6 ±5,7 ±5,8 ±5,10 ±5,11 ±5,13 Таким образом, при объединении элементарных ортогональностей в пары возникает 45 более сложных ортогональностей. Однако все они не являются максимальными. Объединим ортогональности в тройки. Для наглядности запишем их в виде соответствующих объединений пар подгрупп. (A, B) U (C, D) U (E, F) (A, B) U (C, E) U (D, F) (A, B) U (C, F) U (D, E) (A, C) U (B, D) U (E, F) (A, C) U (B, E) U (D, F) (A, C) U (B, F) U (D, E) (A, D) U (B, C) U (E, F) (A, D) U (B, E) U (C, F) (A, D) U (B, F) U (C, E) (A, E) U (B, C) U (D, F) (A, E) U (B, D) U (C, F) (A, E) U (B, F) U (C, D) (A, F) U (B, C) U (D, E) (A, F) U (B, D) U (C, E) (A, F) U (B, E) U (C, D) Аналогично предложению 6 показывается, что все эти 15 ортогональностей максимальны. При объединении элементарных ортогональностей по четыре возникающие отношения уже не являются ортогональностями, а значит, группа Z5 © Z 5 имеет ровно 75 нетривиальных ортогональностей. Обобщим полученные результаты. Рассмотрим произвольную группу Zp © Zp, где p > 3, p - простое число: Zp = {0, 1, 2, ... , p -1}, Z „ © Z „ = {0, a1, a2, ... , a 2 }. p -1 Порядок любой нетривиальной подгруппы группы Z p © Z равен p. Так как каждая нетривиальная подгруппа группы Z p © Z p циклическая и содержит p -1 ненулевых элементов (каждый из которых является её образующим), то количество её подгрупп равно числу p2-1 --= p +1. p -1 Таким образом, можно построить C2p+1 элементарных ортогональностей: p ортогональностей, соответствующих парам (A, X), где X - произвольная нетривиальная подгруппа, X Ф A; (p -1) ортогональностей, соответствующих парам (B, X), где X - произвольная нетривиальная подгруппа, XФ A, B; одну ортогональность, соответствующую паре двух последних подгрупп. Теорема 9. Число s всевозможных нетривиальных ортогональностей прямой суммы циклических групп Zp © Z , p > 3 , вычисляется по формуле p-1 Cp+1 'Cp-1 "... 'Cp-(2i-1) i=0 (i +1)! Доказательство. Число элементарных ортогональностей Z p © Z равно C2+1. Объединим элементарные ортогональности в пары так, чтобы полученные p+1 отношения снова были ортогональностями. Выберем из Cp+1 пару ортогонально стей, удовлетворяющую (3). Первую ортогональность можно выбрать Cp+1 способами, вторую - C2p-1 способами, исключив ортогональности, которые соответствуют парам подгрупп, содержащих в качестве хотя бы одной из компонент подгруппы из первой ортогональности. Так как (X, Y) U (S, T) = (S, T) U (X, Y), то формула для подсчёта ортогональностей, являющихся объединениями двух элементарных, имеет следующий вид: Cp+1 ' Cp-1 2! С помощью аналогичных рассуждений можно получить формулу для подсчёта числа ортогональностей, соответствующих объединению максимального возможного числа элементарных ортогональностей в тройки: Cp+1 ' Cp-1 ' Cp-3 3 . Продолжая этот процесс, получим в конце формулу для вычисления числа ор-тогональностей, соответствующих объединению максимально возможного числа элементарных ортогональностей с соблюдением условия (3). При добавлении к таким ортогональностям новой элементарной ортогональности условие (3) уже не будет выполняться и полученное отношение не будет ортогональностью. Формула имеет вид fil fil fil Cp+1 ' Cp-1 ' Cp-3 '...' C4 ' C2 p +1 2 Таким образом, последняя формула соответствует числу максимальных ортогональностей группы Z © Z p , где p > 3 . Просуммировав полученные результаты, имеем формулу для вычисления числа всевозможных нетривиальных ортогональностей прямой суммы Z p © Z p , p > 3: p-1 ^ Cp+1 ' Cp-1 '...' Cp-(2i-1) Y (7+1)1 . Для наглядности занесём результаты, полученные для всех исследуемых нами групп, в таблицу. Группа Число элементарных ортогональностей Число максимальных ортогональностей Число всевозможных нетривиальных ортогональностей Z 2 © Z 2 3 3 3 Z 3 © Z 3 6 3 9 Z 5 © Z 5 15 15 75 Z p © Z p , p > 3 C 2 Cp+1 fi2 fil fil fil Cp+1 ' Cp-1 ' Cp-3 ' ...' C4 ' C2 (^)' p-1 2 с2 • с2 • • с2 Y p+1 p-1 .. p-(2i-1) h (i+1)! Таким образом, нам удалось полностью описать ортогональности группы Z © Z и найти их число.

Скачать электронную версию публикации