Studying the particle motion in a fluid flow in the vicinity of a movable wall.pdf Процессы извлечения из воздуха взвешенных частиц включают, как правило, осаждение частиц на сухие или смоченные поверхности и удаление осадков с поверхностей осаждения [1]. В пылеуловителях и сепарационных устройствах применяют следующие способы отделения взвешенных частиц от взвешивающей среды: осаждение в гравитационном поле, осаждение под действием сил инерции, а также осаждение в центробежном поле [2]. Осаждение под действием гравитационных сил происходит из-за различной кривизны траектории движения составляющих выброса (газа и частиц), вектор скорости движения которого направлен горизонтально. Для этого необходимо создать соответствующий режим движения загрязненного газа в аппарате с учетом размера частиц и их плотности. Инерционное осаждение основано на том, что частицы аэрозоля и взвешивающая среда ввиду значительной разности плотностей обладают различной инерцией [3]. Инерционное осаждение происходит путем резкого изменения направления вектора скорости движения выброса, при этом твердые частицы под действием инерционных сил, двигающиеся по инерции в прежнем направлении, отделяются от газовой среды и попадают в приемный бункер. При центробежном разделении выбросу придается вращательное движение внутри циклонного аппарата, при этом твердые частицы отбрасываются центробежной силой на периферию аппарата к его стенке, так как центробежное ускорение в циклоне на несколько порядков больше ускорения силы тяжести, что позволяет удалить из выброса даже весьма мелкие частицы [4]. Целью настоящей работы является исследование движение одиночной частицы в потоке жидкости, вблизи плоской стенки, которая совершает в своей плоскости гармонические колебания. Поле течения жидкости Задача о движении жидкости вблизи колеблющейся в своей плоскости стенки известна как вторая задача Стокса [5]. Пусть неограниченная плоская стенка совершает в своей плоскости прямолинейные гармонические колебания. Ось x расположим в плоскости стенки, а ось z направим перпендикулярно к стенке. Так как жидкость прилипает к стенке, то колебания последней приводят к тому, что жидкость на самой стенке (z = 0) обладает некоторой скоростью, меняющейся по закону Ux (0, t) = U0 cos^t + a). Движение жидкости вблизи стенки описывает дифференциальное уравнение dUx (1) (2) (3) (4) (5) d 2Ux -= V-г- dt dz2 с начальным и граничными условиями, имеющими следующий вид: для t < 0: Ux (z, t) = 0, для t > 0 : z = 0, Ux (0, t) = U0 cos^t + a); z ^да, Ux (да, t) = 0 . Решение дифференциального уравнения (1) с условиями(2) - (4) имеет вид / I- л / I- л Uz (z, t) = U0 exp cos П - 0.0250.02 -0.015 - 0.0050.01 - 0 -0.1 -0.05 0.05 0.1 UU Рис. 1. Распределение скоростей вблизи плоской стенки, совершающей колебания в собственной плоскости (кр. 1 - 0°; кр. 2 -45°; кр. 3 - 90°; кр. 4 - 135°; кр. 5 - 180°; кр. 6 - 225°; кр. 7 -270°; кр. 8 - 315°) юt -J-z + a 2v Таким образом, жидкость вблизи стенки совершает колебательное движение с убывающей по мере удаления от стенки амплитудой U0 exp (-п), причем колебание слоя жидкости, находящегося от стенки на расстоянии z, имеет по сравнению с колебанием стенки смещение по фазе п = Wю/2v в направлении, противоположном движению стенки. На рис. 1 изображены кривые распределения скоростей для различных моментов времени. Два слоя, находящиеся один от другого на расстоянии 2v / ю , колеблются в одинаковой фазе. Это расстояние можно рассматривать как своего рода длину волны колебания. Слой жидкости, приводимый стенкой в колебательное движение, имеет толщину 5 - Vv / ю . Следовательно, он тем тоньше, чем больше частота колебаний и чем меньше кинематическая вязкость. Уравнения движения частицы Уравнение движения центра масс одиночной частицы можно записать в виде dv N pvdvF , (6) dt i=1 i N где р - средняя плотность частицы; V - ее объем; ^ Fi - главный вектор внешi =1 них действующих сил. Рассмотрим более подробно систему сил, действующих на частицу. Силу тяжести можно определить по формуле Fg = PV?. (7) Наличие локального градиента давления приводит к появлению силы, направленной в сторону градиента давления [2, 6]: Fp = -Jpnds = -Jgrad(p)dV и -grad(p)V . (8) s V Градиент давления, создаваемый статическим давлением равен grad (p) = -peg. Складывая силу тяжести и силу, вызванную градиентом статического давления, получим выталкивающую силу Архимеда [3, 7]: Fa =( Р - Pe )Vg . (9) Сила, связанная с неоднородностью касательных напряжений т, имеет вид [2] FT = J div(T)dV и div(T)V, (10) где т - тензор касательных напряжений. Сила сопротивления в однородном потоке газа определяется как [3, 8]: с FD =--*- ndpPe |v - V e | (v - Ve ), (11) где CD - коэффициент сопротивления; dp - диаметр частицы; ve - скорость несущей среды. При ускоренном движении частицы силы аэродинамического сопротивления будут отличаться от сил, свойственных стационарному течению. В частности, возникает сила, связанная с необходимостью привести в ускоренное движение вытесненные частицей массы несущей среды. Эта сила, называемая силой присоединенных масс, связана с относительным ускорением следующей формулой [8]: " Dve. - dl _ Dt dt _ где Cvm = 0.5 - коэффициент присоединенных масс. Уравнения Навье - Стокса [9, 10], описывающие движения несущей среды, позволяют определить связь между градиентом давления, сдвиговыми напряжениями и характеристиками движения потока: Dv PeD = -grad(p) + div(T) + Peg . (13) Fvm = CVm nd 3pPe (12) Комбинируя это выражение с формулой для силы присоединенных масс и c законом движения, окончательно получим уравнение движения одиночной частицы в форме Буссинеска - Бассе - Озеена [2]: pv (1+^ ))v = Fd + (1+^ )peV^DjL+(£::££) FG . (14) dt Dt p Для расчета траекторий движения капли приведенная выше система уравнений дополняется следующими кинематическими соотношениями: dxp dyp dzp (15) -= vx , -- = vy, -- = vz, (15) dt dt dt где xp, yp, zp - координаты частицы в декартовой системе координат. Коэффициент аэродинамического сопротивления Коэффициент сопротивления одиночной твердой частицы CD в простейшем случае является однозначной функцией относительного числа Рейнольдса Re = p |v - ve\d/ц, построенного по плотности частицы, ее относительной скорости, диаметру и динамической вязкости жидкости. Зависимость CD (Re) в этом случае называется стандартной кривой сопротивления и имеет четыре характерных участка (режима обтекания). При низких числах Рейнольдса Re < 1 поток практически симметричен относительно плоскости симметрии, ортогональной к направлению движения, так как инерциальные силы слишком малы, чтобы воспрепятствовать смыканию линий тока позади частицы. Для этого режима решение уравнения Навье - Стокса в пренебрежении и инерциальными членами дает формулу Стокса: CD = 24/Re. С ростом Re увеличивается влияние сил инерции и картина обтекания теряет симметрию. При значениях числа Рейнольдса, лежащих в диапазоне Re~10 - 25 потока, и за частицей образуется зона с замкнутыми линиями тока или со стационарным кольцевым вихрем. При дальнейшем увеличении Re до 300-700 вихревые кольца, образующиеся в отрывной зоне, срываются и уносятся вслед, а на их месте возникают новые. В переходной области кривая сопротивления описывается различными формулами. В частности, стандартную кривую сопротивления можно аппроксимировать степенными зависимостями Бабухи - Шрайбера [2]: CD = Re" , A = 26.3, n = 0.8 для 1 < Re < 10, A = 12.3, n = 0.5 для 10 < Re < 1000. При Re > 103 картина обтекания в некоторой степени стабилизируется, что в первом приближении приводит к независимости CD от Re : CD и 0.44 = const. При Re > 1.5 -105 имеет место кризис сопротивления, который характеризуется резким падением значений коэффициента сопротивления и связан с турбулизаци-ей пограничного слоя и резким смещением точки отрыва в кормовую область. Этот эффект впервые обнаружил Эйфель. Для расчета коэффициента сопротивления в этом диапазоне чисел Рейнольдса можно использовать формулы, приведенные в [3]: 28.18 - 5.3lgRe для 0.1 lg Re- 0.46 1.5-105 < Re < 2-105. для 2-105 < Re < 5-105, Cd = 0.19 -4-10"4 Re-1 для 5-105 < Re. Взаимодействие частицы со стенками сосуда, в котором она движется, зависит от формы, начального движения и ориентации частицы, а также от геометрических особенностей стенок. Для частицы, двигающейся вблизи стенки, сила сопротивления зависит от расстояния от частицы до поверхности. Бреннер [11] изучил сопротивление, испытываемое частицей, двигающейся по направлению к стенке в условиях ползущего течения. Коэффициент сопротивления частицы, центр которой удален от поверхности на расстояние h, в первом приближении может быть рассчитан по формуле CD = и f 1 + ± D Re I 2h При движении частицы параллельно стенке также необходимо модифицировать силу сопротивления. При больших расстояниях до стенки Факсен [11] установил: -1 24 Re 1 16 CD = 1 - 9 (± V1 fd Y-il 161 2h J 81 2h J 256 Анализ результатов Рассмотрим гравитационное осаждение частицы вблизи колеблющейся стенки. На рис. 2 показана зависимость скорости осаждения частицы Uz различного диаметра от высоты z. 1-1-1 0.08 z, м Рис. 2. Зависимость скорости осаждения частицы различного диаметра от высоты: кр. 1 - d = 50 мкм, а = [0, п/2, 3п/2]; кр. 2 - d = 100 мкм, а = [0, п/2, п, 3п/2]; кр. 3 - d = 500, а = [0, п]; кр. 4 - d = 500 мкм, а = [п/2, 3п/2]; кр. 5 - d = 1000 мкм, а = [0, п]; кр. 6: d = 1000 мкм, а = [п/2, 3п/2]. U0 = 0.1 м/с; ю = 0.1 с-1 Uz, м/с 0 -0.04 --0.08 --0.12 --0.16 Из рисунка видно, что существуют три характерных участка осаждения частиц. На первом участке происходит достаточно резкое изменение скорости частицы от начального значения до стационарной скорости осаждения. Затем частица движется с постоянной скоростью. При приближении к стенке происходит торможение частицы, связанное с наличием твердой преграды. С уменьшением размера частицы области нестационарного движения (начальная и пристеночная) сокращаются. На рис. 3 представлены изменения горизонтальной составляющей скорости Ux малых частиц (d = 50 мкм) в зависимости от времени для разных частот колебания пластины ш и углов а . 0.08 0.04 0 -0.04 -0.08 а f 3 31 4 0 10 20 30 40 t, c Ux, м/с н 0.08 0.04 0 -0.04 -0.08 -0.12- 40 46 t, c Рис. 3. Изменение горизонтальной компоненты скорости частицы со временем, d = 50 мкм, U0 = 0.1 м/с: а - ю = 0.1 с-1, б - ю = 10 с-1 (кр. 1 - 0°; кр. 2 - 90°; кр. 3 -180°; кр. 4 - 270°) Анализ рисунков показывает, что горизонтальная составляющая скорости частицы, находящейся на некоторой высоте z в некоторый момент времени t близки к скорости жидкости на той же высоте и в тот же момент времени. Это свидетельствует о малой инерционности частиц малого диаметра. При z > 2у/ш горизонтальная компонента скорости близка к нулю. При z > 2у/ш изменение горизонтальной скорости частицы приобретает гармонический характер с возрастающей амплитудой. Увеличение частоты колебания пластины увеличивает частоту изменения скорости частицы. Однако с ростом ш колебательный режим изменения скорости частицы наблюдается в более тонком слое, прилегающем к пла-стине.С увеличением диаметра частиц увеличивается их инерционность. Амплитуда колебания частицы уменьшается. При этом увеличение колебания пластины приводит к уменьшению частоты и амплитуды частицы. Перейдем к рассмотрению траекторий движения частиц (d = 50 мкм, рис. 4). Как видно из рисунков, на начальном этапе частица движется прямолинейно, затем по мере приближения к стенке начинает совершать гармонические колебания с возрастающей амплитудой. Амплитуда колебания частиц, а также область, в которой происходят эти колебания, уменьшается с увеличением частоты колебания стенки. Такой же эффект наблюдается и при увеличении диаметра частицы (рис. 5). Отдельный случай, ю = 0, соответствует движению частиц в окрестности плоской стенки движению с постоянной скоростью U0. В этом случае траектории движения частиц прямолинейны (рис. 5). z, м 0.08 0.04 0 z, мм 98 84 0,45 0 x, мм -0.1 -0.05 0.05 x, м Рис. 5. Траектория движения частицы, U0 = 0.1 м/с, ю = 0 с 1: а - d = 50 мкм, б - d = 1000 мкм Таким образом, проведенные исследования показывают, что с ростом ю колебательный режим изменения скорости частицы наблюдается в более тонком слое, прилегающем к пластине. С увеличением диаметра частиц увеличивается их инерционность. Амплитуда колебания частицы уменьшается, при этом увеличение колебания пластины приводит к уменьшению частоты и амплитуды частицы.

Скачать электронную версию публикации