Optimization methods for solving systems of hydrodynamics nonlinear equations.pdf Существуют два подхода численного решения стационарных задач для системы уравнений Навье - Стокса, описывающей движение вязкой однородной несжимаемой жидкости. Один, и он наиболее часто используемый, сводится к решению каким-либо приближённым методом нестационарной задачи для системы уравнений Навье - Стокса и получение в пределе установившегося решения. Другой, менее популярный метод, заключается в построении системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ) с помощью какой-либо аппроксимации решаемой стационарной задачи, а затем полученная система решается итерационными методами. Обзор обоих подходов можно найти в [1]. Каждый из подходов имеет свои преимущества и недостатки. Главными достоинствами второго подхода к решению стационарных задач являются: 1) при сходимости итерационного процесса автоматически выполняется условие несжимаемости (div u = 0), 2) можно использовать сложно реализуемые обычным способом краевые условия (см. [2-4]); 3) такой способ решения стационарных задач не зависит от способа замены стационарной системы уравнений Навье - Стокса на СНАУ. Недостатки данного подхода связаны с тем фактом, что итерационные методы решения СНАУ для своей сходимости требуют ограничений на нелинейные операторы системы и начальное приближение, что существенно ограничивает возможность применение этого метода решения стационарных задач (см. [5-7]). В работах [1, 8-12] был рассмотрен итерационный метод неполной аппроксимации решения разностных задач аппроксимирующих различные стационарные задачи для системы уравнений Навье - Стокса, основанный на минимизации нормы невязки, который оказался достаточно эффективным при их решении. Для минимизации нормы невязки можно использовать методы оптимизации (МО), которые применяются для поиска минимумов многомерных функций. В настоящей работе рассматривается возможность решения разностных задач, аппроксимирующих стационарную систему уравнений Навье - Стокса итерационными методами минимизации [13-23], которые обладают свойствами метода сопряженных градиентов на квадратичных функциях [13]. 1. Постановка задачи Рассмотрим в ограниченной области Q следующую стационарную задачу: u -Vu + Vp = у-Дм ; (1) div u = 0 ; (2) l (и) = 0, (3) где Г граница Q, u - двухмерный или трехмерный вектор скоростей, p - давление, v - коэффициент кинематической вязкости, l (и) - некоторые краевые условия. В дальнейшем считаем, что задача (1) - (3) поставлена корректно. Для решения задачи (1) - (3) будем использовать метод сеток (хотя все дальнейшие выкладки и выводы справедливы и для других численных методов решения задачи (1) - (3)), который заключается в построении сетки в области Q и замене слагаемых в (1) разностными соотношениями (см. [21-23]). В итоге получаем, с учетом краевых условий (3), систему нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ), размерность которой пропорциональна числу точек в ПиГ, в которых необходимо вычислять скорость и давление. Таким образом, не углубляясь в методы замены задачи (1) - (3) СНАУ, в итоге имеем систему вида (более подробно смотри [1]) A(u, и) = f, (4) где u е RmA(u,u) = A1(u,u) + A2u, A1(u,u) - билинейное отображение, A2 - линейный оператор в векторном пространстве Em компонент вектора скоростей и давления. Один из подходов решения систем нелинейных уравнений (4), аппроксимирующих уравнения гидродинамики (1) - (3), состоит в сведении задачи решения системы уравнений г. (и) = (A (u, u) - f) = 0, i = 1,2,..., m, u е Rm , (5) к задаче минимизации нормы невязки (см. [1]) m ||r|I2 = f (u) = Xr2(u), u е Rm . (6) i=1 Здесь m - размерность задачи. Развитые в [1] итерационные методы решения системы (4) основываются на специально разработанных схемах построения сопряженных направлений для задачи минимизации (6) и дают надежду на возможность использования специализированных методов оптимизации. В работе исследуется возможность решения систем уравнений гидродинамики (1) методами минимизации, использующими значения функции f (u) и градиента Vf (u). В отличие от специализированных методов, где кроме функции и градиента используется дополнительная информация в виде матриц, при использовании МО сокращается время подготовки задачи для счета. При использовании МО несложно наложить на решение дополнительные ограничения, например в виде функционалов регуляризации, которые трансформируются в дополнительные изменения вида функции f (и) (6). Другой важный фактор актуальности использования МО состоит в том, что их применение не наталкивается на ограничения характеристик функции, накладываемые итерационным процессом, например, на ограничения свойств матриц линеаризации уравнений (5) или гессиана (6). С другой стороны, поскольку при нелинейности уравнений (5) для МО не существует доказательства их сходимости к требуемому решению и оценок их скорости сходимости, то эти вопросы следует изучать на основании вычислительного опыта. С учетом эффективности существующих универсальных МО градиентного типа, ограничимся исследованием возможности использования применительно к задаче (6) релаксационных методов, которые при определенных условиях на квадратичных функциях обладают свойствами метода сопряженных градиентов (МСГ) [13, 14]. Свойства МСГ следующие: 1) на квадратичных функциях последовательные направления спуска в МСГ являются сопряженными векторами, что обеспечивает конечное окончание процесса за число итераций, не превосходящее размерность задачи m [16], при этом генерация последовательности не требует хранения всей системы сопряженных векторов; 2) на гладких функциях, в силу справедливости квадратичного представления функции в некоторой локальной окрестности точки, свойство конечной сходимости метода на квадратичных функциях существенно влияет на увеличение скорости сходимости метода минимизации. Свойством генерации последовательности сопряженных направлений обладают следующие классы методов: 1) методы сопряженных градиентов [13, 14]; 2) квазиньютоновские методы [16, 17]; 3) многошаговые релаксационные субградиентные методы [24-29]; 4) релаксационные субградиентые методы с растяжением пространства [16-20]. Методы классов 1 и 2 основаны на квадратичной модели функции [13, 14], а алгоритмы классов 3 и 4 организованы по типу е -субградиентных методов [15]. В методах классов 1 и 3 требуемая память для хранения промежуточной информации и вычислительные затраты на итерации пропорциональны размерности пространства m . В методах классов 2 и 4 аналогичные затраты пропорциональны m2, что ограничивает их применение в задачах высокой размерности. На предварительном этапе отбора методов при малых размерностях численно исследовались алгоритмы классов 2 и 4: квазиньютоновский метод, основанный на формуле BFGS [14] и субградиентный метод с растяжением - сжатием пространства [18]. Перечисленные алгоритмы по затратам вычислений функции и градиента минимизируемой функции на порядок превосходят используемые методы классов 1 и 3. В силу их неприменимости в задачах высокой размерности для решения поставленных задач использовались только методы классов 1 и 3. 2. Используемые методы оптимизации Для решения задачи минимизации (6) было выбрано два метода, описание которых приведено ниже. 1. Общая схема релаксационного процесса минимизации. Итерация рассматриваемых в работе релаксационных МО с точным одномерным спуском имеет вид un+1 = un-ansn , ап = argmin f (un-asn), n = 0,1,..., (7) a>0 0 n где задается начальная точка u , а s - градиентно-согласованное направление спуска, т.е.(У/"(un), sn) > 0. 2. Метод сопряжённых градиентов. В методах сопряженных градиентов (МСГ) направление спуска вычисляется по правилу = g 0, s" = g" +P"S"-1, п = 1,2,..., (8) где параметр Рп = 0 при п кратном m, а при п не кратном m вычисляется по одной из формул [10, 11]: g уп-1) (gп уп-1) (gп gп) Здесь принято обозначение gп = V/U), уп-1 = V/(ип) -V/(ип-1). Схемы МСГ в соответствии с (9) будем обозначать МСГа, МСГб и МСГв. 3. Многошаговый релаксационный субградиентый метод [21, 22]. Как отмечено в [14], зачастую метод сопряженных градиентов является единственным универсальным средством решения большеразмерных задач. К недостаткам метода следует отнести необходимость высокой точности одномерного спуска и быстрое накопление погрешностей в вычислении сопряженных направлений даже в случае квадратичных функций (см. [13, 14]). По этой причине в работе для решения гладких задач минимизации использован релаксационный субградиентый метод [21, 22], менее требовательный к точности одномерного спуска. Направление спуска этого алгоритма формируется по схеме [22] ° 1 -(5п-1

Скачать электронную версию публикации