Contact metric structures on 3-dimentional non-unimodular Lie groups.pdf Традиционно в геометрии большой интерес представляют римановы многообразия с некоторой дополнительно заданной структурой, согласованной с метрикой. Изучение контактных структур актуально, поскольку они возникают при изучении дифференциальных уравнений в частных производных и в задачах теоретической механики. Определение 1 [1]. Дифференцируемое (2п+1)-мерное многообразие М класса С называется контактным многообразием, если на нем задана дифференциальная 1-форма п, такая, что (^Ad^)n ф 0 всюду на M2n+1. Форма п называется контактной. Контактная форма определяет на многообразии ТМ2п+1 распределение E = {v,n(v)=0} размерности 2п, которое называется контактным распределением. Кроме того, контактное многообразие М2п+1 имеет всюду ненулевое векторное поле, обозначаемое Е, которое определяется свойствами: п(Е) = 1 и d^EX) = 0 для всех векторных полей X на М2п+1. Векторное поле Е называется полем Риба или характеристическим векторным полем контактной структуры. Аффинором ф на М будем называть гладкое поле линейных операторов ф: TM^-TM. действующих на каждом касательном пространстве TxM. Определение 2 [1]. Если М2п+1 контактное многообразие с контактной формой п, то контактной метрической структурой называется четверка (п,Е,ф*§"), где Е - поле Риба, g - риманова метрика и ф - аффинор на М2п+1, для которой имеют место следующие свойства: 1) ф2 = -I + п®Е, 2) d^X,Y) = g(X^Y), 3) g^X^Y) = g(X,Y) - пХ)п(Т). Риманова метрика g контактной метрической структуры называется ассоциированной. Из второго и третьего свойств сразу следует, что ассоциированная метрика для контактной структуры п полностью определяется аффинором ф: g(X, Y) = dп(фX,Y) + пХ)п(7). Почти контактной метрической структурой на М2п+1 называется тройка (п,Е,ф), для которой выполнены условия ф2 =-1+п®Е, п(Е) = 1. Пусть M2n+1 - почти контактное многообразие с почти контактной структурой (П,|,ф). Рассмотрим многообразие М2и+1х R. Векторное поле на М2и+1х R задается парой (X, fdt), где X - векторное поле, касательное к М2"+1, t - координата второго сомножителя R, dt - векторное поле на М2и+1 х R вида dt(F(x,t)) = dF/dt и f- функция класса С на М2и+1 . Определим почти комплексную структуру J на М2и+1х R. с помощью оператора J, действующего по формуле J(X, fdt) = (фХ - f%, n(X) dt). Если J - интегрируемая почти комплексная структура, то почти контактная структура (п4,ф) называется нормальной. Определение 3 [1]. Если контактная метрическая структура (п,|,ф^) является нормальной, то она называется нормальной контактной метрической структурой, или структурой Сасаки. Если характеристическое векторное поле порождает группу изометрий g, т.е. - векторное поле Киллинга относительно g, то такую контактную метрическую структуру называют К-контактной структурой. Известно [1], что для нормальности и К-контактности контактной метрической структуры достаточно выполнение равенств [ф,ф]+2й?п^ = 0 и (L^nXX = 0 (L -производная Ли) соответственно. Пусть G - неунимодулярная трехмерная группа Ли, тогда [4] ее алгебра Ли имеет базис е1,е2,е3, такой, что [ebe2] = ae2 + Pe3, [e1,e3] = ye2+5e3, [e2,e3] = 0, причем матрица ^-(a ei имеет след a + 5 = 2. Это позволяет выписать ненулевые структурные константы: C122=a, С123=р, Q32=Y, C133=S. Пусть n = а161 + а262 + а363 - произвольная левоинвариантная 1-форма, где б1, б2, б3 - дуальный базис левоинвариантных 1-форм к базису е1,е2,е3. Выпишем уравнения Маурера - Картана в выбранном базисе: de1 = 0, de2=-aeVe2-yeVe3, de3=-peVe2-5eVe3. Тогда dn = a^e1 + а2de2 + a3de3 = = a2(-aeVe2-yeVe3) + a3(-peVe2-5eVe3) = = (-aa2-pa3)eVe2+(-a - 5a3) e1лe3 и nлdn= (a1e1+a2e2+a3e3) л ((-aa2-Pa3)e1лe2+ (-Ya2-5a3) eVe3) = = ((5 - a)a2a3 - Pa32 + Ya22) e1лe2лe3. Вывод. На группе G левоинвариантная 1-форма n = a1e1 + a2e2 + a3e3 определяет контактную структуру при (5 - a)a2a3 - Pa32 + Ya22 Ф 0. Перейдем к построению контактной метрической структуры, для этого выберем метрику на алгебре Ли, относительно которой выбранный выше базис е1,е2,е3 (1 0 является ортонормированным g0 - 0 1 0 U 0 11 теристики. и найдем ее геометрические харак- Тензор кривизны R(X,Y,Z) = VXVYZ - VYVXZ - V[X,rZ в базисе е1,е2,е3 обозначим R(ei,eJ)ek = Rpkses, тогда тензор Риччи Ric, скалярная Sc и секционная кривизна K в направлении базисных площадок находятся по формулам: s, Rk Ric]k = Rlk, Sc = g*Ric]k, Kj = ^2. giigjj gij Выпишем ненулевые компоненты тензора Риччи: Ricu = -а2 +1 By- 1 В2-S2, 11 4 2 2 1 1 2 Ric22 =-а - - Ру-2р -а8, Ric23 =-ау-р5- 1 5у, 3 1 Ric32 = - 2 аУ - PS - 2 8у, Ric33 =-4У2 -4РУ+ 2Р2-S2 -Sy. 2 1 1 2 2 3 2 Скалярная кривизна Sc = -2a -Ру-2Р -2S -2аS-^у . Секционные кривизны в направлении базисных площадок K12 = -a2 -3ру-|р2, K13 = - 3 у 2 + 4 Р2 - 2 py-s2, K23 =-aS+ 2 ру+ 4 p2. Теперь найдем вид контактных метрических структур на группе G, но сначала проверим, является ли ранее выбранная метрика g0 контактной метрической структурой. Рассмотрим два частных случая: 1) Я2 = 0 (в Ф 0), 2) аэ = 0 (у Ф 0). 1) Пусть выбрана контактная структура первого вида п = а101+а303. Найдем оператор ф из условия ch\(X,Y) = g0(X^Y). Получаем dn = -Pa301A02 - Sa3 01л03, тогда dn(X,Y) = -Р^з X1 Y2 + Pas^Y1 - Sa3 X1 Y3 + Sa3 X3 Y1, g(X,фY) = X1 ф,1 Yj + X2 ф?Р + X3 фуТ'. Приравнивая коэффициенты при Х', получаем фjYJ = Pa3Y2 - 5a3Y3 qjY = Pa3Y1, фfY] = 5a3Y1 или ( 0 -Pa3 -5a 3 N Ф = Pa3 0 0 45a 3 0 0 J Проверим выполнение условия Я0(ФВД = g0(XY) - n(X)n(Y), (фФ =-I ((P2 +52)a32 0 0 ( 0 Pa3 5a 3 -5a3Y 0 Pa3 5a 3 ^ -Pa3 0 0 P2 a2 P5a32 P5a32 52 a32 -Pa3 фф = jv-5a3 (1 - a2 0 1 0 I-n®n = v-a1a3 0 1 - a3 у 0 -ala3 Приравняем левую и правую части соотношения ((в2 +52a2 0 0 ( 0 в2 a2 P5a32 0 P5a32 52 a32 \ 1 - a2 0 -a1a3 1 0 0 -a, a 1"3 0 1 - a и составим систему уравнении, сравнивая компоненты матриц (P2 + 52)a32 = 1 - a2, P2a32 = 1,52a32 = 1 - a32, -P5a2 = 0, ala3 = 0, решая которую, получаем ограничения на коэффициенты контактной структуры: a1 = 0, a3 = +- 1 Vp2+5i Выберем P = +1,5 = 0, тогда получим решение вида aj=0 и a3=+1. Вывод. Метрика g0 определяет контактную метрическую структуру в том случае, когда контактная форма n = ±Q3 и аффинор ф задается матрицей (0 -1 Ф = + 1 0 0 0 0 0 Полученная структура не является ни нормальной, ни К-контактной. 2) Далее рассмотрим второй частный случай а3 = 0 (у ф 0). Тогда контактная структура принимает вид n = а^1 + а262. Построим контактную метрическую структуру аналогично первому случаю. Сначала найдем оператор ф из условия dn(X,Y) = g0(X,фY): dn = -Pa291A92 - 5a2 91л93. Тогда dn(X, Y) = -Pa2X1Y2 + Pa2X2 Y1 - 5a2 X1 Y3 + 5a2 X3 Y1, g(X^Y) = X1 ф-Y + X2 ф?¥> + X3 ф/Y'. Приравнивая коэффициенты при Х1, получаем qj YJ = aa2Y2 - ya2Y3 qfY1 = aa2Y1, q}3V = ya2Y1 или aa2 -ya 2 Г 0 - Л q = aa2 Ya 2 Проверим выполнение условия g0(qX,qY) = g0(X,Y) - nX)n(Y), (qqt = -I + n®§). V 0 -aa2 -ya 2 ^ aa2 0 0 Г 0 aa2 0 0 Ya 2 0 0 qq = Ara 2 0 0 "Ya 2 / Г (a2 +y 2)a2 0 0 Л 2 2 2 a a2 aya2 aYa22 Y2 a22 Г1 - aj2 -aja2 -a1a2 1 -a^ 0 0 Составим систему уравнений, сравнивая соответствующие элементы матриц в условии qqt = -1 + n ® § : (a2 +y 2 )a2 = 1 - aj2, a 2 a^ = 1 - a^, y 2 a^ = 1, aja2 = 0, -aYa^ = 0, решая которую, получаем ограничения на коэффициенты контактной структуры: 1 Л q = ± a1 = 0, a2 = ± a2 + y 2 Выберем y = ±1, a = 0 , тогда получим решение вида a1 = 0 и a2 = ±1. Вывод. Метрика g0 определяет контактную метрическую структуру в том случае, когда контактная форма n = ±92 и аффинор q задается матрицей Г0 0 -Г| 0 0 0 1 0 0 Рассмотрим другие метрики, которые также определяют контактную метрическую структуру. Для удобства вычислений в качестве контактной формы и аффи- Г0 -1 0^ 1 0 0 0 0 0 нора выберем n = Q , qo = Любой другой аффинор ассоциированной структуры на контактном распределении имеет вид [6, 7] q Ie =q0 Ie (1+P)(1 - P)-1, I-n®n = где Е - контактное распределение, а Р - оператор на Е, обладающий свойствами: 1) Р симметричен относительно метрики g0, 2) Р антикоммутирует с ф0, 3) Оператор 1 - P2 положительно определен относительно метрики g0 на Е (1 - тождественный оператор). Такой оператор можно задать [6] в виде P = или в полярных координатах I v^i sinа1 P = Pl • 1 1 ^ sin а1 - cos а1 Тогда на контактном распределении Е аффинор ф имеет вид t -s r0 1 + pcosa1 psina1 A |1 -pcosa1 -psina1 psina1 1 -pcosa1J ^ -psina1 1 + pcosa1 cos а. ф ie = 1 0 ( 2 2p sin a1 1 + 2p cos a1 +p2 -1 + 2p cos a1 -p 1-p 2p sin a1 1-p2 1-p2 Продолжим его на все касательное многообразие группы G: 2p sin a1 1 + 2p cos a1 +p2 1-p 0 -1 + 2p cos a1 -p 1-p 2p sin a1 T-pr 0 0 ф = 1 Напомним, что ассоциированная метрика контактной метрической структуры полностью определяется аффинором: g(X, Y) = dn ^X,Y) + п(Х)п(У); 2 1 + 2p cos a1 +p 1-p 2p sin a1 T=p~ 0 2p sin a1 T-p" 1 - 2p cos a1 +p2 1-p 0 g = Заключение. Контактная метрическая структура на неунимодулярной группе Ли может быть задана четверкой (п,Е,ф^), где п = е3 2p sin a1 1 + 2p cos a1 +p2 1-p 0 Е = es, -1 + 2p cos a1 -p2 1-p 2p sin a1 T-p~ 0 ф = 2 1 + 2р cos а1 +р 1-р 2р sin а1 0 2р sin а1 т-рт 1 - 2р cos а1 +р2 1-Р 0 g = Простые вычисления (в системе Maple) показывают, что данная структура не является ни нормальной, ни К-контактной.

Скачать электронную версию публикации