Studying the applicability of the algebraic slip model for prediction dispersed phase motion in the flow.pdf Многофазные течения широко распространены в энергетике, химической, обрабатывающей промышленности и имеют широкую область применения [1-9]. В инженерных приложениях приходится иметь дело с большим разнообразием многофазных сред, которые принято разделять на следующие классы [10]: • газовзвеси, дым - смеси газа с твердыми частицами; • аэрозоли, туман - смесь газа с жидкими каплями; • суспензии - смесь жидкости с твердыми частицами; • эмульсии - смесь жидкости с каплями другой жидкости; • газожидкостные среды, пены - смесь жидкости с газовыми пузырями; • зернистые (гранулированные) среды - упакованные твердые частицы, в зазорах которых содержится газ или жидкость; • капиллярно-пористые среды - пористые тела, содержащие в порах газ или жидкость. Твердые частицы, капли, пузырьки газа называются дисперсными частицами, или дисперсной фазой, а окружающую их фазу - несущей средой. Для описания свойств многофазных потоков в настоящее время используют два метода, основанные на подходе Лагранжа и Эйлера [11, 12]. В рамках подхода Лагранжа выписываются уравнения движения отдельных частиц, рассматриваемых как материальные точки, в форме второго закона Ньютона, в правых частях которого стоят силы, действующие на частицу в потоке [13]. Несмотря на кажущуюся простоту описания движения частиц в рамках подхода Лагранжа, этот метод обладает, по крайней мере, двумя существенными недостатками. Первый из них связан с вычислительными трудностями, связанными с необходимостью решать огромное число уравнений движения для совокупности частиц. Так, для описания пространственного движения N частиц требуется решить 6N уравнений. Проблема становится еще более сложной, если возникает необходимость моделирования движения частиц с учетом их взаимодействия. Вторая проблема связана с трудностью учета стохастического характера движения частиц в потоке с турбулентностью. Используемые в настоящее время подходы, основанные на использовании метода Монте-Карло, требуют проведения целой серии расчетов, так, чтобы результат их осреднения имел объективный характер. Эффекты взаимодействия фаз, стохастический характер движения большой совокупности частиц могут быть учтены в рамках подхода Эйлера, в соответствие с которым многофазная среда рассматривается как совокупность многоскоростных континумов (несущей среды и различных фракций частиц). Для каждого из этих континумов записываются уравнения движения в форме Эйлера, а также уравнения сохранения массы каждого из рассматриваемых континумов. В случае частиц с малой инерционностью этот подход может быть заменен моделями, основанными на концепции дрейфа дисперсной фазы относительно несущей среды. При этом скорость дисперсной фазы определяется в предположении малости инерционных членов или, иными словами, динамического баланса сил, действующих на частицы. Таким образом, нет необходимости решать полные дифференциальные уравнения движения, а достаточно рассмотреть уравнение динамического баланса сил. Вследствие своей простоты и экономичности модели дрейфа частиц получили широкое распространение в инженерной практике. Тем не менее возможность их применения должна определяться не интуитивными оценками и соображениями простоты, а соответствующими количественными оценками. Отметим, что использование как подхода Лагранжа, так и подхода Эйлера основано на предположении малости размеров частиц dp по сравнению с характерным размером области течения L , за который в рамках вычислительной гидродинамики удобно принять размер конечноразностной сетки. Таким образом, должно выполняться соотношение (1) В случае нарушения условий (1) в рамках подхода Лагранжа частицу невозможно принять за материальную точку и приходится исследовать картину обтекания частицы потоком. Невыполнение условия (1) в рамках подхода Эйлера эквивалентно невозможности применить модель взаимопроникающих континумов. Рассмотрим некоторый объем жидкости, соответствующий объему конечно-разностной ячейки. Скорость несущей среды внутри этого объема v{ можно считать независящей от координат. Введем систему координат, движущуюся со скоростью vl. В этой системе координат несущая среда будет неподвижной. При моделировании движения дисперсной фазы внутри конечноразностной ячейки будем исходить из следующих предположений: • движение частицы определяется силой Архимеда и силой сопротивления; • частица дисперсной фазы с начальной скоростью v0 попадает в некоторый объем покоящейся жидкости; • вектор скорости частицы в начальный момент времени параллелен вектору ускорения, вызываемого силой Архимеда; • частицы дисперсной фазы предполагаются сферическими; • взаимодействие между частицами не учитывается. Отметим, что последнее предположение позволяет исследовать движение только одиночной частицы. В рамках этих предположений уравнение движения одиночной частицы можно представить в следующем виде: dvp dt 3 _р. 4 Pp CDdp1 |Vp| vp + (2) В уравнении (2) g - ускорение свободного падения, dp - диаметр дисперсной фазы, р, рр - плотность несущей и дисперсной фазы vp - скорость дисперсной фазы, коэффициент сопротивления CD является функцией относительного числа Рейнольдса Re = р |vp | dpj ц. Стандартную кривую сопротивления можно аппроксимировать кусочными зависимостями вида CD = C' Re", (3) где значения коэффициентов в формуле (3) приведены в таблице. (4) Значения коэффициентов в законе сопротивления Число Рейнольдса Re Re < 1 1 < Re < 10 10 < Re < 800 800 < Re < 2 -105 C 24 26.3 12.3 0.44 " -1 -0.8 -0.5 0 Определим скорость движения частицы в рамках модели дрейфа. В случае гравитационного оседания частиц уравнение динамического баланса сил может быть представлено следующим образом: з^ р J-H I р^ 7CD - dp1 Ы vs +-p g = 0, 4 рр р где vs - скорость стационарного осаждения частицы (скорость седиментации). При движении частиц, описываемом законом сопротивления Стокса скорость седиментации может быть определена как Vs = gd . 18ц (5) (6) (7) В переходной области скорость седиментации определится выражением V = 4/6 рц 2/3 dp 5/6 d32 для 1 < Re < 10 ; ■J(C')-1 (рp -р)рpg -(c ')-1 (Pp-р)рp g 13 рц для 10 < Re < 800 . При движении частицы, описываемом законом сопротивления Ньютона, скорость седиментации ции ts и длина седиментации ls. Эти масштабы могут быть определены следующим образом: о v ts = ~--L, ls = vsts. (9) P-Pp g Для дальнейшего анализа удобно представить уравнения движения в безразмерном виде. Для этого введем безразмерные скорости, координаты и время: ф = v , 1= x, T = t- . (10) v l t s s s Таким образом, движение частицы в рамках модели дрейфа будет описываться следующими зависимостями: ф = фй =1, =T . (11) При необходимости учета инерционных свойств частицы необходимо решить дифференциальные уравнения движения, которые в безразмерном виде имеют вид ^-Нф- +1, = (12) d т d т где n - показатель степени у числа Рейнольдса в законе сопротивления. Уравнения движения частицы (12) замыкаются следующими начальными условиями: т = 0 : Ф = Фо, | = 0. (13) Решение системы уравнений (12) с начальными условиями (13) зависит от закона сопротивления. Рассмотрим сначала движение частиц в режиме сопротивления Стокса: n = -1. Интегрирование уравнений (12) с условиями (13) позволяет определить скорость и перемещение частицы для различных моментов времени. В безразмерном виде эти зависимости имеют вид Ф = 1 + (фо -1)e_T , | = т + (фо-1)[1-e^] . (14) Скорость и перемещение частицы, движущейся в режиме сопротивления Сто-кса, отличаются от скорости дрейфа и перемещения, вызванного дрейфом на следующие значения: Дф = (фо - 1)e-T , Д| = (фо -1)[1 -e-T] . (15) Время, за которое частица переместится на характерный размер области течения L , в рамках модели дрейфа определится как Дт =L = х= 18 , (16) ls KnpRes где Res =pv s dpjц - седиментационное число Рейнольдса, Knp = dpjL - сеточное число Кнудсена. Таким образом, относительная погрешность в смещении частицы, даваемая моделью дрейфа, может быть записана в виде Д£ Kn р Re 1 - exp (17) X 18 f 18 ^ "(фо -1) Kn p Res , Модель дрейфа частиц может быть применена при Kn* = Д^/Х 800 величина относительной погрешности зависит только от величины ф0. Таким образом, в ходе проведенного исследования определена область изменения параметров, при которых возможно применение модели дрейфа частиц.

Скачать электронную версию публикации