Lines close to geodetic lines on a paraboloid.pdf 1. Постановка проблемы В [1] поставлена задача об отыскании на параболоиде вращения линий, которые локально близки к геодезическим линиям, без осложнений допускают отнесение к натуральному параметру, а также определяются своими концевыми точками. В той же работе обоснована перспективность использования в качестве такой линии сечения параболоида куском демиквадрики Q , ограничивающими лучами которого служат две нормали параболоида. С этой целью в специальном линейном комплексе прямых, пересекающих ось параболоида, выделено подмножество К прямых, непараллельных директориальной плоскости а параболоида. Наличие оси и указанной плоскости позволило ввести систему координат на К, отождествляющую его с областью в М3. Нормальной конгруэнции параболоида соответствует алгебраическая поверхность Z в К3. В работе [1] оценена степень близости прямой в К3, изображающей демиквадрику Q, к поверхности Z . В той же работе поставлен следующий вопрос. Пусть L - линия пересечения демиквадрики Q и параболоида. Необходимо оценить угловое отклонение главных нормалей линии L от нормалей параболоида в соответствующих точках. В [1] этот вопрос не решен, поскольку используемая в ней модель приводит к чрезмерно сложным вычислениям. Здесь мы применим иную модель, которая проигрывает в применении к нормальной конгруэнции параболоида, но удобна для решения поставленной здесь задачи. 2. Локальная карта на многообразии прямых Линейчатое пространство [2, 3] наделяется структурой дифференцируемого многообразия [4] различными способами. Нас будет интересовать локальная карта, примененная автором в [5]. Именно, пусть в трехмерном аффинном пространстве А3 задана неподвижная пара параллельных (и не совпадающих) плоскостей П и П2. Вершину репера O помещаем в плоскость П, векторы е1 и е2 параллельны обеим плоскостям. Вектор е3, отложенный из точки O, имеет концевую точку в плоскости П2. Область Л локальной карты содержит все прямые в А3, пересекающие пару плоскостей nt, П2. Если прямая l пересекает плоскость П в точке А (x1, x2,0), а плоскость П 2 в точке B (x3, x4,1), то локальными координатами прямой l объявляем четверку чисел (xl, x2, x3, x4). Рис. 1. Правило присвоения локальных координат прямой l еА Гомеоморфизм Лэ l ---■(, x2, x3, x4 )е M4 (2.1) позволяет ввести на А структуру 4-мерного точечно-векторного пространства. Его свойствам посвящена работа [5]. При этом группа преобразований пространства А3 - эквиаффинная. Отдавая предпочтения метрическим свойствам указанного пространства, сужаем эквиаффинную группу до группы движений, а репер {O, е1, е2, е3} полагаем ортонормированным. Мы не видим оснований для терминологического различения прямой l еА и соответствующей ей точкой (x1, x2, x3, x4) е M4 и будем писать l (x1, x2, x3, x4). Если, кроме того, имеем n(y1,y2,y3,y4), то определяем расстояние между прямыми: p(l, n ) = V (x1 - У )2 +(x2 - У2 )2 +(x3 - У3 )2 +(x4 - У4 )2 . Заметим также, что наши построения не претерпевают существенных изменений, если расстояние между параллельными плоскостями П и П2 взять равным не единице, а другой отличной от нуля константе. Правило (2.1) остается неизменным. 3. Конгруэнция нормалей параболоида вращения. Координатное представление Рассмотрим кусок параболоида вращения R = \u cosv,u sinv,-U- i, 0 < u < r , 0 < v < 2n. (3.1) 1 4F J Здесь r - радиус вырезающего цилиндра. На практике r < F, и мы можем одно из условий в (3.1) записать (и это существенно) иначе: 0 < u < F . Пару неподвижных плоскостей выбираем следующим образом. nt = (xOy), П2 задана уравнением = F Z = 4 . Не нарушая общности, полагаем F = 1. Взаимное расположение куска параболоида, плоскостей nt и П2 и нормали l параболоида пояснено на рис. 2. Рис. 2. Кусок параболоида и сопутствующие объекты: плоскости П1, П2 и нормали l Нормаль, отвечающая значениям параметров u и v, есть годограф вектор-функции Если А - точка пересечения нормали с плоскостью П1 и B - точка пересечения нормали с плоскостью П2, то A = {8cos v ( + u1), ■8-sin v (8 + u2)}, B = {^cos v (7 + u 2), '8"sin v (7 + u 2 ),)j. Точка в К2, изображающая нормаль (попросту, сама нормаль), пробегает 2-поверхность, заданную вектор-функцией r = {x1,x2,x3,x4} = {8cosv(8+u2), ^sinv^8+u2), 8cosv(7 + u2), 8sinv(7+u2j}. (3.2) Эта 2-поверхность принадлежит гиперквадрике (детерминантное многообразие [6, ст. 99]) x1 x4 -x2x3 = 0. (3.3) Она также принадлежит гиперповерхности 6-го порядка I4У12 - 6У1У2 - I6У22 + 49У1 - 64У2 + ( - У2 )3 = ^ (3.4) где У1 = 64 (x2 + x^), У2 = 64 (xf + x4). (3.5) Впрочем, 2-поверхность (3.2) допускает и другое задание. Разрешая (3.3) параметрически x3 = tx1, x4 = tx2, (3.6) где t - новый вещественный параметр, и учитывая (3.5), приводим уравнение (3.4) к виду (x1 + x2 ) f1f2 = 0 . Здесь f = 64x12t3 - 192t2x12 +192x12t - 64x12 - 7 + 8t + 64t3x22 - 192t2 x22 + 192tx22 - 64x22, f = 64x1 t + 192t x1 +192 x1 t + 64 x1 + 7 + 8t + 64t x2 + 192t x2 + 192tx*2 + 64x2 . Стоит заметить, что f = 64 (t -1)3 (x2 + x2 + 8t - 7), f2 = 64(t +1)3 ( + x22 + 8t + 7). Если применено (3.6), то при различных значениях параметра t получаем линии в плоскости x1Ox2: это окружности вещественного радиуса при t - 7,-1I u (V7 и мнимого радиуса при остальных вещественных значениях t . Если ввести новые переменные и, следовательно, формулы (3.7) отображают поверхность 2 на тор Клиффорда [7, с. 13]. Рис. 3. Проекции на координатную плоскость xtOx2 линий, высекаемых на поверхности 2 уравнениями (3.6). Линия А соответствует значению t = 0.876, для B : t = 0.878, для C : t = 0.880, Для D : t = 0.882 системы координат в плоскости (uOv) и полярных радиусов точек E1, E2 совершается так, как в [1], то есть приводит к соотношениям u2 = R - u1, v2 = -v1. Иллюстрацией служит заимствованный в [1] рис. 3. Рис. 3. Точки E1 и E2 на полярной плоскости. ZHOK = v , ZHOE2 = -v , \OEX\ = u1, \OE2\ = 1 -u1 . Тогда A1 = | cos v1 (8 + u12 ), u81- sin v1 (8 + u12 ), “^^cos v1 (7 + u12 ), “^^sin v1 (7 + u12 )|, A2 =l^'8uLcos v1 (8 + (1 - u1 )2 ), sin v1 (8 +(1 - u1)2 ), 1 - u 1cos V, (7 + (1 - u1 )2),)) sin v1 (7 + (1 - M, )2 )J. Радиус-вектор текущей точки отрезка [ А1А2 ] имеет вид L = {a1,a2,a3,a4} , где a1 = "“cosv1 (u + u13 - 19u1t - 2u13t + 9t + 3tu12), a2 = -1-sin v1 (u + u13 + 3u1t - 9t - 3tu12 ), a3 = -1-cos v1 (lu1 + u13 -17u1t - 2u13t + 8t + 3tu12 ), a4 = -1-sin v1 {lu1 + u13 + 3u1t - 8t - 3tu12 ), 0 < t < 1. Квадрат расстояния от текущей точки отрезка [А1А2 ] до текущей точки поверхности (3.2) имеет вид Y=Z (ri- ai)2. i=1 Подробное исследование экстремумов этой функции весьма затруднительно, если проводить его в символьном виде. Вместо этого мы, действуя как в [1], проведем численную оценку верхних значений наименьших расстояний для вполне правдоподобных ситуаций. Верхние оценки максимальных значений функции Т при различных значениях параметров u1, v1, t Меньший радиус u 1 = 8 Меньший радиус u 1 = 6 п п п п п п t v = - v = - v = - v = - v = - v, = - 1 8 1 8 1 7 1 3 1 7 1 3 0 0.00000 0.00000 0.00000 0.03501 0.00000 0.01962 1/8 0.00002 0.00001 0.00001 0.00002 0.00002 0.00002 1/4 0.00006 0.00004 0.00004 0.00006 0.00006 0.00008 3/8 0.00010 0.00007 0.00007 0.00011 0.00011 0.00015 1/2 0.00013 0.00008 0.00009 0.00015 0.00013 0.00019 5/8 0.00012 0.00008 0.00008 0.00015 0.00012 0.00018 3/4 0.00008 0.00005 0.00006 0.00010 0.00008 0.00013 7/8 0.00003 0.00002 0.00002 0.00004 0.00003 0.00004 1 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 Продолжение таблицы Меньший радиус u 1 = 4 Меньший радиус u 1 = 3 п п п п п п t v = - v = - v = - vi =_ v = - v = - 1 8 1 7 1 8 1 7 1 3 1 3 0 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1/8 0.502 -10-5 0.535 -10-5 0.161 • 10-5 0.181 • 10-5 0.229 •Ю-5 0.675 •Ю-5 1/4 0.00002 0.00002 0.522 •Ю-5 0.600 •ю-5 0.00001 0.00003 3/8 0.00003 0.00003 0.892 •Ю-5 0.00001 0.00003 0.00006 1/2 0.00003 0.00004 0.00001 0.00001 0.00004 0.00008 5/8 0.00003 0.00004 0.00001 0.00001 0.00005 0.00009 3/4 0.00002 0.00002 0.699 -10-5 0.849 -10-5 0.00004 0.00007 7/8 0.74Ы0-5 0.833 -10-5 0.250 •Ю-5 0.306 •Ю-5 0.00001 0.00002 1 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 5. Отклонение главных нормалей линии L от нормалей параболоида Здесь используются те же величины, что и в пункте 4: меньший радиус u1, больший радиус u2 = R - u1, а также половина угла расхождения радиус-векторов проекций пары точек на координатную плоскость xOy . Главный параметр - угол у в радианах между главной нормалью исследуемой линии и нормалью параболоида в соответствующей точке. Опуская вычислительные детали (они весьма сложны), приводим итоговый рис. 4. Рис. 4. Влияние параметров ux, u2 , v1 на величину у На основании графика можно заключить, что от чего бы ни зависело поведение переменной у , размах колебаний (а они не уменьшались в 10 раз) позволяет надеяться на такое отклонение нормалей исследуемой линии от нормалей параболоида, которое оправдывает использование указанных линий (в разумных пределах) вместо геодезических линий параболоида вращения. 6. SG-линии Линии, о которых идет речь в этой и предыдущей статьях, суть линии пересечения параболоида вращения с демиквадрикой, для которой двумя прямыми служат нормали параболоида. Как мы выяснили, эти линии довольно хорошо воспроизводят свойства геодезических, не являясь на самом деле таковыми. Автору показалось уместным присвоить этим линиям обозначение SG-линии (от английского Substitute Geodesic). Вообще, удобный исходный материал для демиквадрики - пространственный четырехугольник [8]. Действительно, пусть (A1А2B2B1) - пространственный четырехугольник. Пусть М = (1 -1) A + tA2, N = (1 -1 )B + tA2, t £ R. Тогда, как нетрудно проверить, при t £ Ж. прямые MN заполняют демиквадри-ку, включающую прямые AlB1 и А2 B2, а при 0 < t < 1 получаем часть демиквад-рики, ограниченную этими прямыми. I i i Рис. 5. Схема построения демиквадрики по пространственному четырехугольнику (A1A B2B1) Обозначим демиквадрику, построенную на пространственном четырехугольнике (A1А2B2B1) символом D (A1А2B2B), а параболоид - символом P . Тогда SG-линия есть P n D (A1А2B2B1). При этом произвол в отыскании SG-линии не столь велик. Точки А1, А1 - те точки параболоида, которые предполагается соединить SG-линией. Прямые AlB1 , А2B2 направлены по нормалям параболоида в точках А1 , А2 . Кроме того, если выбор точек B1 , B2 уже совершен, то заменяя их на точки C1, C2 так, что при некотором Х£ М имеем A-lC-l = ХА^ , А2C2 = ХА2B2 и получим ту же самую демиквадрику. Один из безусловно естественных способов определения положения точек B , В2 сводится к помещению их в плоскость z = 0 . Тогда ситуация передается рис. 6. Точки А1, А2 лежат на параболоиде. Точки В1, В2 суть точки пересечения нормалей параболоида в точках А1, А2 с плоскостью z = 0. Поверхность (А1А2 В2В1) - кусок демиквадрики D (А1А2В2 В^, а линия L (линия пересечения демиквадрики с параболоидом) есть SG-линия. Рис. 6. SG-линия - один из вариантов (отрезок [В1В2 ] в плоскости xOy ) А2 Рис. 8. SG-линия. Отрезки А1В1, А2В2 одинаковой длины отложены на нормалях параболоида в соответствующих точках А1 и А2 Если не применять искусственное сокращение числа параметров, то SG-линия определяется заданием величин F, u1, v1, u2, v2. Уравнение SG-линии при переменных указанных величинах чрезвычайно сложно. Автором разработана программа, которая при заданных значениях перечисленных пяти параметров составляет вектор-функцию r (t), 0 < t < 1, годографом которой является искомая SG-линия. Если параболоид задан не вектор-функцией (3.1), а уравнением 2 . 2 z = ^У- , (6.1) 4F то SG-линия определится набором значений F, x1, у1 , x2, у2 . 7. Сравнение с геодезической линией Сопоставление SG-линий и геодезических линий параболоида уже проведено выше (в данной статье и в [1]). Но это сопоставление в очевидном смысле косвенное. Прямое же сравнение в общем случае затруднено хотя бы тем, что уравнения SG-линий при произвольных определяющих её параметрах чрезвычайно громоздко. Однако вполне осуществим следующий вычислительный эксперимент. Указав на параболоиде точку А1 и касательное направление в этой точке, решаем задачу Коши для дифференциальных уравнений геодезической. Для полученного решения u = u (t), v = v(t) указываем промежуток изменения параметра t от 0 до некоей константы t1. Точку на параболоиде, для которой t = t1, считаем точкой А2. Для пары точек А1, А2 строим SG-линию (ради определенности - по схеме рис. 8). Сравниваются длина геодезической (вычисленная, разумеется, приближенно) с длиной SG-линии (тоже вычисленной приближенно). Эксперимент фрагментарен, но, по крайней мере, в случае успеха поддерживает гипотезу о близости линий. Дифференциальные уравнения, определяющие геодезические линии на достаточно гладкой поверхности, хорошо известны (например, [9]) и здесь не приводятся. Параболоид задаем уравнением (6.1) - там, где это удобно. В ином случае -вектор-функцией (3.1). В этом случае линия на параболоиде задается параметрически: u = u(t), v = v(t), (7.1) а дифференциальные уравнения геодезических имеют вид u (,)((jfu (t)) +((t)), d2 u (t) = - dt2 4 F 2 +(v (t ))2 +(u (t ))2 (Г j \2 / J \2 A v (,)Kdtu (,)) +Sv(t)) d2 v (t) = dt2 4 F 2 +(v (t ))2 +(u (t ))2 Для приближенного решения данной системы с помощью системы Maple в виде отрезка ряда Тейлора полагаем u (0) = 0.2; v (0) = 0.2; u'(0) = 0.5; v'(0) = -0.25. Приближенные значения искомых функций u(t) « 0.2000 + 0.5000t - 0.0005t2 - 0.0004t3 + 0.1624 • 10-514 + + 0.1283 • 10-5t5 - 0.8592 • 10-816 - 0.5625 • 10-817 + 5.2480 x 10-1114 + +2.8743 x 10-1115 - 3.4329 x 10-13 tw -1.6046 x 10-1316, v(t) « 0.2000 - 0.2500t - 0.0005t2 + 0.0002t3 + 0.6722 x 10-614 -- 0.6461 x 10-615 -0.1334 x 10-816 + 0.2845 x 10-817 + 5.276 x 10-1318 - -1.459 x10-n t9 + 2.848 x10-14 tw + 8.175 x10-14 tu. (7.2) Пусть 0 < t < 8 . Тогда, согласно (7.2), (7.1) и (3.1), A1 (0.2000, 0.2000, 0.0050), A2 (3.9986, -1.7409, 1.1887). (7.3) Длина геодезической линии [ А1А2 ] равна (приближенно) 4.47181517. Для той же пары точек (7.3) находим параметрические уравнения SG-линии, длина её (приближенно) составляет 4.47181558. Разница длин (в процентах) оценивается величиной 0.91014-10-5%.

Скачать электронную версию публикации