On commuting elements of a group.pdf Работа над одной из задач IV студенческой олимпиады по алгебре Московского государственного университета (2009 год) стала началом небольшого исследования свойств коммутирующих элементов произвольной группы. 1. Определения и простейшие свойства тривиально коммутирующих и нетривиально коммутирующих элементов Пусть (G, • ) есть произвольная неединичная группа. Определение 1. Элемент g называется тривиально коммутирующим, если он не коммутирует ни с каким элементом, кроме самого себя и единицы [1]. Определение 2. Элемент, не являющийся тривиально коммутирующим, будем называть нетривиально коммутирующим. Очевидно, каждый элемент центра группы является нетривиально коммутирующим элементом. Множества всех тривиально коммутирующих элементов, нетривиально коммутирующих элементов и инволюций группы будем обозначать соответственно через U, W, J. Предложение 1. U c J. Доказательство. В группе для каждого неединичного элемента g всегда существуют два элемента, с которыми он коммутирует: e и g_1. Если g £ U, то g = g_1. Значит, g £ J. # Очевидно, если |G| = 2, то |U| = | W| = 1. Для всех остальных абелевых групп | U| = 0, W = G. Поэтому дальше нас будут интересовать неабелевы группы. Непосредственные вычисления показывают, что в S3 ровно три тривиально коммутирующих элемента: U = {(12), (23), (13)}. В группе кватернионов Q8 множество U является пустым. 2. Свойства элементов U и W произвольной группы Отметим некоторые свойства элементов U и W произвольной группы. Предложение 2. 1) Элемент, сопряжённый тривиально коммутирующему элементу, есть тривиально коммутирующий элемент; элемент, сопряжённый нетривиально коммутирующему элементу есть нетривиально коммутирующий элемент: Vu е U Vw е W VgеG (^еП л wg еЩ. 2) Произведение двух тривиально коммутирующих элементов есть нетривиально коммутирующий элемент: щеи л ^е U ^ ^^е W. Доказательство. 1) а) Выясним, какие элементы группы коммутируют с элементом ug. Пусть uga = aug, где a е G. Имеем gug- a = agug4 ^ ug~lag = g~lagu ^ uag = ag u . Так как u е U, то g-1 g-1 as = e или as = u . Следовательно, a = e или a = ug, то есть ug - тривиально коммутирующий элемент. б) Пусть w е W, тогда по определению ЭaеG (wa = aw л a * e л a * w). Отсюда wg_1ga = ag_1gw л gag-1 * geg~l л gag- * gwg- ^ -1 -1 -1-1 g g g gwg gag = gag gwg л a * e л a * w ^ wgag = agwg, где ag * e, ag * wg, то есть wg - нетривиально коммутирующий элемент. 2) Пусть u1, u2 е U. Если u1 = u2, то u1 u2 = e е W. Пусть теперь u1 * u2 и u1u2 = v. Предположим, что v - тривиально коммутирующий элемент, тогда o(v) = o(u1) = o(u2) = 2 ^ v = v- ^ u1u2 = (u1u2)-1 = u2-1u1-1 = u2u1, что противоречит определению 1. Следовательно, v - нетривиально коммутирующий элемент. # Теорема 3. Если множество тривиально коммутирующих элементов конечной группы не пусто, то их ровно половина: пусть |G| = n, | U| * 0, тогда | U| = | W|. Доказательство. Рассмотрим U = {u1, ..., us} и u еU. Согласно предложению 2, {u1u , ..., usu } с W. Следовательно, |U| < |W|. С другой стороны, так как Z(u ) = {e, u }, то |G/Z(u*)| = n/2. Легко видеть, что отображение f: {u*g | g£G} ^ G/Z(u*), такое что f (ug) = gZ(u ), является биекцией. В силу предложения 2, |U| > |{u*g | g£G}| = n/2. Следовательно, |U| > | W|. Таким образом, |U| = |W|. # Следствие 4. Пусть |G| = n, U ф 0. Тогда 1) Vw£ W Vu £ U 3u', u" £U (w = u u' = u"u ). 2) Множество тривиально коммутирующих элементов совпадает с множеством инволюций группы: U = J. 3) |G| = n = 4q + 2. Доказательство. 1) Согласно теореме 3, U = {ub ..., un/2}. Пусть u £U. Тогда * * * * {u ub..., u un/2} = {uju ,..., un/2u } = W. 2) Согласно предложению 1, U c J. Предположим теперь, что найдётся инволюция j, которая является нетривиально коммутирующим элементом. Тогда, согласно пункту 1) данного следствия, * * j = u uk, где u ф uk. Имеем -1 * / * 4-1 -1/ *4-1 * * * j = j ^ u uk = (u uk) = uk (u ) = uku ^ u uk = uku , что противоречит определению 1. Значит, J c U. С учётом предложения 1, получаем U = J. 3) Согласно [2, с. 28, № 3.13], n/2 = 2q + 1, то есть n = 4q + 2. # Обратимся теперь к нетривиально коммутирующим элементам. Теорема 5. Пусть |G| = n, U ф 0. Тогда W есть коммутативный нормальный делитель группы G. Доказательство. Воспользуемся критерием подгруппы. Пусть a, b £ W. Зафиксируем u £ U. Имеем ab-1 = u'u (u"u )-1 = u'u"£ W. Далее: ж 1 * 1 * * *0 О [a, b] = (u u,)- (u u) (u ui)(u uj) = (u,u uj) = uk = e. Заметим, наконец, что, согласно предложению 2, Vw £ W Vg£ G (wg£ W). # Обратимся теперь к произвольным группам. Предложение 6. Пусть (А, •) - абелева группа, имеющая инволюции, (D(A), ◦) - обобщённо диэдральная группа [2, с. 15-16, № 1.46]. Тогда множество U тривиально коммутирующих элементов группы D(A) является пустым. Доказательство. По определению D(A) = {(a, е) | a £ А, е = ± 1; (x, 6j) ◦ (y, е2) = (xyel, SiS2)}. Легко видеть, что множество всех инволюций J группы D(A) есть {(a, -1) | a£A} u {(a, 1) | a£A, o(a) = 2}. Убедимся, что ни одна из инволюций группы D(A) не является тривиально коммутирующим элементом. Пусть a"еА, o(a*) = 2. Тогда VaеА ((a, -1) ◦ (a , 1) = (aa , -1) = (a a, -1) = (a , 1) ◦ (a, -1)). Таким образом, в группе D^) нет тривиально коммутирующих элементов. # Теорема 7. Пусть D^) - обобщённо диэдральная группа, где группа А не содержит инволюций. Тогда множество всех тривиально коммутирующих элементов U группы D^) есть множество {(a, -1)| aеA} и |U| = |W|. Доказательство. Покажем, что VaеА (|Z(a, -1)| = 2). Пусть gеA и (a, -1) ◦ (g, е) = (g, е) ◦ (a, -1). Отсюда ag_1 = gae = aeg. При e = 1 получаем ag4 = ag ^ g4 = g ^ g = e (так как инволюций в А нет), то есть (g, е) = (e, 1). Если е = -1, то ag4 = a4g = (ag4)-1 ^ ag- = e, то есть g = a. Следовательно, (g, е) = (a, -1). Так как других инволюций в D^) нет, то U = {(a, -1)| aеA}. Согласно определению 2, W = {(a, 1) | aеA}, отсюда |U| = | W|. # Теорема 8. Пусть (G, •) - группа, множество инволюций J которой не пусто, и множество H = G\J является её подгруппой, H * {e}. Тогда 1) H - коммутативный нормальный делитель G; |G/H| = 2; 2) Множество тривиально коммутирующих элементов U группы G совпадает с J и |W| = |U|; 3) G = D(H). Доказательство. 1) Каждый элемент g группы G либо принадлежит Н, либо J. Так как VgеH VhеH (h^H), то убедимся, что VjеJ VhеH (jhj = h_1). Достаточно заметить, что jhеJ. Действительно, если jhgJ, то jhеН. Отсюда jеН, что противоречит условию теоремы. Таким образом, jhеJ, то естьjh = h-j. Следовательно, H< G. Вычислим индекс подгруппы Н в группе G. Предположим, что произведение двух различных инволюций есть инволюция: пусть j * k, и jk = j , где o(j) = o(k) = o(j *) = 2. Тогда VhеH (j *hj * = h_1 = (jkylh(jk) = kjhjk = h) -получили противоречие. Следовательно, VhеH (jH = kH), то есть |G/H| = 2. Вычислим [h1, h2]. Имеем [h1, h2] = (jhl])•(jh-')hlh2 = (h1h2)-1h1h2 = e. Пункт 1) доказан. 2) Пусть j£J. Так как Vh£H (jh = hTlj), то (jh = hj ^ h~lj = hj ^ h = e). Если k£J, k фj, то (jk = kj ^ jk)2 = jkkj = e), где jk£H (смотри доказательство пункта 1) данной теоремы), (jk) ф e - получили противоречие. Следовательно, Vj £ J (Zj) = {e, j}), то есть U = J. Отсюда W = H. Так как |G/H| = 2, то |U| = | W|. Пункт 2) доказан. 3) Убедимся, что Vj£J (H, j) = {h, hj | h£H}. Достаточно заметить, что h1(h2j)-1 = hLh-1 = hhi, (h2j)h1-1 = h2h1j; (hjXh^')-1 = h1h2-1. Так как Vk£ J (kj£H), то k = hj. Следовательно, Vj£ J (G = {h, hj | h£H}). Зададим отображениеf: G ^ D(H), такое, что Vh£Hf(h) = (h, 1), f (hj) = (h, -1). Очевидно, что f- биекция. Проверим сохранение операции: f(h1h2) = (*1*2, 1) = (h1, 1)-(h2, 1) = f(h1)-f(h2), fhAj) = (h1h2, -1) = (hb 1)»(h2, -1) = f(hO°f (h2j), f(h1 jh2) = f(hh-1/) = (h1h2-1, -1) = (hb -1)°(h2, 1) = f(hj)°fh), f (h jhj = f(h^-1) = (h1h2-1, 1) = (h1, -1)»(h2, -1) = f(hj)°f (h2j). Таким образом, G = D(H). #

Скачать электронную версию публикации