Stable solvability in spaces of differentiable functions of some twodimensional integral equations of heat conduction wi.pdf Одним из методов, применяемых для аналитического решения достаточно широкого класса краевых задач нестационарной теплопроводности, является метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) [1, с. 175]. На его основе для решения начально-краевых задач теплопроводности был разработан ряд численных методов, традиционно объединяемых под общим названием «методы граничных элементов» [2, с. 156; 3-8]. В связи с необходимостью строгого обоснования таких численных методов, связанного с вопросами аппроксимации и устойчивости, были проведены исследования, посвященные устойчивой разрешимости соответствующих ГИУ в пространствах дифференцируемых функций [5, 6, 9, 10]. В настоящей работе исследуются двумерные векторные ГИУ типа Фредгольма второго рода с операторным ядром, выраженным через С0 -полугруппу U(т). Как показано в работе [11], такие ГИУ позволяют решить векторные краевые задачи первого, второго и третьего рода для линейных дифференциально-операторных уравнений Д2 и = B и в плоской ограниченной односвязной открытой области Q+ или ее внешности Q- = R2 \ Q+ . Операторный коэффициент B является генератором С0-полугруппы U(т) в пространстве L2 = L2(IY х IT) (IY = [0, Y], IT = [0,T]): Bf = lim т-1(f - U(т) f). В свою очередь, указанные краевые задат^+0 чи суть возможные постановки начально-краевых задач теплопроводности на временном промежутке IT в однородном цилиндре Q+ х IY или Q- х IY с неоднородными граничными условиями первого, второго и третьего рода на боковой поверхности цилиндра, нулевыми граничными условиями первого, второго или третьего рода (в зависимости от оператора B) на основаниях цилиндра и нулевым начальным условием. Двумерные векторные ГИУ не совпадают с обычными скалярными ГИУ типа Вольтерра - Фредгольма для таких задач теплопроводности, но представляют собой по существу прямые суммы скалярных ГИУ типа Воль-терра-Фредгольма в плоских областях Q± , порождаемые спектральным разложением пространственной составляющей С0 -полугруппы. Преимущество таких двумерных ГИУ по сравнению с обычными состоит в возможности экономного вычисления разрешающих их сеточных операторов в алгебре полиномов, образованных степенями полугруппового оператора. В работах [12, 13] построены соответствующие вычислительные схемы, исследованы их аппроксимирующие свойства и вопросы устойчивости. При обосновании этих положений возникает необходимость установления инвариантности пространств Ck (dQ, Hn (IY x IT)) относительно прямых и обратных операторов ГИУ, а также ограниченности таких операторов в указанных пространствах (здесь Ck (dQ, HB (IY x IT)) - пространство k раз непрерывно дифференцируемых на SQ векторных функций со значениями в H’B (IY x IT); SQ - граница области Q+ ; HB (IY x IT) - пространство типа Соболева, определяемое n+1 степенью оператора B). Основную задачу настоящей статьи составляет доказательство наличия у таких операторов перечисленных свойств. Хотя исследуемые здесь интегральные уравнения и отличаются сами по себе от традиционно изучаемых, приведем еще несколько отличий полученных здесь результатов от аналогичных результатов других авторов. Разрешимость ГИУ в пространствах дифференцируемых функций, насколько мне известно, исследовалась или на границах типа Сад [6, 9, 10], или липшицевых [5], причем в последнем случае, как и в [6, 9], лишь в пространствах, являющихся соболевскими по всем переменным. В работе [10] доказана устойчивая разрешимость ГИУ второго рода в пространствах типа Ck (IT, Cn (dQ)) или Ck (IT, Hn (dQ)) (Hn (dQ) - пространство Соболева), причем в областях Q произвольной размерности, но в предположении неограниченно гладкой границы. Поэтому стоит отметить, что в настоящей работе устойчивая разрешимость ГИУ в пространстве Ck (dQ, HB (IY x IT)) доказана при менее обременительном условии dQ £ Ck+2. Работа [14] представляет собой более ранний этап настоящего исследования: результаты получены лишь в пространствах C(dQ, HB (IY x IT)) и Ck (dQ, L2); достаточное условие dQ £ Ck+2, по существу, только объявлено, но отсутствует часть доказательства, где оно используется (здесь теорема 1); исследовались лишь первая и вторая краевые задачи. В конце настоящей работы сделано указание на справедливость утверждений, аналогичных полученным, для стационарных и нестационарных задач теплопроводности в плоской области и стационарных задач в цилиндре, а также целого класса абстрактных краевых задач для уравнения Д2и = Bu . Постановки задач и предварительные сведения Пусть 5Q е С2. Рассмотрим четыре краевые задачи (i = 1,2): a2Д2 u± = Bu± (х = (х1,х2) е Q±), (1*) u± = w± (х е 5Q), (2a) дии±-П u± = w± (х едО), (2b) решения которых - функции и± (х) со значениями в L2, определенные на Q± . Здесь w± (х) - функции со значениями в L2, заданные на 5^; п - нормаль к кривой dQ в точке х, направленная внутрь области Q+; Д2 = д2 + д2 , дп сильные производные векторных функций; a > 0 - коэффициент температуропроводности, п> 0 - коэффициент теплообмена на боковой поверхности цилиндра. Оператор B определен в пространстве L2 как B = Bt + By + p E на пересечении областей определения операторов Bt и By . Здесь E - тождественный оператор; оператор Bt: (Bt f) (y, t) = dtf (y, t), задан на абсолютно непрерывных по t функциях f (y, t) е L2, таких, что dtf е L2 и f \t=0 = 0 при почти всех у е IY ; оператор By : (By f) (y, t) = -a2 д2yyf (y, t), задан на абсолютно непрерывно дифференцируемых по у функциях f (y, t) е L2, таких, что д2yyf е L2 и (д yf-^ f) | у=0 =^yf + Vf) |y=Y = 0 (0 0 - наименьшее собственное значение оператора By (ц1 = 0 лишь при =XY = 0). Оператор B замкнут как сумма двух замкнутых операторов в пространстве L2, порождающих С0 -полугруппы и действующих вдоль различных переменных [15]. Оператор B порождает экспоненциально убывающую С0-полугруппу U(т): ||U(т)|| < exp[-(p + ц1 )т], причем U(т) - нулевые операторы при т> T . Будем считать, что если по условию значения векторной функции принадлежат банахову пространству, то предельные операции над этими значениями по умолчанию осуществляются в норме этого пространства. Обозначим через С(Q') и Ск (Q') пространства непрерывных и k раз непрерывно дифференцируемых функций со значениями в L2, определенных на множестве Q' с R2. Определение 1. Решением уравнения (1 ±) будем называть функцию и± (х) е С2 (Q±) со значениями в D(B) (области определения оператора B), обращающую уравнение (1*) в истинное равенство. Определение 2. Решением задачи {P±} будем называть функцию и± е С(О±), являющуюся решением уравнения (1 ±) и удовлетворяющую граничному условию (2а). В случае задачи } будем требовать также выполнения условия: u- ^0 при |х| ^ад. II IIL2 Определение 3. Решением задачи {^2} будем называть функцию u± £ C(Q+), являющуюся решением уравнения (1±) и имеющую с внутренней (внешней) стороны SQ правильную нормальную производную d^u± (dnu+(х + |n) ^d„u±(х) при |^+0 равномерно относительно х £dQ), определяемую равенством (2b): dnu+ = w+ + n u+ . В случае задачи j^-} будем требовать также выполнения условия |х| ||u~||t ||Vu^ ^ ^ 0 при |х| ^ад f +||дх u\|2 IIl2 II х2 IIl2 (lMlL2 =||дх1 HIL +|дх2 HIL }- Пусть n1 и n2 - нормали к кривой SQ, проходящие через точки х' и х соответственно и направленные внутрь области Q+ ; дифференцирование dn и dn^ осуществляется по точкам х' и х соответственно. Зададим на множествах Q+ векторные функции p+ (х) (i = 1,2) со значениями в пространстве L2 с помощью криволинейных интегралов первого рода: Р+ (х) = J dn1 K(r) v+ (х') ds', p+ (х) = J K(r) v+ (х') ds', 5Q 5Q где r = |х - х'\, v+ (х) - векторные функции со значениями в L2, заданные на dQ; K(r) (r > 0 ) - функция со значениями в пространстве ограниченных операторов, действующих в L2 , определяемая равенствами K(r) f = (4п )-1 j т-1 exp[-rУ(4a2т)] U(т) f dт (f £ L2 ). h Согласно работе [11], при условиях dQ £ C2 и v+ £ C(dQ), функции p+ и p+ являются векторными аналогами потенциалов двойного и простого слоев соответственно. Если dQ£ C2 и w+ £ C(dQ), то задачи {^i1} однозначно разрешимы и их решения представимы в виде соответствующих функций p+ с неизвестными v+ £ C(dQ), однозначно определяемыми ГИУ: G+v+ = + (-1)i 2-1 v±+ Giv+ = w+ , ( ) (G f )(х) = J dn1 K(r)f (х')ds', dQ (G2 f)(х) = J [dn2K(r)-nK(r)] f (х')ds' dQ (х £ dQ). Анализ интегральных операторов в пространствах дифференцируемых функций Введем в рассмотрение параметрические уравнения кривой дО: х1 = х1 (s), х2 = х2 (s), где s - длина дуги, откладываемой от некоторой фиксированной точки в определенном направлении и заканчивающейся в точке х = (х1, х2). Функции х1 (s), х2 (s), периодические с периодом 2S (S - половина длины дО), осуществляют взаимнооднозначное отображение множества IS = (-S, S ] на множество дО. Очевидно, что если функции х^), х2(s) принадлежат классу С (IS), т.е. имеют непрерывные производные на замкнутом множестве IS до порядка k включительно, то дО е С. Условимся далее писать дО е С, если функции х1 (s), х2 (s) принадлежат классу Ск (IS). Кроме того, пусть s и s' - значения параметра, соответствующие точкам х и х ', и пусть ст = s' - s. Введем в рассмотрение функции уm (s, s') (m = 0,1,2 ), заданные на множестве IS х IS при s' * s равенствами у m = pmjст2 , где Р0 (s, s ') = (4a2 ) ' r2 = (4a2 ) ' -х (s') - -(s)]2 + [х2 (s ') - х2 (s)]2 } , P1 (s,s') = (na2) r дпr = (na2) {-(s')-х^)]^') + [х2(s')-х2^)]хЛ)} , P2(s,s') = (na2) r дП2r = (na2) {-[х1(s)-х^')]^) + [х2(s)-х2(^)]х1)} , а при s' = s равенствами y0(s,s) = (4a2 ) , У' (s,s) = y2(s,s) = (l6na2) [х|'^) х'2(s) -х"2(s) х[(s)]. Теорема 1. Пусть дО е Си+2 (n е Z+ = {0,1,...}). Тогда существуют непрерывные на множестве IS х IS производные д\д jym (i = 0,n - j , j = 0,n , m = 0,1,2). Лемма. Пусть I - замкнутый интервал на вещественной оси. Предположим, что некоторая вещественная функция f (z, Z) имеет в области I х I непрерывные производные д\д1^ (i = 0,n , j = 0,и'), причем n < и' и д^ |^=г = 0 при z е I, j = 0, q -1, где q = и' - и . Тогда функция h(z, Z), заданная при Z * z равенством h(z, Z) = f/(Z- z)q , а при Z = z равенством h(z, z) = д^ |z=z/q!, имеет в области I х I непрерывные производные дггд^-h при i = 0, и - j , j = 0, и . Доказательство леммы. Зададим на множестве I х I функции gk г m (z, Z) так, что при Z * z дГ д!+lf |Z=z д™ д!+г+1 f |Z=z д™ ди'-1 f |Z= z , gk г m(z,z) = z Z Z=z +-^-(z-z)+... + z Z z (z -z)n-1-k-l + k,г,^ k! (k +1)! v 7 (и'-1 -1)! v 7 . Z _ JдmдиИf |Z=t (Z-1)n 1 ldt (l = 0,и'-k , k = q,n', m = 0,n) (n'-1 -1 )!(Z - z )k (если k +1 = n', то функция gklm (z, Z) определяется только последним интегральным слагаемым), а при Z = z gklm (z, z) ^ dZ+lf|z= zJk!.Непосредственно проверяется существование непрерывных на I x I производных dzgklm и dzgk г m и выполнение равенств dzgk,l,m = gk,l,m+1 + kgk+1,l,m , dZgk,l,m = gk,l+1,m kgk+1,l,m при k < n’, m < n и k < n', l < n' соответственно. Отсюда легко видеть, что производные d!z dZgq00 представляют собой линейные комбинации функций gktm при k +1 < q + i + j < n', m < i. В силу формулы Тейлора с дополнительным членом в виде определенного интеграла [16, с. 146] имеем h = gq 0 0. Следовательно, если i + j < n, то производные d'z djh существуют и непрерывны. Лемма доказана. Доказательство теоремы 1. Можно убедиться, что условия леммы выполняются, если f = pm и q = 2 , при этом для функций р0 и р1 полагаем z = s', Z = s , а для функции р2 полагаем z = s, Z = s'. Тогда получаем справедливость утверждения леммы для функций h = ym . Теорема доказана. Определим в пространстве C(dQ) норму: ||f||C(dQ) = sup ||f (х)|| , что делает х£0О L2 это пространство банаховым. Введем также в рассмотрение банаховы пространства Ck(dQ) (k = 1,2,...), состоящие из функций f £ C(dQ), имеющих непрерывные на множестве IS производные f(l): f(l)(s) = dlf (x(s))ds1 (l = 1,k), с нормой ||f ||Ck (dQ) ^ max || f(l)|C(dQ). Будем считать, что C0(dQ) ^ C(dQ). Оператор A, отображающий банахово пространство S само в себя, условимся обозначать как A[ S ]. Теорема 2. Пусть dQ £ Ck+2. Тогда операторы Gi [Ck (dQ)] (k £ Z+, i = 1,2) всюду определены и ограничены. Доказательство. Введем в рассмотрение вещественные функции Xm (s, ст) = \^m (s, s + ст) (m = 0,1,2 ). Пусть f £ Ck (dQ). Запишем выражение Gi f в следующем виде: S G f )(s)= J |ст|-а Zi (s,ст) f (х^ + ст))dст , -S T Zi (s, CT)f = J та/2-1 zt (s, ст, т) U(т) f dт , 0 z (s, ст,т) ^ Х1+а2X1 (s,ст) exp[ (s, ст)X], z2 (s, ст, т) = 2 [x2(s, ст) X - ii] exp [-^0(s, ст) X], (4) где а £ (0,1) - некоторое фиксированное число; X = ст2/т, П = 2 a2n ; Zi - функции со значениями в пространстве ограниченных операторов, действующих в L2. В силу теоремы 1 существуют непрерывные при (s, ст) е IS х IS производные дsXm (l = 0, k). Отсюда с учетом неравенства > 0 получаем существование непрерывных и ограниченных на множестве IS х IS х (0, да) производных д1szi (l = 0, k). В результате, принимая во внимание ограниченность операторов U(т) (т>0) в совокупности, приходим к существованию в операторной норме непрерывных на множестве IS х IS производных д^Z{ (l = 0, k). Тогда, используя представление (4) и учитывая, что f е Ck (дО), имеем Gt f е Ck (дО) и оценки: S С1! J N ад^ (s,ст)дs 1 f (х^ + ст))dст < L 2 < 2 (1 -a)-1 S1-“ chl max_||f(r)(s)||L £cf < 2k+1 (1 -a)-1 c,t \\ffk f , 0 0), сходящиеся к оператору (Gf)-1 при H -^ +0 в норме L2 . Поэтому представленные в настоящей статье и работе [11] результаты относительно задач {р1} и соответствующих им ГИУ могут быть распространены на достаточно большой класс абстрактных двумерных краевых задач для уравнений (1±), определяемый условием (A), внутри эллиптического случая [17, с. 304].

Скачать электронную версию публикации