A mathematical model and numerical method for computation of a turbulent river stream.pdf Численное моделирование русловых течений берет начало еще в первой половине 20 века в связи с активным развитием гидромеханики и необходимостью исследования поведения водного объекта при строительстве гидротехнических сооружений. Для корректного описания горизонтального перемешивания и учета влияния придонного течения необходим учет турбулентности потока, оказывающей значительное влияние на обмен массой и импульсом. Впервые исследования турбулентности в русловых потоках были проведены в связи с необходимостью оценки точности измерения средней скорости течения приборами. Одним из первых теоретических результатов советских гидравликов по турбулентности является «диффузионная теория турбулентности», которая развивалась в 30-60 гг. прошлого века. В основе теории лежат постулаты, выдвинутые Буссинеском в 1877 г. и Тейлором и Шмидтом в 1915-1925 гг. [1]. С тех пор разработке методов расчета различных течений в каналах и руслах рек уделяется значительное внимание как в отечественной науке, так и за рубежом [2-6]. По мере развития вычислительной математики и компьютерной техники разрабатывались все более сложные и точные методы и модели, в том числе и для нестационарных течений и течений в деформируемом русле. Наиболее общим подходом к расчету русловых течений является решение полных нестационарных трехмерных уравнений гидродинамики с соответствующими граничными условиями на дне и свободной поверхности. Обзор литературы показывает, что полные уравнения или решаются в рамках вихреразрешающего LES-подхода [7, 8], или используются для расчета в небольшой области (например, течения в лабораторной установке, как в [8, 9]), коротком участке реки, примыкающем к гидротехническому сооружению, где требуется детальное описание течения для определенного сценария [5, 10]. В исследованиях, связанных с изучением окружающей среды, решение трехмерных уравнений не всегда является оправданным из-за существенного различия в масштабах происходящих процессов, а также значительных размеров расчетной области и сложности ее границы. Вычислительная стоимость таких расчетов слишком высока даже при использовании современных суперкомпьютеров. Данный вопрос подробно обсуждается в [11, 12]. Альтернативой является построение на основе классических уравнений Рейнольдса, осредненных по глубине, модели руслового турбулентного течения, включающей уравнения мелкой воды [13]. При рассмотрении течений в равнинных медленно текущих реках (средняя скорость u и 0.01 м/с) генерация турбулентности в основном происходит за счет трения о дно, а также при резком изменении направления потока, обтекании препятствий (островов, опор моста) и в области разветвления и слияния рек. В этом случае поведение свободной поверхности, в основном, определяется горизонтальной скоростью течения и потому осредненные по глубине модели позволяют получить решение, отражающее нелинейные эффекты течения, и при этом достаточно устойчивое, так как двумерные силы подавляют генерацию трехмерных структур. Существует множество исследований течений в реках, их эстуариях, прибрежных областях морей с применением осредненных по глубине уравнений. Все они основываются на осредненных уравнениях Рейнольдса, но существенно отличаются учитываемыми явлениями: влиянием турбулентности потока, силы Корио-лиса, ветрового трения [4, 6, 14]. Численный расчет течения в реке или эстуарии даже с применением осреднен-ных уравнений и простейших моделей турбулентности представляет значительную вычислительную сложность, поэтому для моделирования распространения загрязнений в большом пространственном масштабе остаются актуальными одномерные модели и сочетания одномерных и двумерных моделей, когда расчет по одномерной модели служит для задания граничных условий для расчета по двумерной или трехмерной модели, как в [15, 16]. Для исследования течения на протяженном участке реки в основном используются модели со значительным упрощением: одномерные [15, 16], осредненные по глубине без учета турбулентности [6] или с использованием простых моделей турбулентности [17]. Однако в последние полтора десятилетия качество моделей и точность получаемых с их помощью результатов значительно улучшились [18]. Для замыкания осредненных уравнений мелкой воды предложены модель с параболической турбулентной вязкостью, модификация модели пути смешения Прандтля, модели с постоянным коэффициентом диффузии или простыми алгебраическими соотношениями для его получения [4, 17], а также ряд модификаций классических двухпараметрических моделей, таких как k -е [13], k -ю [18]. Но в целом, нужно отметить, что турбулентные модели для осредненных течений разработаны значительно меньше, чем модели для классических уравнений Рейнольдса. Одной из первых осредненных моделей была модификация k -е -модели, предложенная Растоги и Роди [13]. Она успешно применялась для моделирования течений в упрощенных геометриях. Отметим также ее модификацию, предложенную Барбарутси и Чу [19], в которой учитываются эффекты трехмерной турбулентности, генерируемой шероховатой донной поверхностью. В работах [20, 21] проведено сравнение этих моделей, которое показывает, что существенные различия в результатах возникают лишь при моделировании течений с доминирующим донным трением, где модель Барбарутси и Чу показывает несколько лучшее согласование с экспериментом. Таким образом, выбор уровня сложности модели при расчете руслового течения определяется характером рассматриваемой задачи. Целью данной работы является построение двумерной математической модели и численного метода расчета руслового течения на протяженном участке реки, которые позволят получить достаточно точные сведения о структуре турбулентного течения, необходимые для прогноза распространения примеси. Математическая модель В рамках данной работы рассматривается стационарное изотермическое турбулентное течение несжимаемой жидкости (воды) в относительно небольшой неглубокой реке, русло которой резко меняет свое направление. Математическая модель строится на основе осредненных по глубине уравнений Рейнольдса для вязкой жидкости. При этом предполагается, что распределение давления является гидростатическим и характеристики потока слабо меняются по глубине, и глубина реки значительно меньше горизонтальных размеров области исследования, что, соответственно, ограничивает формирование трехмерных вихрей, определяя доминирующий двумерный характер течения. Математическая модель включает уравнение неразрывности д (hu) д (hv) = 0, dx ду уравнения движения d(hu 2) + d(huv) =- д( zb + h) +1 d(h ) +1 d(h V ) + (T xz )s - (t xz )b - hF dx ду дx p дx рду p x' д(hйv) + д(ИУ2) =- д(zb + h) + 1 д(hy) + 1д

Скачать электронную версию публикации