Two-point invariants of groups of motions in some phenomenologically symmetric two-dimensional geometries.pdf В работах [1, 2] для четырех феноменологически симметричных двумерных геометрий (плоскости Гельмгольца, псевдогельмгольцевой, дуальногельмгольце-вой и симплициальной плоскостей), т.е. геометрий максимальной подвижности [3] решением соответствующих функциональных уравнений на множество движений найдены трехпараметрические группы движений. Целью данной работы является нахождение полной системы невырожденных двухточечных инвариантов групп движений упомянутых выше четырех геометрий как решение соответствующих функциональных уравнений на множество двухточечных инвариантов групп преобразований. Феноменологически симметричные двумерные геометрии строятся на гладком двумерном многообразии М2 [4]. Сущность феноменологической симметрии состоит в наличии связи между всеми взаимными расстояниями для некоторого конечного числа точек [5, 6]. Точки многообразия M2 удобно, в целях сокращения записи, обозначать строчными буквами латинского алфавита: i, j, к и т.д. Текущая точка i е M2 задается локальными координатами xi, yi. Основу построения двумерной геометрии составляет гладкое класса С2 отображение f: Sf ^ М, где Sf е M2 х M2, сопоставляющее паре точек (i, j) е Sf действительное число f (i, j) е Ж. [4], называемое метрической функцией. Ее координатное представление для двумерных геометрий имеет следующий вид: f (i, j) = f (Xi, y , Xj , yj ). (1) Эта функция, в отличие от обычной метрики, удовлетворяет только естественным математическим требованиям гладкости класса С2, невырожденности и определенности почти всюду в M2 х M2 [4]. Все основные определения и соответствующие аксиомы, относящиеся к феноменологически симметричным ранга 4 двумерным геометриям представлены в работах Г.Г. Михайличенко [4] и автора [2]. Определение. Гладкое класса C2 локальное взаимно однозначное (обратимое) отображение x'=X( x, y), /=ст( x, y), (2) удовлетворяющее условию 3(M x, y), ct( x, y) * 0, (3) d( x, y) называется движением, если оно сохраняет метрическую функцию f (МО, а(0, KJ), ст(J)) = f (x,y, xj,yj), (4) где, например, X(i) = X( xi, yi). Равенство (4) есть также функциональное уравнение на множество двухточечных инвариантов группы преобразований двумерного многообразия как функций четырех переменных - координат точек i и J . Наряду с хорошо известными геометриями, такими, как плоскость Евклида, плоскость Минковского, двумерная сфера и другие, в классификации [4], построенной Г.Г. Михайличенко, присутствуют двумерные геометрии гельмгольцевого типа, в которых окружность не имеет привычного образа, о чем говорит Гельм-гольц в своей работе [7], а также симплициальная плоскость. Для трех гельмгольцевых и симплициальной двумерных геометрий запишем координатное представление задающих их метрических функций: 1) плоскость Гельмгольца ( y - y \ 2yarctg y- yj (5) xi - x, 1 J У f (i, J) = ((x - x, )2 + (y - y, )2) exp где у > 0 - параметр семейства; 2) псевдогельмгольцева плоскость ( y - y \ 2par(c)th y- y, (6) xi - x, 1 J У f (i, J) = ((x- - x, )2 - (y - y, )2) exp где p>0 и p* 1 - параметр семейства; 3) дуальногельмгольцева плоскость ( y - y \ 2 .y- y, (7) xi - x, 1 J У f (i, J) = (x- - xj )2 exp 4) симплициальная плоскость f (i, J) = (^ - xj )m (yt - yj )n, (8) где m, n e Z, m * 0, n * 0, m * n Следуя работам автора (см. [1, 2]), для этих геометрий запишем группы преобразований двумерного многообразия M2: 1) трехпараметрическая группа движений плоскости Гельмгольца X = ax - by + c, y' = bx + ay + d, (9) 2 2 b где (a + b )exp(2Y arctg-) = 1; a 2) трехпараметрическая группа движений псевдогельмгольцевой плоскости X = ax + by + c, y' = bx + ay + d, (10) где (a2 -b2)exp(2par(c)thb) = 1; a 3) трехпараметрическая группа движений дуальногельмгольцевой плоскости x' = ax + c, y' = bx + ay + d, (11) 2b где a exp(2-) = 1; a 4) трехпараметрическая группа движений симплициальной плоскости x' = ax + c, y' = by + d, (12) где ambn = 1. В настоящей работе для трех гельмгольцевых и симплициальной геометрий находятся все невырожденные двухточечные инварианты групп (9) - (12) преобразований двумерного многообразия M2 как решение функционального уравнения (4). Заметим, что условие гладкости и обратимости (3) преобразований (2) совершенно естественно. В процессе решения функционального уравнения (4) устанавливается, что каждый такой инвариант с точностью до гладкого преобразования у(f) ^ f совпадает с метрической функцией соответствующей плоскости. Сначала рассмотрим плоскость Гельмгольца. Запишем функциональное уравнение (4) на множество двухточечных инвариантов группы преобразований (9) двумерного многообразия M2 с R2: f (axi - byi + c, bxi + ayi + d, axj - byj + c, bxj + ayj + d) = f (xt, yi, xj,yj). (13) Теорема 1. Каждый двухточечный инвариант однопараметрического семейства трехпараметрической группы преобразований двумерного многообразия M2 с R2 x' = ax - by + c, y' = bx + ay + d , (14) 2 2 b где (a + b )exp(2Y arctg-) = 1, y - положительная константа (параметр семейстa ва), совпадает с точностью до гладкого преобразования f) ^ f с метрической функцией плоскости Гельмгольца и задает на нем феноменологически симметричную ранга 4 двумерную геометрию. Доказательство. Дифференцируя функциональное уравнение (13) по параметрам c, d и b с учетом того, что параметр a зависит от b , поскольку между 9 9 и ними существует связь (a + b )exp(2Yarctg-) = 1, из которой следует a da (a -Yb)- = -(b + Ya), получим систему функционально-дифференциальных соdb отношений: df (i' , j') + df (i' , j') = 0 df (i' , j') + df (i' , j') = 0 dx' dx'dy' dy' df (i' , j') b +Ya df (i' , j' ) b + Ya -(-x-V-У) + . , (x--VУ) + (15) a -Yb' dx' 4 1 a -Yb df (i' , j'), _ b +Ya , ~ ■ ч df(i',j') b +Ya (-x ,■----y ,■) ^ (x..--- y,) = 0, Sx'- a - Yb dyj a -Yb df (i', j') = f (xi, y', xj, yj) где, например, . В системе (15) параметрам a, b, c, d dx\ dx; придадим значения, соответствующие тождественному преобразованию: a = 1,b = 0, c = 0, d = 0, в результате чего получим систему трех линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных: df (i, j) + df (i, j) = 0 df (i, j) + df (i, j) = ^ dx dx, dy dy, f j)-(-Yx - yi) + fj (x -YVi) + dy, (-Yx. - y,) + ( X- -Yyj) = 0. •j dy- Общее решение ©(м,v) =©(xi - x,,yi - y,) первого и второго уравнений системы (16) подставим в третье уравнение: (17) 4d© d© -(Yu + v)--+ (м - Yv)-= 0, дм dv где, напомним, м = xi - x,, v = yi - y,. Общее решение уравнения (17) находится методом характеристик: 2 2 v ©(м, v) =х((м2 + v 2)exp(2Y arctg-)), (18) м где х - функция одной переменной с отличной от нуля производной класса C2. По (18) и (15) находим множество двухточечных инвариантов: (16) dxi df(i, j) dx, ((xi-x,)2 +(y,-y, )2)exp у, - У, x - x, j f (i, j) = X 2Yarctg (19) каждый из которых эквивалентен метрической функции плоскости Гельмгольца (5), так как переходит в нее при гладком преобразовании у( f) ^ f, где у = X есть обратная к х функция. ■ Далее, найдем полную систему двухточечных инвариантов псевдогельмголь-цевой плоскости. Запишем функциональное уравнение (4) для группы преобразований (10): f (ax- + by- + c, bx- + ay- + d, ax, + by, + c, bx, + ay, + d) = f (x-, y-, x,, y,). (20) Теорема 2. Каждый двухточечный инвариант однопараметрического семейства трехпараметрической группы преобразований двумерного многообразия M2 с R2 x' = ax + by + c, y' = bx + ay + d, (21) 2 2 b где (a - b )exp(2p ar(c)th-) = 1, p - положительная константа, отличная от a единицы (параметр семейства), совпадает с точностью до гладкого преобразования у(f) ^ f с метрической функцией псевдогельмгольцевой плоскости и задает на нем феноменологически симметричную ранга 4 двумерную геометрию. Доказательство теоремы 2 в общих чертах повторяет доказательство теоремы 1. После дифференцирования уравнения (20) по параметрам c, d и b с учетом 2 2 b связи (az - Г )exp(2p ar(c)th-) = 1 получается система функционально-дифa ференциальных соотношений, подобная системе (15) для плоскости Гельмгольца, из которой при переходе к тождественному преобразованию получается система трех линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных: df (i, J) + df (i, J) = 0 df (i, J) + df (i, J) = (22) dx-- dx, dy- dy, fj (-Px- + y- ) + (x- -py- ) + dxi dy1 +Щ, (-px. + yj ) +ЩЫ1 (xj-pyj) = 0. dx, dy, Решением системы (22) является множество всех двухточечных инвариантов f (i, J) = Х[((x- - x, )2 - (y- - y, )2) exp(2p ar(c)th(23) x- - xj которые, очевидно, эквивалентны метрической функции псевдогельмгольцевой плоскости (6). ■ Далее, запишем функциональное уравнение (4) для группы преобразований (11): f (axi + c, bxi + ayi + d, ax, + c, bx, + ay, + d) = f (xi, yi, x,, y,). (24) Теорема 3. Каждый двухточечный инвариант трехпараметрической группы преобразований двумерного многообразия M2 с R2 x' = ax + c, y' = bx + ay + d, (25) 2b где a exp(2-) = 1, совпадает с точностью до гладкого преобразования у (f) ^ f a с метрической функцией дуальногельмгольцевой плоскости и задает на нем феноменологически симметричную ранга 4 двумерную геометрию. Доказательство теоремы 3 повторяет доказательство теорем 1 и 2. После дифференцирования уравнения (24) по параметрам c, d и b с учетом связи 2b a exp(2-) = 1 получается система функционально-дифференциальных соотноa шений, из которой при переходе к тождественному преобразованию получается система трех дифференциальных уравнений в частных производных: df (i, J) + df (i, J) = 0 df (i, J) + df (i, J) = 0 dx, dyt dy, dx■ - .ma fj. (x,- л) - (26) (27) dx- dy, df (i, J) , df (i, J) (x, - y,) = 0. dy, Решением системы (26) является множество невырожденных двухточечных инвариантов f (i, J) = Х[((x, -x, )2)exp(2 эквивалентных метрической функции дуальногельмгольцевой плоскости (7). ■ Запишем, наконец, функциональное уравнение (4) для группы преобразований (12): (28) (29) f(ax- + c, by- + d, ax,. + c, by, + d) = f(x,,y,-,x,y,). Теорема 4. Каждый двухточечный инвариант трехпараметрической группы преобразований двумерного многообразия M2 с R2 x ' = ax + c, y ' = by + d, где ambn = 1 (m, n e Z, m ф 0, n ф 0, m ф n), совпадает с точностью до гладкого преобразования у(f) ^ f с метрической функцией симплициальной плоскости и задает на нем феноменологически симметричную ранга 4 двумерную геометрию. Доказательство теоремы 4 подобно доказательствам изложенных выше трех теорем. После дифференцирования уравнения (28) по параметрам c, d и b с учетом связи ambn = 1 получается система функционально-дифференциальных соотношений, из которой при переходе к тождественному преобразованию получается система трех дифференциальных уравнений: df (i, J) + df (i, J) = 0 dx, cT dy, nx df (i, J) -y df (i, J) + nx df (i, J) - y df (i, J) = 0 m 1 dxi 1 Sy,- m J йг- J dy df (i, J) + df (i, J) = 0 Решением системы (30) является множество невырожденных двухточечных инвариантов f (i, j) = x[(x -x,)m(у,-y})n], (31) которые эквивалентны метрической функции симплициальной плоскости (8), так как переходят в нее при гладком преобразовании у(f) - f, где у = х-1 есть обратная к х функция. ■

Скачать электронную версию публикации