On an invariant of surface mapping as applied to metallic mesh tailoring.pdf 1. Дефект отображения поверхности на поверхность Данная работа продолжает исследование, начатое в [1-3]. Его содержание -вычисление искажений локальных длин при отображении части плоскости на часть параболоида вращения. В общем, можно говорить об исследовании отношения метрических форм двух поверхностей Z1 и Z2, находящихся в точечном соответствии (аналогично рассмотрению, проведенному в [4]). В дифференциальной геометрии объект, состоящий из двух поверхностей, при точечном соответствии между ними, принято называть парой поверхностей (например, [5, 6]). Пара поверхностей допускает параметризацию вида Первые квадратичные формы [4] имеют (в обозначениях К. Гаусса) вид ds^ = E1du 2 + 2F1dudv + G1dv2, ds^ = E2du2 + 2F2dudv + G2 dv2 . Мерой локального искажения длин (точнее, их квадратов) является величина [4] Z1 : R = r (u, v) e C1, Z2: R = r2 (u, v)e C1, (u, v)e D с R2. Точки A = r (u,v) и A' = r2 (u,v) являются соответствующими. Локальная метрика каждой из поверхностей определяется конкретным метрическим тензором. Матрицы этих тензоров составлены из коэффициентов первых квадратичных форм: Экстремальные значения X суть совместные инварианты матриц Ml и M2, равные корням уравнения m = det(M2 - XMj) = E2G2 -F22 + X(2F1F2 - E1 G2 - E2Gl) + X2(ElGl -Fx2) = 0. (1.1) Положительная определенность симметричных матриц M1 и M2 гарантирует вещественность корней уравнения (1.1). Из коэффициентов этого уравнения [1] a = E1G1 - F2, Ъ = 2F F2 - E1 G2 - E2G1, С = E2G2 - F22 составлен лагранжиан, функционал от которого минимизирует отклонение обоих корней уравнения (1.1) от единицы. На этом пути удается характеризовать избранную для анализа схему раскроя сетеполотна в локальном смысле: строится поле наибольших значений корня уравнения (1.1) и поле наименьших значений. Представляется естественным сопоставить паре поверхностей инвариант, характеризующий качество раскроя сетеполотна «в целом», как единственный скаляр. Для уравнения (1.1), записанного в приведенном виде, вместо лагранжиана, построенного в [1], получаем лагранжиан dr1(u,v) dr1(u,v) dr2(u,v) dr2(u,v) du dv LI rx(u,v),r2(u,v). du 2 Л2 ( - EG - EG + 2 F2 f 1 - 2 + dv E2G2 F2 EG - F2 1 eg - FF Его преимущество в том, что теперь мы имеем дело с безразмерными величинами. Левая часть равенства есть функция шести аргументов - пока мы рассматриваем rx (u,v),r2 (u,v) как переменные вектор-функции. Пусть на место переменных вектор-функций подставлены фиксированные вектор-функции rx(u,v),r2(u,v). Тем самым задано отображение их годографов: f: 2 ^ 2. Лагранжиан L становится функцией от аргументов u, v. Именно, 22 Л^, v) = 1 - E2(u, v)G2(u, v) - F2(u, v) Ej(u, v)Gj(u, v) - F1(u, v)2 -E2 (u, v)Gj(u, v) - Ej (u, v)G2 (u, v) + 2 F2 (u, v) Fj (u, v) Ej(u, v)Gj(u, v) - F1(u, v)2 2 + (1.2) Определение 1. Функцию (1.2) будем называть основной функцией. Пусть поверхность Е2 имеет конечную площадь равную S2. Определение 2. Дефектом отображения f будем называть величину, равную JN (1.3) S2 K (f) ± EG 2 - F2 dudv Пример 1. Пусть поверхности, первая и вторая, принадлежат (каждая - своему) 1-семейству годографов вектор-функций R1 = {u cos v, ^usin v,0}, (1 < u < 2, 0 < v < 2n), R2 = {ц2u cos v, u sin v,0}, (1 < u < 2, 0 < v < 2n). Здесь ц - вещественный параметр, ц> 0. Например, при ц = 2 мы имеем дело с двумя плоскими областями, изображенными на рис. 1. -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Рис. 1. Кольцо, вытянутое по вертикали, - первая поверхность при ц = 2; вытянутое по горизонтали, - вторая поверхность при том же значении параметра Имеется в виду отображение первой поверхности на вторую. Матрицы первых квадратичных форм запишутся как f 2 2-2 cos v + ц sin v (ц2-1) (si (-ц4) (ц4 si cos v sin v M1 = u V /4 2 -2 ц cos v + sin v M2 = ,(1 -ц4) cos v sin v u (ц2 - 1)cos vsin v u2 (sin2 v + ц2 cos2 v) cos v sin v sin2 v + cos2 v) Характеристическое уравнение (1.1) принимает вид '[k2 ц2-(1 + ц6 )^ + ц4 ] = 0. u Его корни = -^2 = ц4 ц2 суть квадраты экстремальных значений локальных искажений длин. Сами же локальные искажения длин выражаются функциями параметра ц : 1 2 k (ц) = -, k2 (ц) = ц . ц Площадь второй поверхности S2 = 3пц2 Основная функция (1.2) принимает вид (ц8 + 2ц6 -2ц2 + 1)(ц4 -1) Л = ц При этом ^E2 G2 - F22 = иц2 . Значение дефекта отображения, согласно (1.3), ц2 2 2п (ц8 + 2ц6 -2ц2 + 1)(ц4 -1) K (ц) = ^- J udu J dvЛ =---Л ' S 2 ц 2 1 0 Рис. 2 иллюстрирует следующий, вполне очевидный факт, имеющий место в общем случае. Дефект отображения f: S1 ^ S2 равен нулю тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия. 1. Поверхности S1 и S2 изометричны [4]. 2. Отображение f есть изометрия [4]. Для рассматриваемого примера оба условия выполнены при ц = 1 и только в этом случае. i I \ I \| ; 1 \1(ц) 1 / J / I/ / I / 1 / 1 / / x 1 / / / I / 1 ; \ кг(цу' 1 1 i 1 1 1 1 i 1 1 ^H /К(ц) п 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.6 0.1 1 1.2 ц Рис. 2. Графики функций кг (ц), к2 (ц), K (ц) для примера 1 2. Дефект раскроя параболоида плоским листом Проанализируем схему раскроя, построенную в [1]. Удобнее сначала привести матрицу метрического тензора куска параболоида, рассматриваемого как «вторая поверхность» S2 . Тогда R2 = jucos v,usinv,-uf j, (0 < u < R, 0 < v < 2n), (2.1) где F - фокальный параметр параболоида. Константа R есть радиус вырезающего цилиндра для осесимметричного рефлектора. Практика конструирования свидетельствует, что с высокой долей уверенности можно полагаться на неравенство R < F, то есть рассматривать F как верхнюю оценку величины R . Матрица метрического тензора I4F2+u2 4F 2 Л 0 M 2 = Заметим, что / \2 3 5\ I u ] u u 4e2G2 - F22 = + O V4 ' J V 2F J 2F 16F3 Элемент площади второй поверхности (там, где это упрощает вычисление функционала) приблизим выражением I u u3 ^ + 2F 16F Точное значение площади данной поверхности ((4F2 + R2 )3/2 -8F3 )п : 3.330444 • F2 . S2 =J 3F Верхнюю оценку площади получим при R = F. Тогда F2 (5>/5 - 8)п S max = В качестве первой поверхности применяем годограф вектор-функции, определенной в [1]. Именно, R ={u • g(u)cosv,u • g(u)sin(v),0}, 0 < u < R, 0 < v < 2n , dudv . где 0.001941^ u3 g (u) = 1 + - 32F2 F Коэффициенты первой квадратичной формы E1 = F• 0.16 •Ю-12 (0.25-107 • F3 + 234375 • F • u2 -19412 • u3 )2 F = 0, G1 = F• 0.16 •Ю-12 • u2 -(0.25-107 • F3 + 78125 • F • u2 - 4853 • u3 )2 . Основную функцию представим в виде 0.1024 •Ю-24 (2 B2 ) 1 F10 (4F2 + u2 ) 4 (C + E )F 2 u 2 (4F2 + u2 ) Л = 2 - В свою очередь, A = 2500000.0-F3 + 234375.0u 2 F - 19412.0u3, B = 2500000.0F3 + 78125.0u2F - 4853.0u3, . (2500000.0F3 + 234375.0u2F - 19412.0u3 )2 u2 J6 ' 5 (4F2 + u2 )u2 (2500000.0F3 + 78125.0u2F - 4853.0u3 )2 5 F C = 1.6 x10- E = 4.0 x10- Аппроксимация основной функции отрезком ряда Тейлора до степени 32 приводит к полиному .,6 25 X Pu'F2 31 F i=0 Список коэффициентов p0,p1,...,p25: 0.000754, - 0.001820, 0.000595, 0.000595, - 0.000448, - 0.000200, 0.000167, 0.000062, -0.000056, -0.000019, 0.000017, 0.543941-10-5, -0.518774-10-5, -0.155383-10-5, 0.151156-10-5, 0.436453-10-6, -0.431547-10-6, -0.121175-10-6, 0.121301-10-6,0.333089-10-7,-0.336788-10-7, -0.908106-10-8, 0.925809 -10-8, 0.245872 -10-8, - 0.252412 -10-8, - 0.661785 -10-9. Для оценки качества полиномиального приближения определим функцию л-лу Л W (F, u, v) = ( П П 1 и изобразим серию графиков W (i, u, v) при i = 4,...,16; u = 4,..., i; I - - < v < -I. Использование фиктивно входящей переменной v делает график более обозримым. Получаем рис. 3. Л = - 6-10-5 4-10-5 2-10-5 16 Рис. 3. Относительн^1е отклонения полиномиального приближения основной функции от точного значения для различных значений параметра F и переменной u Полагаем, что полиномиальное приближение удовлетворительно. Вычислим значение функционала на всем рефлекторе: 2п F ( 3 Л u u -+-3 2F 16F 0 0 LKJr У Ф = I dv ^s du « 0.480982 -10-5F . Дефект отображения равен приближенно ®,0ii442.!0-5. (2.2) Полученный результат согласуется с тем, что гауссова кривизна параболоида вращения 4F2 K =- (4 F 2 + u 2 )2 Ясно, что lim K = 0. F -^ад В этом смысле, чем дальше область параболоида от вершины, тем менее она отличается (локально!) от плоской области. Тогда и дефект отображения (при должном выборе отображения) должен стремиться к нулю при F ^вд, что и видно из (2.2). Следует отметить, что в основе модели лежит допущение о том, что выкроенный лист сетеполотна каждой своей точкой прикреплен к соответствующей точке параболоида. Прочие обстоятельства данной моделью не учитываются. 3. Дефект раскроя параболоида лепестками с закругленными краями Речь пойдет о схеме раскроя, рассмотренной в [2]. Рефлектор разделен на n равных секторов плоскостями, проведенными через его ось. Вторая поверхность, таким образом, задается вектор-функцией _ I u2 I „ п п R2 = {ucosv,usinv,-^, 0 0 Приводим последовательность знаков коэффициентов производной полинома W : {+, +, -, -, -, -, -, -, -, -, -,-, -, -, -,-}. Ясно, что производная имеет единственный вещественный корень к0. Без труда вычисляем к0 и 8.82321. Далее, lim W = , W(к0) и 0.000021, lim W(к) и 0.030472. к ^+0 к ^+

Скачать электронную версию публикации