Modified method of successive conformal mappings of polygonal domains.pdf Большое число работ [1-4 и др.] рассматривают решение задачи конформного отображения канонической области, например полуплоскости или единичного круга, на односвязную область расширенной комплексной плоскости, ограниченную ломаной, - многоугольную область. При этом наибольший практический интерес широкого класса прикладных задач вызывает решение обратной задачи (конформное отображение наперед заданной многоугольной области). Поскольку дополнение методов прямого отображения (интеграл Кристоффеля - Шварца [4]) обратными [5] существенно расширяет эффективное применение конформного отображения при решении различных краевых задач физики и техники [1], например в постановке [6] барицентрического метода [7, 8]. Поэтому целью статьи является разработка метода конформного отображения наперед заданных многоугольных областей. 1. Постановка задачи Определим последовательность неповторяющихся N точек A1,A2,...,AN комплексной плоскости С, которые являются вершинами N-угольной области QcC с заданными значениями величины внутренних углов aj,a2,...,aN , соответствующих по n-му индексу (n = 1, N) точкам An , и таких, что 0 0; I1 • I3 < 0; = 4I2 [10]. С учетом указанного вида определителей матриц M и H1,H2,...,H5 при условии M12 = M5 2 = M13 = M5 3 = M15 = M5 5 = 0, задающих коэффициенты (7) уравнения кривой второго порядка (6) и, как следствие, вид инвариантов (9): условия I2 > 0 и I1 • I3 < 0 для инвариантов кривой (6), останутся неизменными. Следовательно, кривые при преобразовании S2 (Z) будут эллипсами. ■ Указанное изменение остальных круговых двуугольников определяет постановку второй модельной задачи: отображение полуплоскости с выброшенным сегментом эллипса (эллиптической луночки) на полуплоскость. Решение данной задачи базируется на следующем утверждении. Теорема 1. Конформное отображение верхней полуплоскости с выброшенным сегментом, образованным пересечением полуплоскости с произвольной одно-связной областью © с гладкой границей Г расширенной плоскости комплексного переменного, на верхнюю полуплоскость при условии 3a (ф), b (ф) для Уфе[0; п] осуществляется обобщенной функцией Жуковского вида ЦС) = S3 (S2 (S (Z))) при S (Z) = [Z-a (ф)][- b (ф)]-1; S2 (0 = Су(ф); S3 (Z) = 0,5у (ф)[a (ф) -b (ф)](1+ Z)/(1 -Z) и нормировке = та'(да) = 1, (10) где ф = arg(Z); a(ф), b (ф) - точки пересечения действительной оси с соприкасающейся окружностью; у(ф) = л/(л-р(ф)); р(ф) - угол, образованный соприкасающейся окружностью в точке ее пересечения a (ф) с действительной осью. При этом соприкасающаяся окружность формируется границей выброшенного из полуплоскости сегмента односвязной области в окрестности точки теГ при arg (т) = ф. Доказательство. Пусть граница Г области © в верхней полуплоскости определена кривой, заданной уравнением т(ф) = u (ф) + iv (ф) с параметризацией по 0 0 . В этом случае отображение выполняется с применением обобщенной функции Жуковского вида (10) для каждого гладкого участка границы Г - отдельного эллипса или круга. При этом добавление в полуплоскость кругового или эллиптического сегмента согласно лемме 1 не означает, что все границы оставшихся луночек будут являться границами окружностей или эллипсов. В такой ситуации возможен случай формирования выброшенного сегмента, образованного пересечением верхней полуплоскости с гиперболической луночкой. С учетом теоремы 1 определим решение третьей модельной задачи. Она заключается в нахождении отображения полуплоскости с гиперболической луночкой на полуплоскость обобщенной функцией Жуковского вида (10). Граница луночки задана ветвью гиперболы с полуосями a0 и Ь0, центром в z0 = x0 + iy0 и углом наклона а к действительной оси. Зависимость угла р = arccos (|y0|/р) для гиперболической луночки от ф и параметров a (ф), Ь (ф) задается с помощью соотношений (22 2 2 \3/2 л/кнГ+т+ a0 sh а + Ь0 ch а) y0 = y-рsin Т; р= , ^ х п-^ |Ч ; T = ±2arctg >0; (0Ь0 |sh2 а-ch2 а) cos ф sin ф ( + Ь°) - (u - x0) Ъ° (ь0 (u - x0 )2 - cos2 ф + h° sin2 ф j farcsh (а1) if |ф + 0,5п| > ф; [arcsh (а 2) otherwise, cos2 ф- Ь° sin2 ф L = -1/2 ' t = u + iv = e^(a0ch а + Ь()sh a) + z0; а = (26) (Ь0 (cos ф + tg ф sin ф) ± |a0 (tg ф cos ф- sin D; а1,2 = G = (x0 tg ф - y0); D = (tg ф cos ф - sin ф)2 - Ь° (cos ф + tg ф sin ф)2 . Параметры кривых второго порядка, соответствующих при обратном отображении ребрам en ={ An, An+1} исходной многоугольной области Q , могут быть получены по заданным пяти точкам hj = rp^1 (j = 1,5) с учетом выражения (7). Примеры обратного отображения наперед заданных многоугольных областей представлены на рис. 3. Im t т™ а2> Re t Re t К Рис. 3. Примеры обратного отображения наперед заданной четырехугольной и семиугольной областей на единичный круг Заключение Таким образом, полученные результаты позволяют за конечное число конформных отображений, равных числу вершин N многоугольника, выполнить конформное отображение заданной односвязной многоугольной области на единичный круг. В случае, если сегмент, формирующий луночку в верхней полуплоскости, на границе содержит точки, для которых не существует a (ф), b (ф), то добавление выброшенного сегмента в полуплоскость выполняется последовательностью конформных отображений, удовлетворяющих условиям теоремы 1. При алгоритмической реализации сформированного метода на этапах добавления n -го сегмента в верхнюю полуплоскость, соответствующего n -му ребру en ={An, An+1} исходного многоугольника, рекомендуется предварительно выполнять поворот многоугольной области в расширенной комплексной плоскости на угол у таким образом, чтобы точка, являющаяся серединой ребра en , располагалась на отрицательной части действительной оси. В целом, полученные результаты расширяют применимость обобщенной функции Жуковского, заданной в виде (10).

Скачать электронную версию публикации