Asymptotic expansion of the solution of the Dirichlet problem for a ring with a singularity on the boundary.pdf Постановка задачи Исследуем задачу Дирихле для бисингулярно возмущенного дифференциального уравнения эллиптического типа в кольце, т. е. еДи(р,ф,е) - (p-a)nw(p,9,e) = f (р,ф,е), (р,ф)е^; (1) и^,ф,е) = у1(ф,е), и(Ь,ф,е) = у2(ф,е), (2) д2 1 д 1 д2 где Д = -- +----1------ оператор Лапласа, D = {(р,ф)| a < р < b, 0 < ф < 2п}, др2 р др р2 дф2 го 0 < a < b - const, 0 < s 2 (s)s-n/2ds; T T wk(n + 2)+ 2+ j (т ф) = z2 (т)|фk(n+2)+ 2+ j ^ ф)21 (s)s-l2ds - 0 го -Z (т) |фМп+ 2)+ 2+ j (s,ф)^2 (s)s-n/2ds, j = 0,1,...,n-1; k = 0,1,... . ( )гоФ ( ) ( ) -п/2d + VuMlZki^ () J 01 (т)j ^k(n+2) Isф)г2(s)s ds+-70-z2 (т) k = 0,1>...; wk (n + 2 Лемма. Решение уравнения y"(x)-xny(x) = xk, neN, keZ, (14) при 0 < x < +го разлагается в асимптотический ряд го y (x) = xk-п Ха]x'(n+2)j, x -+го, (15) j=0 при этом ряд (15) можно многократно почленно дифференцировать и он является ФАР уравнения (14). Доказательство. Пусть ФАР решения (14) имеет вид го y(x) = Хвx1, x -+го , (16) j=0 где р,- - пока неизвестные коэффициенты. Подставляя (16) в (14), получим рекуррентную алгебраическую систему для р,-. И здесь однозначно определяем все значения р,-: Pn-k = -1, Pn-k+n+2 = -(n-k)(n-k+1), Pn-k+(n+2)/' = (n-k+(n+2)(/'-1))(n-k+(n+2)(/'-1)+1)Pn-k+(n+2)(,-1), j = 2, 3,..., остальные коэффициенты р,- равны нулю. Отсюда получим, что а0 = -1, а1 = -(n-k)(n-k+1), С = (n-k+(n+2)(j-1))(n-k+(n+2)(j-1)+1)aj-1, j = 2, 3,.. Оценим теперь остаточный член ряда (15). Пусть r(x) = y(x) -ym(x), где m Ут (x) = xk-n XajX-(n+2) . j=0 Тогда для r(x) получим уравнение r"-xnr = O(xk-n-((n+2)m+2)). (17) Уравнение (17) имеет двухпараметрическое семейство решений r(x,C1,C2). Из этих решений выберем то, которое удовлетворяет условиям: r(0) = r0, r(+ад) = 0: x +ад 0 r (x) = z2 (x)JO(s-N-n/2 )zl (s)ds - zl (x) J O(s-N-n/2 ) (s)ds + -T-z2 (x) , 0 x 2\) где N = n-k+((n+2)m+2), То есть r(x) = O(x -N-K), при х^+ад, 0

Скачать электронную версию публикации