On the homeomorphism of the sorgenfrey line and its modifications Sq.pdf В работе используются следующие обозначения: N - множество натуральных чисел; Ж. - множество вещественных чисел, наделенное стандартной евклидовой топологией; Q с Ж - подмножество рациональных чисел; J с Ж - подмножество иррациональных чисел; S - прямая Зоргенфрея (или «стрелка») с топологией, порожденной базой {(a,b]: a,b е Ж, a < b}. Если множество A с Ж , то через SA обозначается множество вещественных чисел, наделенное топологией, в которой база окрестностей определяется следующим образом: если x е A , то Bx = {[x, a): a е Ж, x < a}; если x е Ж \ A , то Bx = {(a, x]: a е Ж, a < x}. Если промежуток (a,b) с SA , то пишем (a,b)A . Определение 1 Топологическое пространство X называется бэровским, если пересечение любой последовательности открытых всюду плотных в X подмножеств является всюду плотным. Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 1 . Пространства S и SQ не являются гомеоморфными. Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующие факты. Предложение 1. Пространство S является бэровским. Доказательство. Пусть (Gn - последовательность открытых всюду плотных подмножеств в S. Каждое множество Gn есть объединение непересекающихся интервалов вида (a, b] или (c, d). Заменяя интервалы вида (a, b] на интервалы (a, b), получим множество G„', которое будет открыто на прямой Ж. и всюду го плотно в Ж.. Так как Ж - бэровское пространство, то П Gn' всюду плотно в Ж, а n n=1 следовательно, всюду плотно в S. Поскольку плотные Gs -множества в бэровском пространстве являются бэров-скими (Ткачук [4]), получаем следующее следствие. Следствие 1. Подмножество иррациональных точек J с Sq является бэровским пространством. Предложение 2. Для любого подмножества A с Ж пространство SA является бэровским. Доказательство аналогично предложению 1 с тем отличием, что открытое множество G с SA есть объединение непересекающихся интервалов вида интервалов вида (a,b), [a,b), (a,b] или [a,b]. Доказательство теоремы 1. Доказательство теоремы проведем методом от противного. Предположим, что существует гомеоморфизм ф: Sq ^ S. Тогда ф| J является гомеоморфизмом пространства J на некоторое подмножество S . Для каждого n е N рассмотрим множество Fn ={х е J : х - - < у < х иy е J ^ ф(y) < ф(х)}. n Нетрудно видеть, что F с F2 с... . Так как отображение ф непрерывно, то для каждой точки х е J найдется окрестность (х -е, х], такая, что ф(у) < ф(х) для го любого у е (х -е, х]. Следовательно, ^ Fn = J . n=1 Покажем, что множества Fn замкнуты в J . Пусть точка х0 е J является предельной для множества Fn . Тогда существует возрастающая последовательность хк е Fn, такая, что lim хк = х0. Для точки у е [ х0 --, х0 | П J найдется хк , для х^го V n ) 0 которой у < хк^ < х0. Следовательно, при всех к > к0 выполняется неравенство у < хк < х0. Так как хк е Fn, а у е [ хк --, хк , то ф(у) < ф(хк) и в силу непре- V n J рывности функции ф выполняется неравенство ф(у) < ф(х0). Поскольку ф является гомеоморфизмом и у ф х0, то ф(у) < ф(х0) и по определению Fn получаем, что х0 е Fn . По предложению 1 множество J является бэровским пространством и, значит, существует номер n0 е N , для которого inty Fn Ф0 . Следовательно, существует интервал (p, q), такой, что (p, q) n J с F^ . Не нарушая общности, можно считать, что q - p < - . Для любых двух точек х, у е (p, q) n J выполняется нераn0 венство ф( x) x2 >_В силу возрастания функции ф на интервале (p, q) П T последовательность ф(xk) является убывающей на «стрелке» S, что противоречит условию lim ф(xk) = ф(г), которое должно быть выполнено в силу непрерывности функции ф . Теорема 2. Если подмножество T с S гомеоморфно S, а D счетное всюду плотное в T подмножество, то пространства SD и S не являются гомеоморфны-ми. Доказательство. Поскольку T гомеоморфно S, то по предложению 1 пространство T является бэровским. Следовательно, T \ D также бэровское, так как является плотным Gs -подмножеством в T [4]. Кроме того, из гомеоморфности T и S следует, что для любых е> 0 и t е T множество (t -е, t] П (T \ D) является несчетным. Это означает, что для любой точки d е D с T найдется последовательность yn е T \ D , которая сходится к точке d , возрастая, и, значит, в пространстве SD последовательность {yn }ад= не имеет предельных точек. Предположим теперь, что существует гомеоморфизм ф: SD ^ S. Так же, как и в теореме 1, доказываем существование интервала (p, q), такого, что функция ф| (р q)n(T\D) является возрастающей. Рассмотрим точки d1, d2 е (p, q) П D, d1 < d2 и последовательности точек {yn и {zk из множества T \ D, которые, возрастая, сходятся к точкам d1 и d2 соответственно, но не имеют предельных точек в SD . Отсюда следует, что ф(Уя) < -

Скачать электронную версию публикации