Defect of mapping for deformed segment of metallic mesh.pdf Данная работа продолжает построение геометрической модели раскроя сетеполотна для осесимметричного рефлектора, начатое в [1, 2]. В основе модели -вычисление искажений локальных длин при отображении части плоскости на часть параболоида вращения. Аппарат исследования, предложенный в [1, 2], дополнен инвариантом отображения [3]. Там же указанный инвариант применен для анализа раскроя сетеполотна, но без учета так называемого матрасного эффекта [4, 5]. Данный пробел восполнен в предлагаемой статье. 1. Модель деформированного лепестка Модель лепестка, деформированного под действием так называемого матрасного эффекта ( с учетом ортотропных свойств сетеполотна), построена в [4], однако недостаток места привел к неполному её описанию. Отметим ключевые данные о модели и восполним пробелы. Попутно уточним одну из оценок. Конструктивные параметры рефлектора: F - фокусное расстояние параболоида, R - радиус вырезающего цилиндра, n - число секторов, на которые рефлектор разделен параболическими ребрами. Лепесток сетеполотна симметричен относительно плоскости, проведенной через ось l параболоида и линию L наибольшего прогиба лепестка (гребневая линия). Модель основана на присоединении к гребневой линии парабол, пересекающих параболические ребра таким образом, чтобы вершина параболы находилась на гребневой линии, главные нормали в точке пересечения этих линий совпадали, а соприкасающиеся плоскости были ортогональны. Пусть равновесное состояние нагруженного сетеполотна достигается на гребневой линии при значении кривизны этой линии в точке T равной &окр и значении кривизны параболы в той же точке равной &рад. Ортотропность сетеполотна моделируется параметром £„„„ L =- ^ад Совместив начало координат O с вершиной параболоида, совместив ось Oz с l и располагая ось Oz в плоскости, содержащей линию L, обнаруживаем, что вектор-функция, годограф которой есть гребневая линия (при сохранении главных членов разложения в ряд Маклорена), имеет вид г = {t,0,f (t)} , 0 < t < R , (1.1) где f (t) = Mt2 + Nt4 (1.2) K2 +1 K2 L (K2 +1)3 и M =----, N =-i--- . (1.3) 4F (1 - K 2L ) 16F3 (6K 2L -1)(1 - K2L )- Здесь K = tg -. n В [4] приведены условия надежности модели. Заметим, что модель сохраняет надежность и при менее стеснительных ограничениях. Именно, вводя в рассмотрение величины М = 4FM -1, N = (6K 2L -1) , обнаруживаем, что условия (2.4) в [4] можно заменить более слабым требованием: (M > 0)&(N < 0)&(М > 0)&(4NF3 + 4MF-1 > о) . Функция (1.2) с коэффициентами (1.3) найдена в [4] путем приближенного решения дифференциального уравнения (2.5) в [4] с надлежащими начальными условиями. Указанное уравнение перепишем в виде -Ф^ (t) ) = 0. (1.4) dt2 Описание оператора Ф(f (t)) ясно из [4], а также, что величины d2 f (t) dt2 ' Ф( f (t)) имеют одинаковую размерность. Следовательно, значение левой части равенства при подстановке f (t) из (1.2) имеет инвариантный смысл, если нет изменения масштабирования по координатным осям. Тем не менее имеет смысл оценить относительное значение разности (1.4), поскольку видно масштабное изменение значения указанной разности при подстановке (1.2) в зависимости от конструктивных параметров. Имея в виду цели практики, укажем, что для величин, имеющих размерность длины, числовые значения указаны в метрах. В качестве эталона приняты следующие значения конструктивных параметров: F0 = 8, R0 = 6, L0 = 1, {n1,n2,...,n9} = {12,14,16,20,24,26,28,32,36} . (1.5) Соответственно п „ K1 +1 Ar K2Lo ((2 +1)3 K = tg-, Mi =--j--, N =-*->-- 4F0 (1 -K2L0У ' 16Fo3 (6K2Lo -1)(1 -K2Lo)3 f (t) = Mf + Nit4, i = 1,...,9 . Невязку решения дифференциального уравнения (1.4) для различных значений i оценим безразмерным выражением f-Ш (t)) si (t)=- dt d 2 f (t) dt2 Среднее квадратичное значение (СКО) невязки ~0 8, = ^. Вычислив требуемые интегралы, получаем табл. 1 значений СКО невязки. Таблица 1 Значения СКО невязки решения уравнения (1.4) для различных n i 8, 1 12 0,02937 2 14 0,01880 3 16 0,01444 4 20 0,01077 5 24 0,00924 6 26 0,00878 7 28 0,00843 8 32 0,00795 9 36 0,00764 Автор склонен полагать решение дифференциального уравнения (1.4) в виде (1.2) удовлетворительным. Функции, с которыми мы будем иметь дело, содержат (кроме прочего) величины M и N . Ввиду чрезмерной громоздкости указанных функций, возникает необходимость их аппроксимировать (скажем, разложением в отрезок ряда Маклорена). В этой связи интересно выяснить, как ведут себя M и N при различных значениях конструктивных параметров. Ответ на этот вопрос содержится в рис. 1 и рис. 2. Разумеется, полученная информация не доказывает целесообразность применения разложений наших функций по M и N, но обосновывает надежду на успех. Полученные аппроксимации будут проверены на предмет близости к приближаемым функциям. Ясно, что порядок разложения по степеням M следует указывать большим, нежели порядок разложения по N. Рис. 1. Зависимость M от F и n при L е {0.6, 0,7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4} N 0.0004 0.0002 Рис. 2. Зависимость N от F и n при L е {0.6, 0,7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4} (очередность снизу вверх) криволинейным координатам u, v. Именно, Zj : R = r1 (u, v) e C1, Z2: R = r2 (u, v)e C1, (u, v)e D с R2. Из соображений технической природы предпочтительно говорить не о соответствии указанных поверхностей, а об отображении одной из них на другую: ф1: E (2.1) Первые квадратичные формы суть дифференциальные формы dsJ = E1 (u,v)du2 + 2F1 (u,v)dudv + G1 (u,v)dv2 , ds2 = E2(u,v)du2 + 2F2(u,v)dudv + G2(u,v)dv2 . Для отображения поверхности E2 на поверхность E1 безразмерная характеристика отклонения отображения от изометрического определена основной функцией [3] Л(u,v) = 2 + JN ^ E2(u,v)G2(u,v) -F2(u,v)2 ^ E1 (u, v)G1 (u, v) - F1 (u, v)2 -E2(u,v)G1(u,v) -Ex(u,v)G2(u,v) + 2F2(u,v)Fj(u,v) Ex(u, v)Gx(u, v) - Fj(u, v) Дефект K (f) отображения (2.1) определен в [3] соотношением E2G 2 - F2 dudv K (f) ± S2 Для гребневой линии (1.1) элемент длины дуги имеет вид (2.2) (2.3) V1 + 4M 2t2 + 16Mt4 N +16 N 2t6 Функцию (2.2) аппроксимируем полиномом 1 + 8Mt4 N + 2M 2t2. Относительная погрешность Q аппроксимации (2.3) для различных значений n из (1.5) представлена на рис. 3. Есть основания считать аппроксимацию приемлемой. Длина дуги гребневой линии соответственно оценивается функцией DL = t + -Mt5 N + -M 2t3. Как предложено в [4], деформированный благодаря «матрасному эффекту» лепесток E2 задается вектор-функцией u 2 Lff' u 2 Lf' t + - R2 = (2.4) u, f - '('+(f) )2 2 (1+(f))) и f определена в (1.2). Q 0.0025 0.0020 0.0015 0.0010 0.0005 Рис. 3. Относительная погрешность аппроксимации (2.3) для значений n1,..., n9 из (1.5) (очередность сверху вниз) Таким образом, u 2 L (2 M +12 Nt2 ) (2 Mt + 4 Nt3) E *2 = , u, (2.5) 0 < t < R. 2 (1 + 4 M 2t2 + 16Mt4 N +16 N216 ) Для R2(u, v) строится полиномиальное приближение (по аргументу N порядок разложения в ряд полагаем равным 8, а по аргументу M равным 16). Плоский кусок сетеполотна E1, отображаемый на E2, зададим следующей вектор-функцией: R1 = {DL, u, 0} = {t + 5 Mtъ N + 3 M115, u, 0 0 < t < R, - Kt < u < Kt. (2.6) Пара вектор-функций R1 (u, v), R2(u, v) определяет отображение (2.1). Ясно, что прямые, соединяющие соответствующие точки двух определенных выше поверхностей, параллельны плоскости xOz, а сферическое изображение конгруэнции указанных прямых [6, с. 19] есть линия. Таким образом, конгруэнция - цилиндрическая [6]. Представление о соответствии наших поверхностей получим, соединив прямолинейными отрезками их соответствующие точки. Часть указанной конструкции приведена на рис. 4. Вычислим дефект этого отображения. Следует иметь в виду, что исследуемое здесь отображение не есть результат решения оптимизационной задачи. Практически наверняка существует отображение, реализующее меньшее значение дефекта. Таким образом, речь идет о верхней оценке дефекта. Уточнение значения верхней оценки (тем более - отыскание точной верхней границы) представляется весьма сложной задачей. Рис. 4. Фрагмент соответствия поверхностей Z1 и Z2 Вычисление основной функции для R2 весьма затруднено. Применим для неё полиномиальное приближение. По аргументу N порядок разложения в ряд полагаем равным 6, а по аргументу M равным 12. Примем для аппроксимирующей вектор-функции символику Щ = {*, у, z} . (2.7) Тогда, в частности, х = t - 2Ltu 2 ax , где ax = -M2 + 8t2M4 - 48t4M6 + 256t6M8 - 1280t8M10 - J2t4N2 + 384t10N4 --24576t14MN5 - 8t2MN + 96t4M3N + 384t6N2M2 - 768t6M5N - 4800t8N2M4 + +5120t8M7N + 640t8MN3 + 43008t10N2M6 - J5360t10M3N3 - 322560t12N2M8 --26880t12N4M2 + 172032t12NMU + 200704t12M5N3 + 2J62688t14N2M10 --3J48873728t22N5M9 + 29771169792t24N5M11 + 573440t14N4M4 --7741440116N4M6 + J6220J60t16M9N3 + 1032192t16M3N5 -JJ9275520t18N3MU --20643840t18 N5M5 + 81100800t18 N4M8 - 721616896t20N4M10 + +285474816t20M7N5 - 1966080t14M7N3 - 30720t10M9N, У = u , z = -u 2LM + (M + 8m 2LM3 - 6m 2LN) t2 + + причем (-48m 2 LM5 + N + 80 Nm 2 LM 2 )t4 + 32u 2 Lt6bz bz = -21NM4 + 4992Nt6M10 - 8320t6M7N2 + 4160t6N3M4 --312t6MN4 - 4012M9 + 192t4M11 + 6t2N3 - 144t8 N5 + 7MN2 --108t2M3 N2 - 340480t12 N5M4 + 57600t8M9N2 + +1056t4M5N2 - 152320t10M5N4 - 264t4N3M2 - 880t4NM8 + +13056t10N5M2 + 9600t8M3N4 - 44800t8N3M6 + 1751040t12M7N4 + +5419008?14N5M6 - 65286144t16N5M8 - 16558080t14N4M9 + +137166848t16 N 4M11 - 365568tw N 2M11 - 2996224tu N 3M10 + +656015360t18 N5 M10 + 144t2 NM6 + 391680tl° N3 M 8 + 8M \ На рис. 5 представлены графики основной функции для различных значений числа лепестков. График точного представления основной функции - на рис. 6. Рис. 5. Относительная погрешность аппроксимации (2.1) - модуль разности вектор-функций для значений nx,...,П9 из (1.5) (очередность сверху вниз) Рис.6. Точные значения основной функции для значений nx,...,П9 из (1.5) (очередность сверху вниз) Для основной функции также строится полиномиальное приближение. О его качестве свидетельствует рис. 7. Рис. 7. Абсолютная погрешность аппроксимации основной функции для значений nj,...,n9 из (1.5) (очередность сверху вниз) Аналогично (рис. 8) строится полиномиальное приближение для элемента площади деформированного лепестка. Рис. 8. Относительная погрешность аппроксимации элемента площади деформированного лепестка для значений nj,...,n9 из (1.5) (очередность сверху вниз) Построенные аппроксимации позволяют вычислить дефект отображения для различных значений параметра n (число лепестков). Вычисления проведены для значений F = F00 = 8, R = R0 = 6 , L = L00 = 1. Алгоритм, программированный в среде Maple, позволяет провести вычисления для любых допустимых значений указанных конструктивных параметров. Стоит отметить, что уровень ресурсоемкое™ программы определяется двумя параметрами: константой Digits, задающей разрядность обрабатываемых чисел, и порядком m0 разложения функций в степенной ряд. Начиная со значения Digits=12, дальнейшее увеличение значения этой константы не сказывается на результате (хотя растет продолжительность вычислений). В то же время, при m00 > 10 требуются слишком большие ресурсы компьютера. Результат вычислений представлен в табл. 2. Таблица 2 Число лепестков Дефект отображения 12 0,000015 14 0.8662 -10-5 16 0.6117-10-5 20 0.5018-10-5 24 0.5281 -10-5 26 0.5501 -10-5 28 0.5720 -10-5 32 0.6113 -10-5 36 0.6431 -10-5 3. Второе отображение Здесь мы строим отображение Ф2 : ^ S2 , отличающееся от (2.1) заданием иной вектор-функции, годограф которой есть кусок плоскости. Оставим неизменной первую компоненту вектор-функции (2.6), а в качестве второй компоненты примем длину s дуги v-линии деформированного лепестка (2.5). Заметим, что s=!. 0 u4L2 (2M +12Nt2 ) (2Mt + 4Nt5) u2L2 (2M +12Nt2 ) Рис. 9. Относительная погрешность аппроксимации (3.1) для значений n1,...,n9 из (1.5) (очередность сверху вниз) Конгруэнция прямых, соединяющих соответствующие точки, теперь не цилиндрическая [6]. Сферическое изображение этой конгруэнции для значений конструктивных параметров (1.5) имеет вид (рис. 10): Рис. 10. Сферическое изображение конгруэнции лучей, соединяющих соответствующие точки Полиномиальное приближение основной функции здесь не приводим. Отметим, что относительная погрешность аппроксимации описывается графиком (рис. 11). Дефект отображения для различных значений числа лепестков при F=8, R=6, L=1 Рис. 11. Абсолютная погрешность аппроксимации основной функции для значений n1,...,n9 из (1.5) (очередность сверху вниз) Мы не приводим данные о точности аппроксимации прочих функций. Ограничимся констатацией того факта, что точность не хуже, чем при рассмотрении первого отображения (табл. 3). Таблица 3 Число лепестков Дефект отображения 12 0.7466 -10-5 14 0.7755 -10-5 16 0.7710 -10-5 20 0.7676 -10-5 24 0.7707 -10-5 26 0.7728 -10-5 28 0.7748 -10-5 32 0.7785 -10-5 36 0.7814 -10-5 Сведем в одну таблицу данные о дефекте отображения для примеров, приведенных в [3], и примеров, рассмотренных здесь (при F = 8, R = 6, L = 1) (табл. 4). Таблица 4 Число лепестков Выкраивание плоским листом Выкраивание лепестком с закругленными краями Для отображения ф1 Для отображения Ф2 12 0.1805 •Ю-6 0.2833 •Ю-9 0.000015 0.7466 •Ю-5 14 0.1805 •Ю-6 0.1529 •Ю-9 0.8662 •Ю-5 0.7755 •Ю-5 16 0.1805 •Ю-6 0.8665 •Ю-10 0.6117 •Ю-5 0.7710 •Ю-5 20 0.1805 •Ю-6 0.3672 •Ю-10 0.5018 •Ю-5 0.7676 •Ю-5 24 0.1805 •Ю-6 0.1771 • 10-10 0.5281 •Ю-5 0.7707 •Ю-5 26 0.1805 •Ю-6 0.1286 •Ю-10 0.5501 •Ю-5 0.7728 •Ю-5 28 0.1805 •Ю-6 0.9558 •Ю-11 0.5720 •Ю-5 0.7748 •Ю-5 32 0.1805 •Ю-6 0.5603 •Ю-11 0.6113 •Ю-5 0.7785 •Ю-5 36 0.1805 •Ю-6 0.3498 •Ю-11 0.6431 •Ю-5 0.7814 •Ю-5 4. Выводы Содержание последней таблицы позволяет считать, что дефект отображения -довольно чувствительный инструмент сравнения отображений, отвечающих различным схемам раскроя сетеполотна, способный, к тому же, отмечать искажение формы сетеполотна, обусловленное «матрасным эффектом» [5].

Скачать электронную версию публикации