Abelian groups with a regular center of the endomorphism ring.pdf Основные исследования по изучению абелевых групп, имеющих регулярное кольцо эндоморфизмов, связаны с работами K.M. Rangaswamy [1], L. Fuchs и K.M. Rangaswamy [2], которые свели изучение таких групп к редуцированным группам. В теореме 4 данной работы рассматривается этот случай. Описание редуцированных групп конечного ранга без кручения, имеющих регулярное кольцо эндоморфизмов, было предложено S. Glaz и W. Wickless в [3]. Интерес к исследованию абелевых групп, имеющих регулярный центр кольца эндоморфизмов, связан в первую очередь с проблемой, поставленной в монографии [4]: «Центры колец эндоморфизмов каких групп регулярны, самоинъектив-ны?». В работе [5] изучение таких групп было сведено к редуцированному случаю, а в теореме 2 предлагаемой работы рассматривается данный случай. Центр кольца эндоморфизмов абелевых групп, а также связанные с этим вопросы изучались в ряде работ. Так, в [6] описание центра кольца эндоморфизмов расщепляющейся смешанной абелевой группы сводится к описанию некоторых подколец центра кольца эндоморфизмов ее части без кручения. В [7] рассматривается строение аддитивной группы регулярного модуля. Изучаются абелевы группы, являющиеся регулярными модулями над своими кольцами эндоморфизмов. В [8] доказывается регулярность кольца эндоморфизмов по радикалу самой малой sp-группы. В [9] содержатся как известные, так и новые результаты о гомоморфизмах, близких к регулярным. В [10] изучаются абелевы группы с центральными идемпотентами, а в [11] - с перестановочными мономорфизмами. Все группы, рассматриваемые здесь, являются абелевыми, а все кольца являются унитальными предкольцами [12]. Введем следующие обозначения: E (G) -кольцо эндоморфизмов группы G; C(E(G)) - центр кольца E(G); T(G) - периодическая часть группы G; Tp (G) - p -компонента периодической части группы G; прямую сумму и произведение групп обозначаем символами © и П соответственно. Все понятия, которые не поясняются здесь, являются стандартными их можно найти, например, в монографиях [4, 12-14]. Напомним, что предкольцо A называется регулярным, если A - регулярная мультипликативная полугруппа (т. е. если a е aAa для любого a е A ) [12]. Нам потребуется следующая теорема, доказанная в [5]: Теорема 1 [5]. Для группы G следующие условия справедливы: 1) Если G - нередуцированная группа, то C(E(G)) - регулярное кольцо тогда и только тогда, когда группа G удовлетворяет хотя бы одному из следующих условий: а) G - делимая группа без кручения; б) G = A © D, где A - элементарная группа, а D - делимая группа без кручения. 2) Если G - редуцированная группа и C(E(G)) - регулярное кольцо, то T (G) - элементарная группа, G / T (G) - делимая группа и pеP © Tp (G) с G сП Tp (G). pеP Определение. Подкольцо B кольца A назовём регулярно разрешимым в A, если для любого b е B из того, что b е bAb , следует, что b е bBb. Замечание. Очевидно, что если B - регулярное подкольцо кольца A, то B регулярно разрешимо в A. В следующей теореме рассматриваются редуцированные группы, имеющие регулярный центр кольца эндоморфизмов. Теорема 2. Если G - редуцированная группа, то C(E(G)) - регулярное кольцо тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1) T(G) - элементарная группа; 2) C(E(G)) изоморфно регулярно разрешимому подкольцу кольца E(T(G)). Доказательство. Необходимость. Справедливость условия 1) следует из теоремы 1. Докажем, что выполняется условие 2). Рассмотрим кольцевой гомоморфизм ф: E(G) ^ E(T(G)), ставящий в соответствие каждому а е E(G) его ограничение на T(G) Предположим, что существует ненулевой гомоморфизм Р е E(G) такой, что р е ker ф. Тогда /m(P) является делимой группой (как эпи-морфный образ делимой группы G / T(G) (см. теорему 1)), что противоречит редуцированности группы G. Следовательно, ф - мономорфизм. Пусть i: C(E(G)) ^ E(G) - тождественное вложение, тогда im^i) - регулярно разрешимое подкольцо кольца E(T(G)) Достаточность. Так как T(G) - элементарная группа, то E(T(G)) - регулярное кольцо [4, следствие 18.2] и, следовательно, C (E (G)) - регулярное кольцо по условию 2). Напомним результат, полученный Фуксом и Рангасвами [1, 2] для абелевых групп, имеющих регулярное кольцо эндоморфизмов. Теорема 3 ([1, 2]). Для группы G следующие условия справедливы: а) Если G - периодическая группа, то кольцо E(G) регулярно тогда и только тогда, когда G - элементарная группа. б) Если G - нередуцированная группа, то E(G) - регулярное кольцо тогда и только тогда, когда G - прямая сумма делимой группы без кручения и элементарной группы. в) Если G - редуцированная группа и E(G) - регулярное кольцо, то T(G) - элементарная группа, G / (T(G)) - делимая группа и pеP © Tp (G) с G сП Tp (G). pеP Поскольку нередуцированные группы, имеющие регулярное кольцо эндоморфизмов, в теореме 3 описаны, то в следующей теореме рассмотрим только редуцированный случай. Теорема 4. Если G - редуцированная группа, то E(G) - регулярное кольцо тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1) T (G) - элементарная группа; 2) E (G) изоморфно регулярно разрешимому подкольцу кольца E(T (G)). Доказательство. При использовании условия в) теоремы 3 доказательство данной теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 2.

Скачать электронную версию публикации