On the residual n-finiteness of some free products of groups with central amalgamated subgroups.pdf 1. Введение Пусть п - некоторое множество простых чисел, Fn - класс всех конечных п-групп. Напомним, что конечная группа называется п-группой, если все простые делители ее порядка принадлежат множеству п. Группа G называется аппроксимируемой конечными п-группами (или, короче, FK-аппроксимируемой), если для каждого неединичного элемента x из G существует гомоморфизм группы G на некоторую конечную п-группу, при котором образ элемента x отличен от единицы. В случае, когда множество п состоит из одного простого числа p, говорят об F%-аппроксимируемости. Перейдем теперь к свободным произведениям групп с объединенными подгруппами. Пусть A и B - произвольные группы, H и K - подгруппы групп A и B соответственно, ф - изоморфизм подгруппы H на подгруппу K. И пусть G = (A * B; H = K, ф) - свободное произведение групп A и B с подгруппами H и K, объединенными относительно изоморфизма ф. Напомним, что группа G порождается всеми порождающими групп A и B и определяется всеми определяющими соотношениями этих групп, а также соотношениями вида hф = h, где h е H . Очевидным необходимым условием FK-аппроксимируемости группы G является Fjt-аппроксимируемость групп A и B. Несложные примеры показывают, что это условие не является достаточным. Для изучения FK-аппроксимируемости группы G будем накладывать на группы A и B и подгруппы H и K некоторые дополнительные ограничения. Далее будем требовать, чтобы подгруппы H и K содержались в центрах групп A и B соответственно. При таком ограничении может быть доказано, что если A и B - конечные п-группы, то группа G Fjj-аппроксимируема (см. доказанное ниже предложение 3). Аналогичный результат может быть получен, если ослабить требование конечности групп A и B до требования конечности объединенных подгрупп H и K: свободное произведение двух F^-аппроксимируемых групп с конечными центральными объединенными подгруппами является F^-аппроксимируеой группой (см. предложение 4). Группа G оказывается F^-аппроксимируемой и в том случае, когда группы A и B F^-аппроксимируемы, а фактор-группы A/H и B/K являются конечными п-группами (см. предложение 5). Заметим, что в последнем утверждении требование конечности фактор-групп A/H и B/K не может быть заменено на более слабое требование Fji-аппрокси-мируемости этих фактор-групп. Соответствующий пример будет приведен в четвертом разделе данной статьи. Тем не менее в случае, когда A - нильпотентная группа конечного ранга, имеет место следующий критерий. Теорема 1. Пусть G - свободное произведение групп A и B с нормальными объединенными подгруппами H и K, не совпадающими с группами A и B. И пусть A - нильпотентная группа конечного ранга, а H содержится в ее центре. Тогда группа G Fjj-аппроксимируема тогда и только тогда, когда группы A, B, A/H и B/K Fjj-аппроксимируемы. Напомним, что группа G называется группой конечного ранга, если существует целое положительное число r, такое, что любая конечно порожденная подгруппа группы G порождается не более чем r элементами. Заметим, что необходимость в теореме 1 имеет место и без предположения о том, что A - нильпотентная группа конечного ранга (см. ее доказательство). Заметим еще, что теорема 1 обобщает аналогичный критерий Fп-аппроксимируемости группы G, полученный автором работы [1], в котором наряду с требованиями конечности ранга группы A , ее нильпотентности и центральности подгруппы H в группе A накладываются такие же требования на группу B и на ее подгруппу K. Кроме того, частным случаем теоремы 1 является один из результатов работы [2, теор. 4], доказанный для случая, когда A - конечно порожденная нильпотентная группа. Для доказательства теоремы 1 нам понадобится ряд вспомогательных утверждений. 2. Вспомогательные утверждения Предложение 1. Пусть G - нильпотентная группа конечного ранга. Если группа G является расширением конечной п-группы с помощью Fjj-аппроксимируемой группы, то группа G Fjj-аппроксимируема. Это утверждение было доказано автором в [1]. Пусть G - свободное произведение групп A и B с объединенными относительно изоморфизма ф подгруппами H и K. Хорошо известно, что группы A и B естественным образом вложимы в группу G. Поэтому можно считать, что A и B - подгруппы группы G. Тогда A n B = H = K . Далее в некоторых случаях для группы G будем использовать более компактное обозначение G = (A * B; H) и называть ее свободным произведением групп A и B с объединенной подгруппой H. Предложение 2. Пусть G = (A * B; H), M и N - нормальные подгруппы групп A и B соответственно, такие, что M n H = N n H . Тогда естественные гомоморфизмы A ^ A/M и B ^ B/N могут быть продолжены до гомоморфизма pMN группы G на свободное произведение GMN групп A/M и B/N с объединенной подгруппой HMN = HM/M = HN/N. Это утверждение хорошо известно и легко проверяется (см. [3]). Напомним, что группа G называется расщепляемым расширением группы A с помощью группы B, если A - нормальная подгруппа группы G, B - подгруппа группы G, AnB = 1 и G = AB. Очевидно, что G/A = B и [G : B] = |A|. Предложение 3. Пусть G - свободное произведение конечных п-групп A и B с нормальной объединенной подгруппой H. Если H центральна в A, то группа G F%-аппроксимируема. Доказательство. Заметим, что фактор-группа G/H FK-аппроксимируема, поскольку представляет из себя свободное произведение конечных п-групп A/H и B/H. Обозначим через D/H ее декартову подгруппу, т. е. ядро гомоморфизма группы G/H на прямое произведение групп A/H и B/H, продолжающего тождественные отображения A/H ^ A/H и B/H ^ B/H. По хорошо известной теореме Ку-роша о подгруппах свободных произведений групп (см., напр., [4, с. 253]) подгруппа D/H свободна. Кроме того, D/H нормальна в группе G/H и имеет в ней конечный п-индекс. Поэтому подгруппа D нормальна в группе G, имеет в ней конечный п-индекс и представляет из себя расширение группы H с помощью свободной группы. Хорошо известно, что такое расширение расщепляемо. Таким образом, D - расщепляемое расширение конечной п-группы H с помощью некоторой свободной группы F, изоморфной D/H. Покажем, что группа D Fjj-аппрокси-мируема. Пусть р - гомоморфизм группы G в группу автоморфизмов группы H, сопоставляющий каждому элементу x из G ограничение на H внутреннего автоморфизма группы G, производимого элементом x. Так как H лежит в центре группы A, то Ap = 1. Отсюда и из того, что G порождается подгруппами A и B следует, что Gp = Bp и, следовательно, Gp - конечная п-группа. Обозначим через N ядро гомоморфизма р. Тогда F n N - нормальная подгруппа группы F и F / F n N = FN / N < G / N = Gp . Отсюда и из того, что Gp - конечная п-группа, следует, что [F: F n N] - п-число. С другой стороны, так как D - расщепляемое расширение группы H с помощью группы F, то [D : F] = |H|, и поэтому [D : F] - п-число. Следовательно, [D : F n N] - п-число. Так как D = HF, F n N - нормальная подгруппа группы F и F n N поэлементно перестановочна с H, то F n N -нормальная подгруппа группы D. Таким образом, D содержит свободную нормальную подгруппу F n N конечного п-индекса. Поэтому группа D F%-аппроксимируема. При этом D является нормальной подгруппой конечного п-индекса группы G. Поэтому группа G также Fjj-аппроксимируема. Предложение доказано. Напомним, что подгруппа H группы G называется FK-отделимой, если для каждого элемента x группы G, не принадлежащего H, существует гомоморфизм ф группы G на конечную п-группу, такой, что x< g H

Скачать электронную версию публикации