Modeling electromagnetic emission processes in the geological environment.pdf Как известно, пьезоэффект был открыт братьями Кюри в 1881 г. [1], позже Степанов в 1933 г. наблюдал электризацию при пластической деформации кристаллов, не склонных к проявлению пьезоэффекта [2]. Авторами [3] в лабораторных условиях было рассмотрено влияние различных внешних факторов на электризацию подобного рода кристаллов при деформации. Очевидно, что существующие современные теории и методы интерпретации данных естественного электромагнитного поля Земли, описанного профессором A. А. Воробьевым [4, 5], далеко не всегда соответствуют реальным результатам, поэтому разработка новых методов остается актуальной задачей. Многоплановость и сложность этой проблемы очевидны. Они обусловлены, главным образом, неполнотой и ограниченностью физических представлений, лежащих в основе описания процессов взаимодействия электромагнитных полей различного происхождения и интенсивности с геосредой. Сейчас, как в прикладных науках, так и теоретических, наметились тенденции к углубленному изучению подобных процессов, и результатом явилось значительное усложнение существующих физических моделей, расширение класса математических операций и модификации способов решения. Очевидно, что для дальнейшего развития теорий необходимы целенаправленные эксперименты В современной литературе большое распространение получила модель B.Н. Шумана [6, 7] и В.В. Суркова [8]. В основу данных работ положен диффузионный подход к процессам распространения электромагнитного поля в среде. Базовые представления данной модели легли в основу различных теоретических и прикладных работ, таких как [9 - 12]. Целью данной работы является получение модели, основанной на термодинамических представлениях, позволяющей описывать распространение электромагнитных волн, сгенерированных деформацией. Связь между полем деформации и электромагнитным полем дает возможность по известной деформации построить пространственные распределения электрического и магнитного полей. При наличии априорной информации о расположении источника деформации возможно нахождение решения обратной задачи. Постановка задачи Рассмотрим модель геологической среды, находящейся в постоянном магнитном поле Земли. Введем следующие предположения: • Рассматриваемый объем геологической среды является однородным. • Система находится в адиабатических условиях. • В системе отсутствуют источниковые члены. Используя данные предположения, запишем систему уравнений: ^ = 0, dt р^ = -v-a + Pe (E + eeolW x B) = 0, (1) dt d e = -V-(eeollo S) + a_Г = dt E2 + B d dt где первое уравнение - уравнение неразрывности, второе - сохранения импульса, третье - сохранения энергии. В системе (1) р - плотность вещества системы, pe - плотность свободных зарядов системы, E - вектор напряженности электрического поля, B - вектор магнитной индукции, | - в общем случае тензор магнитной проницаемости, a - тензор напряжений, e - тензор деформаций, S = E x B - вектор Пойнтинга, v - вектор скорости перемещения частиц среды. Если (1) описывает систему, подчиняющуюся условию локального равновесия, то можно записать основные термодинамические потенциалы системы и соответствующие уравнения Гиббса [13, 14]: du = Tds + - a.de. +-EkdPk + |m- B1djm, (2) P 1 1 Pe lo где u - внутренняя энергия системы, T - температура, s - энтропия, с. - тензор напряжений, е.- - тензор деформаций, р - плотность вещества системы, pe - плотность зарядов, Ei - компоненты вектора напряженности электрического поля, Pi -компоненты вектора поляризации, Bi - компоненты вектора магнитной индукции, ji - компоненты вектора намагниченности. Данная термодинамическая система по определению является сложной и для нее энтальпия определяется равенством [15]: dH = Tds -Р e.d a. --- PkdEk - ^ Bj ; (3) P Pe lo dG = - sdT -1 e.d a. --- PkdEk - Bj. (4) P Pe lo Для каждого из уравнений Гиббса можно записать обобщенные уравнения состояний в дифференциальной форме. Так, в случае (4) можно записать систему уравнений в полных дифференциалах, которая даст нам систему уравнений состояния: f 5s d a,, +l f ds 9 dEk + (-* ds = (#) dT + dBi; (5) 1 № k Jtc,, ,Bl V У Jt ,Ek ,B, 9s. дст,, V 1 JT ,Ek fdPk ^ 'P , dT dPk = dT + f dPk d a,, +| -- 11 V^E k JT,a, j, Bi 3ct„ V y JT ,Ek ,Bi d s,, =№ dT dT + dEk k JT,a,,Bi f я- ) d1i 1 dji = dT + V9B dEk +fdpk dBl; (7) dek + dBi. (8) V SB ,„ a „ v i /7 ,a,,,hi 5Bi JT,a,j,Ek da,, + |-dSj | dEk + [dSj dBi; (6) i JT,Cj,Ek k Jt,a,j,Bi Л, ,Ek ,Bi Каждый из коэффициентов в (5) - (8), стоящих перед дифференциалами, характеризует определенный физический эффект. Большая часть из них известна в литературе [16, 17]. По главной диагонали в правой части системы (5) - (8) находятся коэффициенты, характеризующие главные эффекты, остальные коэффициенты иллюстрируют перекрестные или сопряженные эффекты. Таким образом, систему (5) - (8) можно записать: c ds = - dT +pa,ida, + pkdEk + qtdBt; T (9) d6,1 = a,,dT +PS,,kidaki + d,,mdEm + bijndBn (10) dPk = PkdT +Pd,,kd a,, + 4nK0XkidEi + VkmdBm ; (11) djl = qidT + Pb,,ida,, + VkidEk + 4nKimdBm . (12) Здесь c - теплоемкость при постоянном механическом напряжении и постоянных электрических и магнитных полях, T - абсолютная температура; a,, - тензор коэффициентов пьезоколорического эффекта и теплового расширения при постоянном электромагнитном воздействии; pk - вектор пироэлектрического и электро-каллорического эффектов при постоянстве поля деформации и магнитного поля; qi - вектор пиромагнитного и магнетокалорического эффекта при постоянных значениях поля механических напряжений и электрического поля; si,id - тензор упругих податливостей при постоянном поле температуры и постоянном электромагнитном поле; d,,m - тензор пьезоэлектрического эффекта, рассчитанный при постоянном магнитном и температурном полях; bi,i - тензор пьезомагнитного эффекта при постоянстве температурного и электрического поля; 4nKQxki - тензор диэлектрической восприимчивости при постоянных поле напряжений, температурном и магнитных полях; vkm - тензор прямого магнитоэлектрического эффекта и Vki - тензор обратного магнитоэлектрического эффекта, рассчитанные при постоянстве полей температуры и напряжения; 4лкг, - тензор магнитной восприимчивости при постоянных значениях поля температуры, напряжения и электрического эффекта. Величины теплоемкости, тензоров податливостей, диэлектрической и магнитной восприимчивостей входят в систему уравнений (9) -(12), описывающую главные эффекты. Из сопряжённых эффектов наиболее интересны прямой и обратный магнитоэлектрические эффекты, их тензоры в общем случае несимметричны, и пьезомагнитный эффект, тензор третьего порядка которого симметричен по двум индексам. Аналогичную систему уравнений состояний типа (9) - (12) можно записать для (2): T 11 dT = - ds + pa..~ldе. +--dPk +--djt; (13) с 1 1 Pk %i dCTj = aj~lds + p1 ~'dеkl + djm -dPm + bjn"4 ; (14) dEk = - ds + pdjk-lde4 + dP, +vk„-ldjn; (15) pk 4nK0 dBl = - ds + pbji-1d8j +V kl-ldPk +Km- djm . (16) Уравнения (9) - (16) показывают, что все входящие в них величины имеют разнообразную физическую природу и связаны между собой. Производство основных величин термодинамической системы Из уравнения (15) следует, что изменение компонент вектора напряженности электрического поля системы связано с изменением полей деформации, поляризации и намагниченности. Под действием поля деформаций они изменяются, отражая реакцию среды на воздействие этого поля, и, как видно из (10), эти изменения, в свою очередь, приводят к изменению поля деформации. Введем замену переменных: p- = П, d- = A, - = Х, V-1 =Y (17) 4пк0 Перепишем уравнение (15) в векторной форме: dE = nds + pAd е + X dP + Yd/. (18) Из [18] известно, что j = XH, (19) P = ееоХЕ, (20) где H - вектор напряженности магнитного поля, а X - тензор магнитной восприимчивости. Также учтем соотношение между напряженностью и индукцией магнитного поля: B = ^0 H. (21) Уравнения Максвелла используем в виде VB = 0, (22) Vx Е = -dB. (23) dt Предположим, что рассматриваемая нами система находится в адиабатических условиях. Запишем (18) вдоль траектории движения центра масс: dE ~ d е - dP ~ dj -= pA- + Х-+ Y-, dt dt dt dt Преобразуем последнее, с учетом (19) - (23): dE ~ d е - „ dE ~ X dB -г = pA~t + Хее0Х - + -, dt dt dt цц0 dt dE ~ d е - „ dE ~ X f dB „ „ -T = pa^ + Xee0X - + Y-4 - + vVB dt dt dt цц0 v dt / ~ „ч dE ~ X - dе получим (1 -Хее0х)-+ VxE = pA-, (24) dt цц0 dt где е - диэлектрическая проницаемость среды, е0 - электрическая постоянная. Векторное дифференциальное уравнение (24) демонстрирует связь между изменениями во времени электрического поля и поля деформаций изучаемой системы. Повторим рассуждения относительно уравнения (15) для уравнения (16). Приращение вектора магнитной индукции вызывается изменением полей деформации, поляризации, намагниченности и изменением энтропии. Ведем замену переменных: q- = 0, b- = В, - = К, v-1 = Y (25) 4п Запишем уравнение (17) в векторном виде: dB = 0ds + pBB d e + Y dP + Kdj. (26) Добавим и соответствующие уравнения Максвелла [18]: V-E = , (27) ее0 dE 1 - =-(Vx B -цц 0 j). (28) dt ее0ЦЦ0 Запишем (26) вдоль траектории движения центра масс и преобразуем его с учетом (19) - (21) и (27) - (28): 1 --1 ^--(Vx B -XB) = pB d- + pev, (29) цц0 J dt цц0 dt где v - скорость движения зарядов внутри изучаемой системы. Аналогично тому, как находится (24) из (15) и (29) из (16), возможно получить из (13) и (14) соответственно daAB-1 f1 _М.1+Ж1dB + nXА В-1(Vx B-XB) + (П-ФАЗ--v, (30) dt v v ЦЦ0 J ЦЦ0 J dt ЦЦ0 da = fQB-1 [1-К|+ЖУв + АХ-*ХШ-1(УХ д+ (-^-1) (31) !!o J !!o Jdt !!o 10 ' dt Электромагнитная эмиссия возможна только при разрушении кристаллической решетки, но такие разрушения учитываются коррекцией параметров среды [23]. Расчет электрического и магнитного полей по полю деформации Предположим, что процесс протекает без завихрений электромагнитных полей, тогда уравнение (24) примет вид (32) (1 -Xssqx ))E = рА f • Рассмотрим коэффициент при производной по электрическому полю. В общем случае величины X и X могут существенно различаться [19], но для геологических сред их можно считать равными. Зададим тензор деформации в виде [22] f 10-6 cos x 0 0 0 10-6 cos y 0 0 0 10-6 cos z (33) s = В [19 - 21] описаны параметры основных и перекрестных эффектов: р = 2600, А = 1,6-103 8, X = 15.110-6 8, B = 1,12-109 8, К = -1.4 -1048, Ф = 1 ■ 10-68, 6 = 4. (34) Здесь 8 - символ Кронекера. В результате расчета по известному полю деформаций, с помощью соотношения (32), на рис. 1 изображено электрическое поле, порожденное пьезоэлектрическим эффектом в среде с параметрами (34). 1 t' п i ^ 1.5- 0.5- 1 Z 1.5 0 1.5 0.5 0 1 0.5 1.5 0 1 X Рис. 1. Электрическое поле, порожденное деформацией в кристалле кварца (трехмерное изображение поля и срез при значении z = 0.785 мкм) Согласно [8], при деформации горной породы (кварца) - росте трещин - на берегах растущей трещины образуются электрические заряды различных знаков. При «пробивании» конденсатора-трещины и образуется искомое электромагнитное поле. Рассмотрим формулу (29), при условии отсутствия вихревого магнитного поля она примет вид (35) , KX I dB TX „„ ^ dS 1--- | -+ -^xB = pB-+ ^v. --Q J dt --Q dt (35) Из (34) видно, что вторые слагаемые, в правой и левой частях равенства (35), пренебрежительно малы и их можно опустить: 1 -Ж! dB=pB dS --Q J dt dt В результате расчета по известному полю деформаций, с помощью соотношения (35), на рис. 2 изображено магнитное поле, порожденное пьезоэлектрическим эффектом в среде с параметрами (34). 1.5 1 0.5 Z 0 1.5 0 1.5 0.5 0 1 0.5 1.5 0 1 X Рис. 2. Магнитное поле, порожденное деформацией в кристалле кварца (трехмерное изображение поля и срез при значении z = 0.785 мкм) Заключение Таким образом, в работе выделены соотношения, связывающие изменение поля деформации с изменениями электрического и магнитного полей. Соотношения для приращений электрического и магнитного полей содержат параметры, обладающие ясным физическим смыслом, которые могут быть определены из эксперимента. Это относится, например, к коэффициентам пьезомагнитного и пьезоэлектрического эффектов. Если поле задано (поле деформаций), то, не решая конкретных краевых задач, можно расчитать характеристики других полей.

Скачать электронную версию публикации