Circulatory high-viscosity nonnewtonian fluid flow in a single-screw extruder channel.pdf Одним из важнейших направлений современной промышленности является переработка высоковязких полимерных материалов. В настоящее время широко распространены экструзионные методы переработки. Основными преимуществами таких методов являются возможность их совмещения с другими технологическими процессами и непрерывность процесса переработки. Наиболее широкое применение среди экструзионных машин для переработки полимеров нашли од-ношнековые экструдеры. Их роль в современной промышленности сложно переоценить, поскольку часто только они способны перерабатывать высоковязкие материалы. В связи с этим, большое внимание уделяется созданию математических и численных моделей процесса экструзии [1-5], а также разработке рекомендаций по оптимизации определяющих параметров одношнековых машин [6, 7]. Частицы вещества, находящегося в шнековом канале, совершают сложное движение, поэтому в реальных условиях описать течение продукта в шнеке очень сложно, поскольку помимо течения вдоль канала шнека имеет место циркуляционное течение в поперечном к оси канала направлении и переток вещества через гребень шнека за счет зазоров между гребнем и корпусом. Течение расплавленного полимерного вещества в зоне дозирования принято представлять как сумму двух независимых движений: поступательного течения вдоль оси шнека и циркуляционного течения в поперечном к оси канала направлении, которое и будет рассмотрено в настоящей работе. При построении математических моделей процесса течения в зоне дозирования, где полимерное вещество находится в расплавленном состоянии, вводится ряд упрощающих предположений: рассматривается стационарный процесс с заданным массовым расходом, шнековый канал разворачивается на плоскость и используется принцип обращенного движения, пренебрегается массовыми силами и перетоками жидкости через зазоры [8]. Кроме того, при построении плоской модели канала считается, что глубина канала шнека много меньше его ширины. Таким образом, полагается, что отсутствует влияние боковых стенок на скорость течения в середине канала. Это позволяет представить циркуляционное течение как течение в бесконечно длинном прямоугольном канале, верхняя стенка которого движется с постоянной скоростью в своей плоскости. В связи с этим возникает вопрос, при какой величине отношения ширины канала к его глубине является допустимым предположение об отсутствии влияния боковых стенок. Этот вопрос и рассматривается в настоящей работе. Основные уравнения Поскольку в зоне дозирования существует только жидкая фаза, расплав можно считать неньютоновской жидкостью. Основными уравнениями для описания двумерного течение неньютоновской жидкости при малых числах Рейнольдса (Re ^ 1) являются уравнения Стокса: Зст.. dJL = 0, i, j = 1,2, (1) dXj где стj = -p5j + тj - компоненты полного тензора напряжений, p - давление, 5 j - символ Кронекера, тj - компоненты тензора вязких напряжений, Xj - декартовы координаты. В качестве реологической модели, описывающей неньютоновское поведение жидкости, используется степенной закон, характеризующий зависимость вязкости от скорости сдвига: ту = 2nej, (2) где n = Yn-1 - коэффициент эффективной вязкости, n - индекс течения (показатель нелинейности), Y = (2^уё^ )12 - интенсивность скоростей деформаций, ej = (5иг- / dXj + dUj / dxi) / 2 - компоненты тензора скоростей деформаций, ut компоненты вектора скорости. Систему (1) необходимо дополнить уравнением неразрывности £ = 0 (3) дхг и граничными условиями, которые состоят в задании компонент скорости на стенках канала: на верхней подвижной стенке щ = 1, u2 = 0 (4) и на остальных стенках ui = 0. (5) Все уравнения записаны в безразмерных переменных. В качестве характерного размера выбрана глубина канала H, в качестве характерной скорости - скорость движения верхней стенки канала u0. Давление обезразмерено к величине к I H I , где к - коэффициент консистенции. На рис. 1 представлена область решения. x u1=1 u2=0 2 1 Г и I I I 1 I 1 i II 1 1 II 1 II 1 1 1 1 II II 1 1 0 u= 0 x S/H Рис. 1. Область решения (S - ширина, H - глубина) В такой постановке задача фактически сводится к задаче о течении степенной жидкости в прямоугольной каверне с верхней движущейся стенкой [9]. Решение задачи без учета влияния боковых стенок Предполагается, что H ^ S. Тогда постановка задачи о циркуляционном течении неньютоновской жидкости в канале шнека экструдера при отсутствии влияния боковых стенок на профиль скорости в сечении x1 - 0 (рис. 1) и с учетом указанных выше допущений сводится к уравнениям Uj = Uj (x2), p - p( Х1), dp _ d т12 (6) dx WX2 Граничные условия (4) и (5) остаются прежними. Левая часть уравнения (6) не зависит от x2 , значит, и правая часть не может зависеть от x2 , следовательно, обе части уравнения равны постоянной величине. Введем обозначение dp dx1 - A. В результате интегрирования уравнения (6) получим Т12 - АХ2 -A , (7) где постоянную интегрирования для удобства дальнейших вычислений выберем в виде -АС1. С учетом соотношений для п и у в^1ражение (7) запишем следующим образом: - А(x2 - С1). du1 (8) Уравнение (8) преобразуем к виду du1 (x2 - C1) dx^ а (9) где а=(Aг • Интегрируя выражение (9) с учетом граничного условия на ниж" ней стенке, получим 1 n n+1 Л Х2) = (10) |x2 C^ n C a n +1 Для нахождения неизвестных постоянных C1, А используем граничное условие на движущейся стенке и тот факт, что расход поперек канала должен быть равен нулю. В результате получаем систему уравнений с двумя неизвестными n+1 n 1 - С!" - C1 1n -1 = 0, a (n +1) 2n+1 Л (11) 2n+1 |1 - ^рт - C - C = 0, (2n +1) которая решается методом Ньютона для определения значений С1 и А при различных значениях n. После этого по формуле (10) можно рассчитать профиль скорости. Решение задачи с учетом влияния боковых стенок Для численного решения задачи с учетом влияния боковых стенок используется непрямой метод граничных элементов [11]. Представим (1) в виде (12) ЗХ: д где ctn =-p5iY + 2eij - линейная часть тензора напряжений, Тi =-Г2(1-п)% ] = dx. dj У dx, (13) - нелинейная векторная функция, которую будем рассматривать как плотность источников, распределенных по области течения Q . Тогда, в соответствии с положениями непрямого метода граничных элементов [12], можно записать , (x) = JGjj (x,|)фj (QdS(|) +JGjj (x,z)Тj (z)dQ(z), где фу - плотность фиктивных источников, распределенных по границе области течения Г . Функция G, является фундаментальным решением уравнений Стокса и определяется формулой [13] G (x, --4-(Sy tai + ^ I, (I4) 1 где y - xi - '%i, r - (yiyi )2 . Если на границе области течения Г заданы значения скорости, то уравнения (13) позволяют получить значения неизвестных граничных сил ф j (|)(|еГ). Это возможно сделать при известной функции Т j (z) (z efi). Так как эта функция заранее не известна, то возникает необходимость организации итерационного процесса. Для численного решения уравнений (13) используются постоянные элементы и постоянные ячейки. Граница области течения Г разбивается на N элементов. Функция фj считается постоянной на каждом элементе. Область течения разбивается на N2 ячеек. Функция Т(z) считается постоянной внутри ячейки. Тогда уравнения (13) в дискретной форме приобретут вид N N N u (xp ) - AGjq +Х kmAGt, (15) q-1 к-1 m-1 где AGpq - j Gl} (xp, 5)dГ(Ц AGf1" - j Gl} (xp, z) dQ(z), xp - середина Arq АОкт элемента p (узел). Для вычисления 2N неизвестных ф^^ берутся 2N уравнений (15), соответствующие N элементам, на которых заданы ut (xp). Коэффициенты получаемой системы линейных алгебраических уравнений AGpq в случае постоянных элементов можно вычислить аналитически. Технология вычисления изложена в [14]. Для вычисления интегралов по области AGpqm используются стандартные квадратурные формулы Гаусса, без выделения особенностей. Особенности в этих интегралах имеют вид ln(1 / r). Следовательно, при интегрировании по области эти интегралы существуют в обычном смысле. Такой подход значительно упрощает алгоритм решения. При проведении расчетов использовалась квадратурная формула с 64 узлами. Для решения системы нелинейных алгебраических уравнений (15) относительно ф^^ применялся метод простой итерации. На первой итерации использовались значения Ткт , определенные по ньютоновскому полю течения. Для решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений использовался метод Гаусса. Далее использовались значения Ткт, рассчитанные в соответствии с полем течения, полученным на предыдущей итерации. Функции Ткт в центре ячейки (к, т) вычислялись конечно-разностным спосо- (NN \кт т. ) в вершинах ячеек (узлах сетки). Значения (т^) полностью определяются производными (dui /x}-) , значения которых находились с использованием центральных разностей во внутренних узлах и односторонних разностей в приграничных узлах в соответствии со значениями ukm , вычисленными в узлах сетки. Анализ полученных результатов Расчеты были проведены в диапазоне изменения параметра нелинейности n от 0.4 до 1.0. Результаты вычислений представлены на рис. 2 - 5 и табл. 1 и 2. В результате решения системы уравнений (11) методом Ньютона, были получены значения С1 и А , которые представлены в табл. 1. Постоянная С1 представляет собой значение координаты x2, где касательное напряжение т12 обращается в ноль. Полученные профили представлены на рис. 2. В случае n = 0.5 найденный профиль скорости согласуется с результатом, представленным в [10]. Это согласование показано на рис. 3. Таблица 1 Значения С1, A n Q A 0.4 0.37 3.41 0.6 0.35 4.10 0.8 0.34 4.96 1.0 0.33 6.00 Рис. 2. Профили составляющей скорости u1 (х1 = 0) для n = 1.0,0.8,0.6,0.4 Рис. 3. Сравнение профиля составляющей скорости u1 (х1 - 0) с данными [10] для n - 0.5 Рис. 4. Зависимость нормы скорости M от числа элементов N при n - 0.4 для S / H - 1, 2, 3, 4 Для решения задачи о циркуляционном течении степенной жидкости в шнеко-вом канале с учетом влияния боковых стенок был использован непрямой метод граничных элементов, описанный выше и успешно примененный для решения задачи о течении степенной жидкости в квадратной каверне [9]. Для исследования аппроксимационной сходимости метода использовалась величина M, которая является нормой L2 профиля скорости в сечении x = 0 : M = ||

Скачать электронную версию публикации