On boundary properties of spatial non-homeomorphic mappings with an s-averaged characteristic.pdf Теорема Иверсена - Цудзи доказана для случая n = 2 в [1]. Для n > 3 в [2] дано ее обобщение для квазирегулярных отображений на случай, когда для особого множества I выполняется равенство Cap I = 0. В работе [3] М.А. Лаврентьев высказал несколько утверждений, касающихся специфики пространственного случая. Одно из них - о стирании особенностей меньшей размерности при квазиконформном отображении шара. К настоящему времени этот вопрос для гомеоморф-ных квазиконформных отображений в работах Ю.Г. Решетняка, В.А. Зорича, Б.В. Шабата, В.М. Миклюкова, J. Vaisala, O. Martio, S. Rickman исследован, когда f - гомеоморфизм или когда Cap I = 0. Для негомеоморфных квазирегулярных отображений в работе Е.А. Полецкого [4] и в работе [5] приведены примеры, которые показывают, что существуют неустранимые особенности, для которых Лр (I) ф 0 при некотором Рф 0, и пример, опровергающий гипотезу, что для особого множества I, для которого Ла (I) = 0, где а < n - 2 , либо точки I устранимы, либо ёмкость непринимаемых значений равна нулю. Для негомеоморфных отображений с s-усредненной характеристикой [6] нами построен пример [5], показывающий, что изолированная особенность в классе с Kj, s, KO s -усредненной характеристикой, вообще говоря, не является устранимой. Напомним некоторые необходимые нам определения. Пусть I = [a, b], -да < a < b < , - отрезок на М1. Если кривая у спрямляема, то кривую в назовем подкривой кривой у, для случая если I = [tj,t2], где a < tx < t2 < b . Известно, что для кривой Жордана [4,7] величина l(у) = sup lф), где sup берется над всеми такими подкривыми в кривой у, называется длиной у. Определение 1 [4]. Пусть f: D ^D' - открытое, непрерывное, изолированное отображение. Если у - кривая в f(D), то поднятием у в D называется кривая yeD, такая, что f ° у = у . Частичным поднятием у назовем поднятие ее дуги. Два частичных поднятия yi и у2 кривой у называются существенно различными, если Л\ (уюу2) = 0, где Л\^) - одномерная мера Хаусдорфа множества s. Рассмотрим счетное покрытие {Ei}, i = 1,2,..., множества E открытыми множествами Ei, такими, что d (Ei) < r, r > 0 . Пусть Ла (E) = inf ^ d(Ei )а , где inf берется над всеми такими покрытиями. i Тогда Ла является убывающей функцией от r, а величина Ла (E) = lim Лга (E) наr зывается а -мерной мерой Хаусдорфа множества E. Говорят, что отображение f принадлежит классу ACL(U), U е М™, если оно непрерывно в U и абсолютно непрерывно на почти всех отрезках из U, параллельных осям координат. Известно, что если f е ACL(U), то оно имеет почти всюду в U частные производные. Если, кроме того, эти частные производные принадлежат Lp(U), p > \, для любой области U с U , то мы будем писать f е ACLp(U) [8]. Обозначим через N(x, f) кратность ветвления отображения f в точке x ([\3, с. 40, (2.\)], [8, с. 262]). Если A - компактное подмножество U, то cap (A,U) - нижняя грань 11 Vm |n dV по всем непрерывным функциям класса W\(U), равным 0 на dU и \ U на A. Хорошо известно [\3], что равенство cap (A,U) = 0 не зависит от U и поэтому можно писать cap A = 0 [4]. Пусть Г - некоторое семейство кривых в Ж.n. Определение 2. Неотрицательную борелевскую функцию р: Mn ^ М1 [7, \0] г dl назовем допустимой метрикой семейства Г , если I pdуx > \, где dуx =-, Y \ + 1 Х| для каждой кривой уе Г . В дальнейшем, как и в [7], будем обозначать допустимость метрики рлГ . Определение 3. Сферический модуль порядка p семейства Г, где p е N , для dx удобства обозначим МП (Г) и определим по формуле Мп (Г) = inf I рp (x)---, p p in (\ + H2)n где inf берется над классом всевозможных метрик рлГ . Наиболее важным явля Mn (Г) = M (Г) = inf |pn (x) dx ется случаи, когда p = n , и мы полагаем (\ + 1 x|2)n Для неотрицательной функции f: Rn ^ R , f (x) = \/(\+|x|2)n, где | x |2 = x\2+ x22+...+ xn2, в [6] доказано, что для любого n е N, n < да , выполнено n+\ J =1 f(x)dx = J d 1 2B 2a + 1j к3 Основная особенность этого отображения такова - f является топологическим отображением в достаточно малой окрестности всякой точки - g М1 и не будет топологическим ни в какой окрестности произвольной точки - е М1. Приведем еще один пример, показывающий, что в отличие от отображений с ограниченным искажением, у которых конечны интегралы J К^(-, f) |J(-, f )| dст - и J KO (-, f )dст - , ограниченность кратности и степени к3 к3 на компактах, вообще говоря, не имеет места (в случае плоскости аналогичный пример построен в [12]). Приводимые ниже построения являются модификацией конструкции закручивания вокруг оси из примера 1 и примера из монографии [13]. Пример 2. В пространстве Кп, п > 3, рассмотрим область D, точки - = (-j,..., -п-2, -п-1, -п) которой удовлетворяют условию |-J < 1,..., |-п_2| < 1, -2 + -2 < 1. п-1 п В области D зададим отображение f: D ^ Кп , полагая f (-) = -, если -2 + -2 = 0. Если же -2 + -2 Ф 0, то пусть - , = r cos ф, -п = r sin ф , где п-1 п п-1 п п 1 п r = sj-21 + -2 , 0 1 раз. Для каждого натурального m можно выбрать компакт F и число r > 0 так, чтобы шар радиуса r с центром на Dn-2 лежал в F и целая часть числа rp была бы не меньше m. Это означает, что ограниченность на компактах кратности отображения f не имеет места. Поскольку J(x, f) > 0 при x е D \ Dn-2, то N(y, fD) = ц(y, f, G) для всякой подобласти G, G с D , и y g f (dD), y = (yi, y2,..., yn_2, yn_i, yn), + yl * 0. Следовательно, ограниченность на компактах степени отображения f также не имеет места. Пусть а>0 и р>0 - произвольные числа. Убедимся, что можно подобрать p < 0 так, чтобы J Kf (x, f) J(x, f )| dax 0. Тогда M ns (Г*,I0) = 0 в том и только в том случае, когда s-1 M^ Г*( A, 10) = 0. s-1 Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Обобщая теорему 2 [4], рассмотрим r-окрестность множества I, такую, что capG > 0, где G = A П (U \ I2r). Возьмем функцию р* (f (x)), допустимую для семейства Г*( A, I0), причем J p*f 1 d ст где е - некоторое число. По условию M ns r*(A,I0) = 0 , следовательно, е можно s-1 выбрать сколь угодно малым. Зададим функцию р на U \ I следующим образом: Г s-1 р*( f (x)) L( x, f) (1 + | x|2 ) x е f (U \ I), р( x) = (1 + | f (x)|2 ) s 0, x g f (U \ I). Обозначим через As множество точек x edIr, для которых найдутся асимптотические поднятия у, обладающие следующими свойствами: 1) образ у принадлежит Г*(A, I0); 2) дуга у' кривой у, соединяющая G с точкой x, лежит в U \ Ir/2; 3) Jpds < уг . у' В силу допустимости функции р* (f (x)) аналогично теореме 1 можно доказать, что функция р на U \ I также допустима для семейства, состоящего из поднятий кривых из Г*( A, I0), и поэтому для любой кривой y1, идущей из x е Ae в I0, будем иметь J р(x)dуx > ^, если f о yj е r*(I0). У1 Пусть функция кратности N = N (u \ Iу) и Ds=dIr \ As. В силу определения множества Ds для любой кривой ус U \ I>, соединяющей G и Ds, будем иметь /> |pdуx > , а тогда, используя теорему 2.2 [13], теорему \ и наши допущения, s-1 получим dx M(T(G,De)) < N(U \Ir/2) | 2p(x))n (1 + 1 x|2) n( s-1) , (p*( f (x)) )n Ln (x, f) J s (x, f) (\ + |x|2 ) :2nN (U \ I) f -----:-;-V '-dx < n(s-1) s-\ (\ + | f (x)|2 ) s J s (x, f) (\ + |x|2 ) s-1 f (р*(у))s-1 J s (x, f )dx f < 2nN(U \I) U\I 1 + (1 + | f (x)|2 )n 2nN (U \ I)f (p«(.y)^nT day U \ I V s-1 U \ I Lns (x, f) (1 + | x|2 ) dx Js-1( x, f) (1 + | x|2 )ns f KO (x, f) J (x, f) dx (1 + 1 x|2 )) = 2nNs Klss', s-1 где s' = cs s , c - постоянная. Возьмем две последовательности: s-1 ( s-1 А" 2*+n pN s K*Q s с • 2*+npN s K*Q s Перейдем теперь к семейству асимптотических кривых для x е I0 и capA > 0. Для этих кривых существуют поднятия, идущие из As в I0. Как уже доказано, 1 - ns „n i \2 сферический модуль этого семейства порядка - меньше, чем 2 (KO ) s, в s -1 v , ! силу того, что р*(у) допустима для Г*(!0) и интеграл по таким кривым от функ- 1 * -2 ции р* больше ^ (kos ) n . Рассмотрим семейство множеств Ap = UAg и Dp = ПDs = dIr \ Ap и семейство асимптотических поднятий, соединяющих Dp и G в U \ Ir /. Тогда получа ем, что для сферического модуля этого семейства выполняется равенство s-1 M (г |Dp, G, U \ Iy I) = lim 2nN s K* sek = 0, а так как для рассматриваемого нами модуля доказано свойство 2 [9] Лад Л ад mp ЦТ 5 > 0 . С другой стороны, подs-1 нятие у кривой у* е г(F, у*) выходит либо на dU, либо на J. Во втором случае кривая у* е Г* и модуль семейства таких кривых есть нуль в силу теоремы 2, а модуль кривых, которые выходят на dU , как следует из теоремы 1, стремится к нулю. Следовательно, f продолжается на J непрерывно. В последнее десятилетие XX века и до настоящего времени интенсивно изучаются различные отображения с конечным искажением, обобщающие квазирегулярные отображения. Здесь модульная техника играет ключевую роль. Профессор О. Мартио предложил следующую общую концепцию - теорию Q-гомеомор-физмов, так называемые ^-отображения [18-21]. Отображения с s-усредненной характеристикой - негомеоморфные пространственные отображения, являются естественным обобщением класса отображений с искажением, ограниченным в среднем на случай произвольной области D с Мп, п > 3 . В то же время теорема об оценке модуля, доказанная в [6], указывает на непосредственную связь исследуемых нами отображений с вышеназванными классами ^-отображений [19-20].

Скачать электронную версию публикации