Investigation of the prolate ellipsoidal particle motion in a swirling flow.pdf В пылеочистительной технике большое распространение получили циклоны различных конструкций, однако принцип их работы одинаков и основан на использовании центробежной силы [1 - 3]. При центробежном разделении выбросу придается вращательное движение внутри циклонного аппарата, при этом твердые частицы отбрасываются центробежной силой на периферию аппарата к его стенке, так как центробежное ускорение в циклоне на несколько порядков больше ускорения силы тяжести, что позволяет удалить из выброса даже весьма мелкие частицы [4]. Для определения эффективности сепарации необходимо учитывать, помимо условий работы, свойства разделяемой смеси, дисперсность твердых частиц, вязкость дисперсионной среды, разницу плотностей разделяемых фаз, концентрацию вещества в жидкой фазе. Отметим, что подавляющее большинство публикаций относится к изучению процессов разделения частиц сферической формы [5 - 9]. Однако в реальных ситуациях форма частицы может существенно отличаться от сферической. В результате распределения скорости жидкости и давления вблизи сферической и несферической частицы будет различным. И, как следствие этого, силы гидродинамического сопротивления, действующие на несферическую частицу, будут отличны от сил, действующих на частицу сферической формы. Это, в свою очередь, приведет к изменению траекторий движения частиц в аппарате и повлияет на се-парационные характеристики. Целью работы является исследование движения в закрученном потоке неизометрических твердых частиц, имеющих форму вытянутого эллипсоида вращения. Поле течения жидкости Рассмотрим движение жидкости в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрами разного размера. Оба цилиндра могут как вращаться с постоянными угловыми скоростями, так и покоиться. Поскольку рассматриваемое течение жидкости можно считать плоским и осесимметричным, то уравнения гидродинамики в цилиндрических координатах примут вид [10] = o, = рД. (1) dr r d_ dr r з ± | dr 1 r Здесь r - радиальная координата; у/ф - тангенциальная скорость жидкости; рг -плотность жидкости; p - давление. В качестве граничных условий используются условия прилипания на стенках: r = ri : Чф = ЮГ , r = re : Чф= ЮеГе . (2) В уравнениях (2) ri, re - радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно roi, юе - угловые скорости их вращения. Проинтегрировав уравнение (1) с граничными условиями (2), получим радиальное распределение тангенциальной скорости жидкости: v = fflere2 - ю iri г re ri Юе - Ю (3) v^= 2 2 r - 2 - • (3) r - r r - r r e i e i Если внешний и внутренний цилиндры вращаются с одной угловой скоростью юе = rai = ю , то распределение тангенциальной скорости соответствует закону вращения твердого тела vkp = юг . Уравнения движения частицы При движении частицы в потоке жидкости или газа на нее действует сила сопротивления со стороны несущей среды. Если вектор скорости частицы направлен в сторону большей полуоси эллипсоида или перпендикулярно ей, то сила сопротивления будет направлена в сторону, противоположную вектору скорости [3]. Если частица движется в направлении, перпендикулярном большей полуоси эллипсоида, то и в этом случае вектор скорости и вектор силы сопротивления будут направлены в противоположные стороны. При этом величина силы сопротивления в первом и втором случае будет различной. Если же вектор скорости центра масс частицы направлен под углом к главным осям эллипсоида, то векторы скорости и силы сопротивления перестают быть коллинеарными. Величина силы сопротивления будет определяться скалярным произведением тензора сопротивления К и вектора скорости частицы относительно несущего потока: Fd = -бпцаК •( vt - v p ), (4) где ц - вязкость несущей среды, a - характерный размер частицы, v{ - скорость несущего потока, v p - скорость частицы. В декартовой систем координат с использованием индексной формы записи и соглашения о суммировании Эйнштейна уравнение (4) может быть записано в виде FDi = -6n^aKy (vj - vp} ) . (5) В случае сферической симметрии все 3 диагональные компоненты тензора сопротивления будут равны между собой и закон сопротивления естественным образом переходит в хорошо известный закон Стокса. В том случае, если частица является ортотропной, т.е. имеет 3 взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, то тензор сопротивления в главных осях характеризуется главными значениями Кь К2 и К3. В случае осевой симметрии две из трех диагональных компонент тензора будут равны между собой, что имеет место для эллипсоида вращения [3]: 3/2 Re К = (6) 18 (в1 - 1 C (ip1 - i)in (p+V(I Н^1! (в1 -1) C К1 = кз = (7) Re (ip1 - 3)ln(p^(p2 -1) ) + P^/(p2 -1) где CD - коэффициент сопротивления твердой сферической частицы, р = b/a характеризует отношение полярного и экваториального диаметра частицы. Формулы (6), (7) справедливы для вытянутых эллипсоидов вращения р> 1. Коэффициент сопротивления одиночной твердой частицы CD в простейшем случае является однозначной функцией относительного числа Рейнольдса Re = р\vj -vp\dIц . В качестве характерного размера, необходимого для построения числа Рейнольдса, можно использовать эффективный диаметр частицы, равный диаметру сферической частицы того же самого объема. Для вытянутого эллипсоида вращения эффективный диаметр частицы равен d = 1a # . При низких числах Рейнольдса Re < 1 коэффициент сопротивления сферической частицы определяется формулой Стокса: CD = 14/Re. В переходной области кривая сопротивления описывается различными формулами. В частности, стандартную кривую сопротивления можно аппроксимировать степенными зависимостями Бабухи -Шрайбера [11]: CD = A Re-" . Значения параметров в диапазоне изменения числа Рейнольдса 1 < Re < 10 равны: A = 16.3, " = 0.8 . Для чисел Рейнольдса, лежащих I в диапазоне 10 < Re < 1000 рекомендуется ис пользовать следующие значения [12]: A = 11.3, " = 0.5 . При Re > 103 картина обтекания стабилизируется, что в первом приближении приводит к независимости CD от Re : CD = 0.44 . Последнее соотношение известно как закон сопротивления Ньютона. Движение частицы в закрученном потоке удобно рассматривать в цилиндрической системе координат с базисными векторами er, еф, ez. Построим единичный вектор n, направление которого совпадает с направлением большей полуоси частицы. Тогда ориентацию частицы в пространстве можно задать через Рис. 1. Ориентация частицы в потоке углы прецессии у и нутации е (рис. 1). Fig. 1. Particle orientation in the flow Предполагается, что в процессе движения частицы углы у и 6 остаются неизменными. Последнее возможно при стабилизации заряженной частицы электромагнитным полем [13]. При таком выборе координат компоненты тензора сопротивления определяются следующим образом: Krr = ( - K2)cos2 у • sin2 6 + K2, Кфф = (K - K2) sin2 у • sin2 6 + K2, Kzz = (K - K2 )cos2 6 + K2, Knp = 1( - K2 )sin(2у) • sin2 6 , Krz = 1 ( - K2 )cosу sin(26), K^ = 2( - K2 )sinу sin(26). С использованием теоремы об изменении количества движения скорость центра масс частицы может быть найдена из решения системы дифференциальных уравнений: % = 2 П [ Krz ( - Vpr ) + K^ ( - Vpф) + Kz ( - VpZ )] p~pl) g $ (8) at 2 ppa Pp = fn-^ [K„( - Vpr )+ Kфф (( - Vpф) + K„(vb - Vpz)]-] $ (9) at 2 ppa r ^ = 2 П^ [ Krr ( - Vpr ) + Vpф) + KrZ (Viz - V, ^.(10) dt 2 p pa Pp r Для определения траектории центра масс частицы используются кинематические соотношения [14] drp dzp d Ф p (11) V =-- V =-- V = r -- (11) pr dt' pz dt ' pф p dt ' K ' Система уравнений (7 - 10) замыкается начальными условиями t = 0 : Vpz = Vpz0 , Vpr = Vpr0 , VРФ = ^Ф0 , zp = zp0 , rp = rp0 , фp = фp0. Анализ результатов Рассмотрим движение эллипсоидальных вытянутых частиц в закрученном потоке. Движение мелких частиц относительно несущей жидкости достаточно мало. В результате этого самые мелкие частицы движутся по винтовой траектории практически по цилиндрической поверхности. Крупные частицы, оттесняемые центробежной силой, движутся к стенкам внешнего цилиндра по конической поверхности. С увеличением скорости вращения внешнего цилиндра число витков, увеличивается, шаг винтовой линии уменьшается. С увеличением угловой скорости вращения цилиндров происходит рост значений центробежной силы, которая интенсифицирует радиальное движение частицы к внешнему цилиндру. В результате происходит увеличение угла конусности. На рис. 2 показаны траектории частицы для различных значений угла нутации. Из рисунка видно, что в зависимости от ориентации частицы в пространстве возможно как ее восходящее, так и нисходящее движение. 0,3 -0,3 Рис. 2. Траектории движения вытянутых эллипсоидальных частиц: d = 10-4 м, в = 10 , ю, = юе = 10 рад/с; у = 0, 1 - 0 = 60° , 2 - 75°, 3 - 90°, 4 - 105°; 0,110 0,105 0,100 0,095 0,090 0,085 2 n Fig. 2. Motion trajectories of prolate ellipsoidal particles: d = 10-4m, P = 10, ю, = юе = 10rad/s; y = 0, 1 - 0 = 60° , 2 - 75°, 3 - 90°, 4 - 105° Такое движение объясняется особенностями действия на частицу силы сопротивления. Сила сопротивления, действующая на эллипсоидальную частицу, со стороны несущей жидкости характеризуется наличием горизонтальной и вертикальной составляющих. Горизонтальная составляющая силы сопротивления для тяжелых частиц, плотность которых превосходит плотность несущей среды, направлена к оси симметрии. Направление вертикальной составляющей силы сопротивления зависит от ориентации частицы в пространстве. Влияние угла нутации 0 на движение частицы представлено на рис. 3, где показаны меридиональные проекции траектории, определенные для различных значений угла нутации. Для значений угла 0

Скачать электронную версию публикации