Вполне транзитивные, транзитивные абелевы группы и некоторые их обобщения | Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. № 4(42).

ГлавнаяАрхивВполне транзитивные, транзитивные абелевы группы и некоторые их обобщения | Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. № 4(42).

Вполне транзитивные, транзитивные абелевы группы и некоторые их обобщения

При исследовании абелевых групп большое значение имеет свойство гомоморфизмов, отображающих подгруппы данной группы в саму группу, - продолжаться до эндоморфизма всей группы. Так, например, (вполне) транзитивные группы без кручения можно определить как группы, в которых все (гомоморфизмы) сохраняющие высоты элементов гомоморфизмы из любой сервантной подгруппы ранга 1 в саму группу продолжаются до (эндоморфизмов) автоморфизмов всей гуппы. Приведены некоторые эквивалентные условия выполнимости свойств для группы быть (вполне) транзитивной, эн-дотранзитивной или слабо транзитивной. Рассмотрены связи между этими понятиями. Известно, что прямое слагаемое вполне транзитивной группы будет вполне транзитивной группой. Существуют транзитивные р-группы, которые имеют нетранзитивное прямое слагаемое. В то же время остаётся открытым вопрос: «Замкнут ли класс транзитивных групп без кручения относительно взятия прямых слагаемых?» Предлагаются некоторые необходимые и достаточные условия, при которых прямое слагаемое произвольной транзитивной группы будет транзитивной группой. Хорошо известен критерий Корнера о (вполне) транзитивности редуцированной р-группы. Ниже данный результат обобщается на произвольные редуцированные абелевы группы.

Fully transitive, transitive abelian groups and some their generalizations.pdf Термин (вполне) транзитивность был введен И. Капланским в [1] при исследовании модулей над полным кольцом дискретного нормирования. Впервые вполне транзитивные абелевы группы без кручения изучались в работе П. А. Крылова [2] (он называл эти группы транзитивными). Определение (вполне) транзитивной произвольной абелевой группы было введёно Ю.Б. Добрусиным в [3]. Описание (вполне) транзитивных групп остается до сих пор открытым вопросом, хотя исследования, связанные с этими объектами, постоянно ведутся. Так (вполне) транзитивные периодические группы рассматривались в работах [4-13]; без кручения - в [2, 3, 14-24] ; смешанные - в [25-29]; слабо транзитивные группы без кручения - в [30-32]; В данной статье показываются некоторые связи между этими понятиями, даются некоторые эквивалентные условия выполнимости свойств для группы быть (вполне) транзитивной, эндотранзитивной или слабо транзитивной. В [33] вводятся коммутаторно и стого коммутаторно вполне транзитивные абеле-вы группы, изучаются их свойства и показываются связи с вполне транзитивными группами. В [34, 35] рассматриваются (вполне) транзитивные модули. В работе [4] Корнер рассматривает следующее понятие: пусть Ф - подкольцо с единицей кольца E(G), и H есть Ф-инвариантная подгруппа редуцированной р-группы G, тогда он говорит, что Ф действует (вполне) транзитивно на H, если для любых x,yеH, таких, что (UG(x)

Ключевые слова

абелева группа, (вполне) транзитивность, эндотранзи-тивность, слабая транзитивность, автоморфизм, abelian group, (fully) transitive, endotransitive, weakly transitive, automorphism

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Мисяков Виктор МихайловичТомский государственный университетдоцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры механико-математического факультетаmvm@mail.tsu.ru
Всего: 1

Ссылки

Kaplansky I. Infinite abelian groups. Ann. Arbor: Michigan, 1954.
Крылов П.А. О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения // Сборник аспирантских работ по математике. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1973. С. 15-20.
Добрусин Ю.Б. О продолжениях частичных эндоморфизмов абелевых групп без кручения, II // Абелевы группы и модули. Томск: Изд.-во Том. ун-та, 1985. Вып. 5. С. 31-41.
Corner A.L.S. The independence of Kaplansly's notions of transitivity and fully transitivity // Quart. J. Math. Oxford. 1976. V. 27. No. 105. P. 15-20.
Carroll D., Goldsmith B. On transitive and fully transitive abelian p-groups // Proc. Royal Irish Academy. 1996. V. 96A. No. 1. P. 33-41.
Danchev P.V., Goldsmith B. On socle-regularity and some notions of transitivity for Abelian p -groups // J. Commut. Algebra. 2011. V. 3. No. 3. P. 301-319.
Files S., Goldsmith B. Transitive and fully transitive groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1998. V. 126. No. 6. P. 1605-1610.
Goldsmith B., Strungmann L. Some transitivity results for torsion Abelian groups // Houston J. Math. 2007. V. 33. No. 4. P. 941-957.
Griffith P. Transitive and fully transitive primary abelian groups // Pacific J. Math. 1968. V. 25. No. 2. P. 249-254.
Hill P. On transitive and fully transitive primary groups // Proc. Am. Math. Soc. 1969. V. 22. No. 2. P. 414-417.
Paras A., Strungmann L. Fully transitive p-groups with finite first Ulm subgroup // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. V. 131. P. 371-377.
Danchev P., Goldsmith B. On projectively fully transitive Abelian p-groups // Results Math. 2013. V. 63. Issue 3. P. 1109-1130.
Meggiben C. A nontransitive, fully transitive primary group // Journ. Algebra. 1969. V. 13. P. 571-574.
Добрусин Ю.Б. О продолжениях частичных эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Томск: Изд.-во Том. ун-та. 1986. Вып. 4. С. 36-53.
Крылов П.А. Некоторые примеры квазисервантно инъективных и транзитивных абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. 1988. С. 81-99.
Крылов П.А. Вполне транзитивные абелевы группы без кручения // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. № 5. С. 549-560.
Гриншпон С.Я. О строении вполне характеристических подгрупп абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. 1982. C. 56-92.
Чехлов А.Р. Вполне транзитивные группы без кручения конечного р-ранга // Алгебра и логика. 2001. Т.40. № 6. C. 698-715.
Chekhlov A.R., Danchev P.V. On abelian groups having all proper fully invariant subgroups isomorphic // Communications in Algebra. 2015. V. 43. Issue 12. P. 5059-5073.
Чехлов А.Р. О разложимых вполне транзитивных группах без кручения // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 3. С. 714-719.
Gobel R., Shelah S. Uniquely Transitive Torsion-free Abelian Groups. URL: http://www. arXiv:math/0404259 (дата обращения: 02.04.2016).
Hausen J. E-transitive torsion-free abelian groups // J. Algebra. 1987. V. 107. P. 17-27.
Dugas M., Shelah S. E-transitive groups in L // Contemp. Math. 1989. V. 87. P. 191-199.
Чехлов А.Р. Об одном классе эндотранзитивных групп // Матем. заметки. 2001. Т. 69. № 6. C. 944-949.
F1les S. On trasitive mixed abelian groups // Abelian Group Theory: Proceedings of the International Conference at Colorado Springs. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. 1996. V. 182. P. 243-251.
Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность // Фундам. и прикл. мат. 2002. Т. 8. Вып. 2. С. 407-473.
Гриншпон С.Я., Мисяков В.М. О вполне транзитивных абелевых группах // Абелевы группы и модули. 1986. C. 12-27.
Гриншпон С.Я., Мисяков В.М. Вполне транзитивность прямых произведений абелевых групп // Абелевы группы и модули. 1991. C. 23-30.
Мисяков В.М. Вполне транзитивность редуцированных абелевых групп // Абелевы группы и модули. 1994. С. 134-156.
Goldsm1th B., Strungmann L. Torsion-free weakly transitive abelian groups // Communications in Algebra. 2005. V. 33. P. 1177-1191.
Meehan C., Strungmann L. Rational rings related to weakly transitive torsion-free groups // Journal of Algebra and Its Applications. 2009. V. 8. No. 5. P. 723-732.
Чехлов А.Р. Слабо транзитивные E-энгелевы абелевы группы без кручения // Матем. заметки. 2013. Т. 94. Вып. 4. С. 620-627.
Chekhlov A.R., Danchev P.V. On commutator fully transitive Abelian groups // J. Group Theory. 2015. V. 18. P. 623-647.
F1les S. Transitivity and full transitivity for nontorsion modules // J. Algebra. 1997. V. 197. P. 468-478.
Hennecke G., Strungmann L. Transitivity and full transitivity for p-local modules // Archiv der Mathematik. 2000. V. 74. P. 321-329.
Крылов П.А., Михалёв А.В., Туганбаев А.А. Связи абелевых групп и их колец. Томск: Томский государственный университет, 2002. 464 c.
Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. T. I. 335 с.
Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир. 1977. T. II. 416 с.
Вполне транзитивные, транзитивные абелевы группы и некоторые их обобщения | Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. № 4(42).

Вполне транзитивные, транзитивные абелевы группы и некоторые их обобщения | Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. № 4(42).