On solutions of the Monge - Ampere equation with power-law nonlinearity with respect to first derivatives.pdf 1.Постановка задачи Рассмотрим уравнение Монжа - Ампера с нелинейной правой частью следующего вида: (1) Здесь g (u) - некоторая заданная функция, рьр2 - вещественные параметры. Для нахождения решений уравнения (1) будем использовать функциональное разделение переменных [5] аддитивного типа, т.е. решения этого уравнения будем искать в виде u(х,y)-U(z); z - X (х) + Y (y), (2) (3) где U(z),X(x),Y(y) - неизвестные функции, которые должны быть определены в дальнейшем. Подстановка выражений (2), (3) в уравнение (1) после некоторых преобразований дает [U' (z)]2 X" (x)Y" (y) + U' (z )U" (z ){X" (x)[Y' (y)]2 + [X' (x)]2Y" (y)j = = g(U)[U'(z)] [X'(x)f [Y'(y)]. (4) Здесь и далее всюду рЕ =р1 +р2. Рассмотрим решения уравнения (4) для частных случаев, когда одна из неизвестных функций U (z), X (x),Y (y) является линейной. 1. Y (y) = c2y. Тогда указанное уравнение принимает вид U'(z)[U'(z)]1-fa cP,-2 [X' (x)]1 (5) g(U) 2 X"(x) Уравнение (5) продифференцируем почленно по y , откуда следует уравнение для U (z): U" (z )[U' (z )]1-fe (6) -1-i-=a , (6) g (U) ' V ' где a - некоторая постоянная. Учитывая (6), из (5) получаем уравнение для X(x): X " (x) cP2-2 [X' (x)]1 " a = A , A . (7) Решение уравнения (7) выражается следующими формулами: при Р1 =1: X(x)=X0 + X1 exp(A1 x); (8) при Р1 = 2 : X(x)=Xо --Un(x-xo); (9) A1 при р1 Ф1, р1 Ф 2: X (x)=Xo + V-( x - xo)e, (10) r - 2 _L где e=^-, V ={{1 -P1)A-1 j 1-p1; X0,X1 - произвольные постоянные. P1 -1 Для нахождения функции U (z) используем уравнение (6). Умножив это уравнение почленно на U' (z), запишем его в виде U"( z)[U '(z )]2-fe=adG(U), (11) dz где G(U) = |g(U)dU . Далее рассмотрим частные случаи. Случай а). PE Ф3. Понизив порядок уравнения (11), приводим его к уравнению первого порядка: [U'( z)]3-fe -а(3-рЕ )G(U) - A , (12) где A - произвольная постоянная. Уравнение (12) сводится к уравнению с разделяющимися переменными, решение которого можно записать в неявной форме: - С_du_ Z-Z0 [а(3-ре)G(U)+A]). ( ) Здесь и всюду далее z0 - произвольная постоянная. Случай б). РЕ -3. Тогда уравнение (11) принимает вид UH-a|G(U). .4) Понижая порядок уравнения (14) и решая полученное уравнение первого порядка, находим решение в неявной форме: Z - Z0 для pE Ф3; A|exp(-aG(U))dU . (15) Учитывая выражение (3), окончательно получаем следующие решения в неявной форме для случая линейной зависимости от переменной y : X(x) + ^y - Z0 - I----,(3 R ) (16) [a(3 -pE )G(U) + A](3-Pe) X(x) + c2y - z0 - A|exp(-aG(U))dU (17) для PE -3. Функция X(x), входящая в (16) и (17), определяется одним из выражений (8), (9) и (10) в зависимости от значения Pj. Для некоторых простейших случаев из (16) и (17) можно получить решения уравнения (1) в явном виде. Пусть g (u) - g0 - const, т.е. уравнение (1) не содержит явно искомой функции. Тогда, вычисляя интегралы в (16) и (17), получим следующие решения: 1) при ре- 2: u (x, y) - U 0 exp[ag0 (X (x) + ^ y)], где U0 - новая произвольная постоянная; 2) при PE- 3: u(x,y)---ln(((x) +c2y-Z0); ag0 3) при рЕФ2, рЕФ3: 1 3-fe u(x,y) =-о >g0(2 -Ps )X(x) + c2y- z0)] . ag0(3 -Pi ) Проводя аналогичные рассуждения, можно получить решения, аналогичные приведенным выше, для случая линейной зависимости X (x) = c1 x. 2. U (z) = z В этом случае уравнение (4) можно привести к виду {[X'(x)]-e1 X" (x)j-{[Y'(y)]-P2 Y" (y)j = g(U). (18) Далее, введем обозначения [X' (x)]-P1 X" (x) = ф(x) , [Y'(y)]-P2 Y" (y) = y(y), с учетом которых (18) принимает вид ф( x)^(y) = g (z) (18а) Логарифмируя (18а) и дифференцируя полученное соотношение по x и по y , с учетом (3) получаем d2 -Ing (z) = 0 . dz откуда находим g(z) = g0 exp(Xz). (19) Из (18) и (19) следуют уравнения для функций X(x), Y(y): [X'(x)]-P1 X " (x) = 4exp(*X), [Y' (y )]-P2 Y''(y)=A2exp(XY), где A1, A2 - некоторые постоянные, связанные соотношением A1A2 = g0. а) X = 0. Тогда первое из уравнений (20) совпадает с уравнением (7), поэтому его решение определяется формулами (8), (9) и (10). Второе из уравнений (20) также с точностью до обозначений совпадает с (7), поэтому выражения для Y(y) получаются из (8), (9) и (10) путем замены x ^ y, X0,X1 ^ Y0, Y1, A1 ^ A2, P1 ^2 . б) Хф0. В этом случае решение первого из уравнений (20) можно записать в неявном виде |T(X exp(AX) + B1) 1/(P1-2)dX при р1 Ф 2, x - x0 = 1 г ч (21) [ B1J exp(X exp(AX))dX при Р1 = 2, где B1 - произвольная постоянная A ={A1(2-ftyX при Р1 Ф 2, AjX при р1 = 2. Аналогичный вид имеет решение для второго уравнения (20). 2. Общий случай уравнения Монжа - Ампера со степенными нелинейностями В данном параграфе рассмотрим общий случай уравнения (1), причем будем предполагать, что для всех неизвестных функций выполнены условия U'(z) Ф const, X'(x) Ф const, Y'(y) Ф const (22) (альтернативные случаи рассмотрены в предыдущем разделе). Тогда, разделив почленно уравнение (4) на U'(z)U"(z)X" (x)Y" (y) , преобразуем его к виду U'(z) + [X' (x)]2 + [Y' (y)]2 - g(U)[U'(z)]fe-1 [X'(x)]1 [Y'(y)f2 (23) U"(z) X"(x) Y"(y) U"(z) X"(x) Y"(y) . Уравнение (1) допускает разделение переменных, если каждая из функций U (z), X (x),Y (y) может быть определена в результате решения некоторого обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). Уравнение (23) может быть сведено к ОДУ относительно U (z) только в том случае, если функции X (x),Y (y) удовлетворяют условиям [М+ЕМ. -ад X^t root-n( z) (24) X"(x) Y"(y) '' X"(x) Y "(y) ' где §(z), n(z) - некоторые неизвестные функции. Дифференцируя первое из уравнений (24) по x и по y , получаем уравнение z) -0. Подставляя его решение §(z) - az + a0 в первое из уравнений (24), получаем [X' (x)]2 WJ,([Y' (y)] - aX (x) (25) -- aY (y) Y "(y) Из (25) следует, что функции X(x),Y(y) должны удовлетворять уравнениям [X' (x)]" X''(x) - - aX (x) + a1; (26а) X''(x) [Y' (y )]2 1 - aY(y) + a2, (26б) Y"(y) 2 где постоянные a1, a2 связаны соотношением a1 + a2 - a0. Аналогичным образом, логарифмируя второе из уравнений (24) и дифференцируя его по x и по y , получаем П( z) - bexp(Xz), (27) где b,X - произвольные постоянные. Подставляя (27) во второе уравнение (24), с учетом (3), находим freT' 6XP(-^X (x))^'^^5?^' exp(-^Y (y))^-b . (28) Из (28) следует вторая пара уравнений, которым должны удовлетворять X(x),Y(y) : [X(x)]1_ - b1exp(^X(x)), (29а) X" (x) [Y'(y )]2 - b exp(XY (y)), (296) Y' (y) причем постоянные b1, b2 связаны соотношением b1 b2 - b . Из приведенных выше рассуждений следует, что функция X(x) должна удовлетворять системе двух уравнений (26а), (29а), а функция Y (y) - системе уравнений (266), (296), причем каждая из этих систем является переопределенной. Из (23) и (24) следует уравнение для функции U (z): Шz) - g(U )[U"( Z)]1E-1 n( Z)-0 U" (z) U" (z) ' или, с учетом выражений для z), n(z): U"(z)(az + a0) + U'(z) -bg(U)[U'(z)]E-1 exp(Xz) -0 . (30) Для нахождения функций X(x),Y(y) рассмотрим системы уравнений (26а), (29а) и (266), (296) соответственно. Исключая X" (x) из системы (26а), (29а), получаем ОДУ первого порядка: X'(x) - (X(x) + q )V1 exp(-X^X(x)), (31) a a1 X X 1 mi \ b1 b1 2-P: 2-P: Из уравнения (31) следует [X'(x)]2 - p1 X(x) + q (32) X"(x) V! (( X(x) + q). Аналогичным о6разом, исключая Y"(y) из системы (266), (296), получаем уравнение: Y'(y)-(p2Y (y) + q2 )V2 exp(-X 2Y (y)), (33) a a2 X 1 где p2 --, q2 --, X2--, v2--. (33а) b2' 42 b/ 2 2-p^ 2 2-P2 V ' Аналогично уравнению (32), из (33) находим [Y'(y)]2 - p2Y(y) + q2 Y"(y) v2 -X2 (p2Y(y) + q2) (34) Используя уравнения (32) и (34), найдем условия совместности систем (26а), (29а) и (266), (296). Сравнивая правые части уравнений (32) и (26а), (34) и (26б), находим, что системы уравнений (26а), (29а) и (26б), (29б) являются совместными в следующих случаях: Случай 1) Х-0, p - ^ - a, q1- - a1, ^ - a2. (35) V V 2 V V2 Из соотношений (35) с учетом (31а) следует, что b1 -2-р1,b2 -2-р2. Функцию X (х) определяем в результате решения уравнения (31): X (х) - k S1( х) - (36) p1 Г 2-ft S1(х)-Г(х-х0)1-в1 при р1 ф 1, (36а) [ exp(p1 х) при Р1 -1. _1_f ^ При этом k1 - p1^11-11 1 в случае Р1 ф1 и k1 - произвольное в случае Р1 -1. V2) Подставив (36) в уравнение (26а), находим a -2-р1. (36б) Аналогичным образом находим функцию Y (y) из уравнения (33): Y (y) - k2 S2(y) - (37) p2 Г 2-Ё! S2(y)- j(y-Ус)1-р2 при р2 ф 1, (37а) [ exp(p2у) при р2 -1. 1-Fi 1-Р? |1-Р2 Здесь k2 - p2 21-I в случае Р2 ф1 и k2 - произвольное в случае Р2 -1. V2 - в2 ) Подставив (37) в уравнение (26б), находим a -2-р2. (37б) Из сопоставления (37а) и (37б) следует, что в рассматриваемом случае решение существует, только если выполняется условие Р1 - Р2 - р . Отсюда с учетом (31а) и (33а) следует, что p1 -p2-1, k1 -k2 -k . Для данного случая уравнение (30) для функции U (z) приводится к виду azU"(z) + U'(z) - bg(U)[U'(z)]fe4 - 0 . (38) a0 При этом использована замена переменной z - z +-0. a Рассмотрим случай, когда g(u) -g0u1, т.е. уравнение содержит степенные нелинейности как по производным, так и по неизвестной функции. Покажем, что в этом случае уравнение (38) имеет частное решение вида U = U0 za . (39) Подставляя (39) в уравнение (38), находим U0 =J_f11 (40) 2р+у-2' 0 bg0 J V ' Тогда из (36), (37) и (39), возвращаясь к старой переменной z, окончательно получаем решение уравнения (1): u(x,y) =U0 ((x) +^2(у))° , (41) где S1(x),S2(y) определяются выражениями (36а), (37а), u0 =U0кa. Рассмотрим решение при особых значениях параметров, определяемых соотношениями Р = 1; (42а) 2р+у-2 = 0. (42б) а) Если выполнено условие (42а), а условие (42б) не выполняется, т.е. Р = 1, уф0 , то решение (41) вырождается в константу u(x,y) = u0 ; б) Если выполнено условие (42б), а условие (42а) не выполняется , то решение (41) не существует; в) Если выполняются оба условия (42а), (42б), то уравнение (1) имеет решение следующего вида: g0 u(x,y) = (X exp(P1 x) + k2 exp(P2y)) йp2, где p1, p2, k1, k2 - произвольные постоянные. Случай 2) a = 0, -4-= a1, -42-= a2. (43) V1 -X1 4 V2-X2 42 Тогда из уравнений (26а) и (29а) с учетом (43) находим функцию X(x); из уравнений (26б) и (29б) с учетом (43) находим функцию Y(у): X(x)=X0 - a1 ln(x - x0) ; (44) Y(y) = Y0 - a2ln(y - У0). (45) Здесь x0, y0 - произвольные постоянные; X0, Y0 определяются выражениями ( (-a )в1-1 ^ 1 ( (-a2)P2-1 ^ (-a1) X 0 =-ln 0 X Y0 = iln 0 X b, При этом уравнение (30) принимает вид a0U"(z) + U '(z) - bg (U )[U '(z)f+P2 -1 exp(Xz) = 0. (46) Таким образом, в данном случае решение (2) содержит функции X(x), Y(y), определяемые выражениями (44), (45) и функцию U(z), являющуюся решением уравнения (46). b2 Случай 3) Pj-р2 - 2, Х-0, a - 0, b1 - a1, b2 - a2 . (47) Тогда уравнение (30) упрощается так: a0U'(z) + U'(z)-bg(U)[U'(z)]3 -0, (48) а функции X(x),Y(y) находим из уравнений (26а) и (26б) с учетом (47). Решая уравнение (48) и опуская промежуточные преобразования, находим [ 1 Y/2 u(x,y)-±a01-I arcsin(w(x,y)) при a0 Ф0,bg0 >0; (49) I bg0 ) u(x,y)-±a0[--1 ln{w(x,y) + 1 + w2(x,y)} при a0 Ф0,bg0

Скачать электронную версию публикации