Stability of a horizontal elastic bar.pdf 1. Устойчивость прямолинейной формы равновесия горизонтального стержня При исследовании потери устойчивости стержня, как правило, предполагается, что стержень вертикальный и невесомый [1-3]. В [4] рассмотрена задача об устойчивости вертикального стержня, находящегося под действием собственного веса. Устойчивость сжатого стержня при наличии поперечной нагрузки рассматривалась в [1-3]. В [1, 2, 5] исследовалась устойчивость сжатого стержня на линейно-упругом основании или в упругой среде, когда его изгибу препятствует распределенная поперечная нагрузка, пропорциональная величине прогибов. В работах [6-14] исследовалось влияние разрушения опор, особенностей приложения нагрузки и особенностей опирания на процесс потери устойчивости. Потеря устойчивости стержня при наличии препятствий изгибу исследовалась в [15-17]. Влияние силы тяжести на критическую силу - в [17-19]. В данной работе исследуется устойчивость упругого прямолинейного горизонтального стержня, сжимаемого силой P, лежащего на абсолютно жесткой плоской поверхности, не допускающей смещения точек стержня вниз, но не ограничивающей их перемещение вверх (рис. 1). y А g P Рис. 1. Горизонтальный упругий стержень на жёстком основании Fig. 1. Horizontal elastic bar on a rigid base Стержень постоянного поперечного сечения с моментом инерции J и площадью поперечного сечения S имеет длину L. Его концы шарнирно закреплены. Один конец неподвижен, а другой смещается по мере укорочения стержня и последующего изгиба. Расстояние между концами стержня обозначено l. На стержень действует сила тяжести, распределенная равномерно с интенсивностью q = pgS по его длине, где р - плотность материала стержня; g - ускорение свободного падения. Действие опор на стержень определяется сосредоточенными силами реакции, а действие горизонтальной опорной плоскости непрерывно распределено по поверхности контакта. Задача является статически неопределимой, реакции опор и жесткой поверхности не могут быть найдены из условий равновесия. При отсутствии опорной плоскости прямолинейная форма равновесия стержня невозможна. Уже в исходном состоянии при нулевом значении сжимающей силы стержень имеет начальную погибь, обусловленную своим весом. Опорная плоскость препятствует прогибу стержня под действием силы тяжести и, в частности, исключает начальную погибь. Стержень может изгибаться только вверх, против действия силы тяжести. Если при отсутствии опорной плоскости сила тяжести увеличивает изгиб стержня, делая изначально прямолинейную форму равновесия невозможной, то при наличии опорной плоскости сила тяжести направлена против прогиба и способствует устойчивости прямолинейной формы равновесия. В процессе сжатия и последующего изгиба стержня его подвижный конец перемещается в направлении действия сжимающей силы. Это перемещение складывается из абсолютной деформации стержня на этапе сжатия, пока форма равновесия остается прямолинейной, и смещения конца изогнутого стержня, приближенно равного разности его длины и проекции на первоначальную ось A = eL + L-l. (1.1) Здесь е = PES - относительная деформация сжатия стержня, E - модуль упругости материала стержня. Принята система координат с центром в подвижном шарнире. Ось Ox направлена вдоль прямолинейной оси стержня в сторону его неподвижного конца, ось Oy направлена вертикально вверх - в сторону смещения точек оси после потери устойчивости. На начальном этапе изгиба, когда прогибы незначительны, можно принять, что кривизна изогнутой оси стержня равна второй производной функции прогиба y(x). Уравнение равновесия моментов преобразуется к неоднородному линейному дифференциальному уравнению четвертого порядка с постоянными коэффициентами: y"" + a2y" = -P; a2 = P/EJ; p = pgS/EZ . (1.2) В соответствии с условиями закрепления, граничные условия запишутся в виде y (0)=y (l) = 0, y"(0) = y"(l ) = 0. (1.3) Дифференциальное уравнение (1.2) соответствует прогибам сжимаемого стержня, находящегося под действием силы тяжести как в случае наличия плоской поверхности, препятствующей прогибам стержня вниз, так и в случае отсутствия такой поверхности. Среди решений данного уравнения, удовлетворяющих граничным условиям (1.3), имеются положительные решения, соответствующие изгибу стержня выпуклостью вверх, и отрицательные решения, соответствующие естественному изгибу стержня вниз при отсутствии опорной плоскости. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения четвертого порядка (1.2) имеет вид RX2 y =---+Cj x+C2 +C3cosax+C4sinax. (1.4) 2a2 Подставляя общее решение (1.4) в граничные условия (1.3) и выражая неопределенные коэффициенты, получим систему уравнений С =-02, C2 =-C3 =p/a4, 2a2 „ . al f В . al aA „ 2sin-I J- sin--+ C4cos- 1 = 0. 2 la4 2 4 2 J . Последнее уравнение системы имеет два решения. В первом случае al Ф 2п и C4 =-pa-4tg(al/2). Коэффициент C4 остается неопределенным, так как неопре-делена длина проекции стержня l. Решение краевой задачи запишется в виде y =-x(l - х)+-в- (1- cosax) + Qsin ax (1.5) 2a a Физическому смыслу данной задачи удовлетворяет только положительное решение. Отрицательное соответствует изгибу стержня под действием сжимающей силы и силы тяжести в случае отсутствия опорной поверхности. Если al п . Для al = п формула (1.5) дает бесконечные прогибы, за счет последнего неограниченного слагаемого. Следовательно, значение al =п соответствует наименьшему значению нагрузки, при котором становится возможной изогнутая форма равновесия горизонтального стержня, лежащего на жесткой поверхности. Это значение может быть найдено по классической формуле Эйлера для длины l: P =п2 Ej/l2. (1.6) Второй случай, когда al = 2п и коэффициент C4 также оказывается неопределенным, соответствует значительно большей продольной нагрузке и выходит за рамки данного исследования. Решение (1.5) не может являться уравнением изогнутой оси стержня, так как, с одной стороны, допускает бесконечные прогибы при значениях al ^я + 0, а с другой - содержит неопределенную величину l. Бесконечность прогибов является следствием неточности линеаризованного дифференциального уравнения, при составлении которого кривизна заменялась второй производной функции прогиба и, кроме того, допускалось неограниченное увеличение длины изогнутого стержня. На самом деле, изменение длины стержня незначительно по сравнению с самой длиной. Полученный результат позволяет сделать следующее заключение: 1) изогнутая форма равновесия стержня, лежащего на жесткой горизонтальной опоре, невозможна при значениях сжимающей силы, меньших, чем соответствующее значение силы Эйлера Pe =п2 Ejjl} ; 2) неограниченность последнего слагаемого в выражении (1.5), при значениях al^я + 0, указывает на то, что остальные слагаемые не играют существенной роли по сравнению с последним. Поэтому выражение (1.5) может быть заменено приближенным равенством У = С sin™. (1.7) Здесь C - неопределенный и неограниченный при al ^п коэффициент. Для определения коэффициента C будем считать, что длина оси стержня не изменяется, то есть из всех возможных кривых, удовлетворяющих уравнению (1.7), выбираем ту, которая удовлетворяет дополнительному изопериметрическо-му условию, выражающему постоянство длины стержня L = jV 1+y'2 dx. (1.8) 0 Здесь у' - тангенс угла наклона касательной к оси стержня. Как и при выводе дифференциального уравнения, ограничимся рассмотрением только тех кривых изгиба стержня, для которых y'(x) Pl, соответствующей перемещению Д, после чего теряет устойчивость и изгибается. До тех пор пока он сжимается, сохраняя прямолинейную форму равновесия, нагрузка растет пропорционально абсолютной деформации P = ESД/L . (2.1) После потери устойчивости и изгиба, стержень примет изогнутую форму, соответствующую значению сжимающей силы, меньшему, чем то, которое было достигнуто в процессе сжатия. При выбранном способе нагружения, в процессе изгиба сжимающая сила уменьшится. Концы стержня при этом повернутся, оставаясь неподвижными. Вследствие уменьшения сжимающей силы, деформация сжатия стержня также пропорционально уменьшится. Перемещение Д его подвижного конца определяется формулой (1.1), в которой s = PjES - оставшаяся относительная деформация сжатия стержня после его выпучивания. Подставляя Д в формулу (2.1), получим P = P + ES(L -l)/L . (2.2) Продольная сосредоточенная сила совершает работу только на стадии сжатия стержня, так как при изгибе концы стержня неподвижны. Эта работа равна A = P^ 2. В последнюю формулу подставим выражения для P и Д . После выполнения элементарных преобразований запишем A = OiL + P (L -1)+-(L -1)2. 2ES n ' 2L ' Приравнивая работу сжимающей силы к полной механической энергии, накапливаемой в стержне, получим уравнение A = W + П . Учитывая, что на начальном этапе изгиба длина горизонтальной проекции стержня незначительно отличается от длины стержня, преобразуем последнее равенство к виду L -1 = 4 (-Pig-A23 Ь5!\ Vn2 E У Подставляя полученное выражение в (2.2) и учитывая, что в начале процесса изгиба р « Pe, получим P.-^LJ + 4SEV3^LJ2/3. (2.3) Значение силы, определяемое выражением (2.3), является критическим значением сжимающей силы, под действием которой горизонтальный стержень, лежащий на жесткой поверхности, начнет изгибаться. Критическая сила представляет собой сумму силы Эйлера и компоненты, определяемой влиянием веса. Эта вторая компонента увеличивается вместе с длиной стержня. Поэтому критическая сила увеличивается с увеличением длины, а не уменьшается, как это следовало из формулы Эйлера. Функция р (L), выражающая зависимость критической силы от длины стержня, имеет минимум при (/ /тч3 5 2.3A1/4 п5сI Lmin = 2 У Здесь i-л/J/S - радиус инерции сечения стержня, c -jE'/р - скорость распространения продольных волн в материале стержня. Так, например, для стали Lmin =150,77i34. Минимальное значение критической силы р- - и . Величина и = 4,49341 является корнем уравнения u = tg и. (3.2) Таким образом, изогнутая форма равновесия стержня, лежащего на жесткой горизонтальной опоре, становится возможной при значении сжимающей силы P?=u2EJ/?2 . При значениях а?

Скачать электронную версию публикации