Stability of the Couette flow of a diatomic gas in conditions of viscous stratification and vibrational mode excitation.pdf Плоское течение Куэтта широко используется в линейной теории устойчивости в качестве простой модели для исследования влияния различных факторов, таких, как реология, физико-химические процессы, механические характеристики граничных поверхностей на устойчивость потока. В работах [1, 2] рассматривалась линейная устойчивость сверхзвукового течения Куэтта совершенного газа при конечных числах Рейнольдса. Температурная зависимость вязкости описывалась формулой Сазерленда, число Прандтля принималось постоянным, объемная вязкость исключалась из рассмотрения с помощью соотношения Стокса. В [2] была изучена зависимость инкрементов нарастания и критических чисел Рей-нольдса наиболее неустойчивых вязких мод от числа Маха потока. Эти исследования на современном этапе при тех же предположениях были продолжены в работе [3], где дополнительно к модели Сазерленда рассматривался случай постоянной вязкости. Основное внимание здесь было посвящено изучению промежуточного интегрального нарастания вязких возмущений на базе немодального энергетического подхода. В рамках классической (модальной) линейной теории сопоставление двух вязкостных моделей ограничилось в основном сравнением критических параметров течения наиболее неустойчивой вязкой моды для нескольких значений числа Маха. Было показано, что «вязкая» стратификация в несколько раз увеличивает критические числа Рейнольдса относительно соответствующих значений для случая постоянной вязкости. В работе [4], где на основе линейной теории исследовалось влияние колебательного возбуждения на устойчивость сжимаемого течения Куэтта в невязком пределе, было зафиксировано заметное стабилизирующее воздействие колебательной релаксации на невязкие акустические моды. В [5] рассматривалась линейная устойчивость вязких возмущений в сверхзвуковом течении Куэтта колебательно возбужденного и совершенного газа с независящими от температуры коэффициентами переноса. Основной результат этой работы состоял в том, что колебательное возбуждение на уровне, который достижим, например, в нерасчетных струях или с помощью лазерной накачки, увеличивает устойчивость течения в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса. При этом относительное увеличение критического числа Рейнольдса по сравнению с совершенным газом может достигать 12 %. В связи с отмеченным в [3] чрезвычайно сильным влиянием «вязкой» стратификации на критические параметры течения возникает естественный вопрос. Сохранится ли в этих условиях заметное стабилизирующее влияние колебательной релаксации? Кроме того, представляет самостоятельный интерес провести подробное сравнение характеристик линейной устойчивости течения Куэтта совершенного газа для двух моделей вязкости. Это позволит сделать заключение о том, насколько в данном случае содержательна более простая модель постоянной вязкости, одним из преимуществ которой является возможность использовать при линеаризации известное точное решение уравнений Навье - Стокса. Постановка задачи и основные уравнения Рассматривается линейная устойчивость плоского вязкого течения Куэтта колебательно-возбужденного газа. В координатной плоскости поток ограничен двумя бесконечными параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии h друг от друга. Считается, что плоскость y = 0 покоится, а граница y = h движется равномерно в собственной плоскости со скоростью U0. Течение описывается в рамках модели двухтемпературной аэродинамики, в которых учитывается зависимость коэффициентов переноса от температуры потока [6-8]. В частности, для вязкости, как и в [1-3], использовалась формула Сазерленда [9]. Обусловленные поступательным Xt, вращательным Xr и колебательным Xv движением молекул газа коэффициенты теплопроводности определяются соотношениями Эйкена [6-8]. Предполагается, что удельные теплоемкости не зависят от статической (поступательной) T и колебательной Tv температур газа и постоянны. В качестве характерных величин для обезразмеривания были выбраны ширина канала h, скорость границы U0, плотность р0 и температура T0 основного течения на движущейся границе канала и образованные из них время t0 = L/U0 и давление p0 = p0U02. Коэффициенты переноса обезразмеривались на их значения при температуре T0. В безразмерных переменных система уравнений имеет вид ^+^=0, (1) dt d xi f du: du -+ui-■ d t d x, v i du, П(Т) ^ д x, д p + 1 d д x: Re д x, 1А д +-I a, +- , ReV 1 3;дх,. Du, П(Т) x1 д x,- (2) p(DT+u iT)+(y-1) рт DU, +y vP(Tv- T)+ |д t 1 д xt) д x: RePr д x2 т (5«l + 5«_i 1 д x, д x: V i 1 у 2 2 Y д u: y(y -1)M2 n(T) + 21 a1 - (3) 3 у V д x 2Re yvPi^^ + u: ^ 1=J0^ _L 1 дt дx: J 33RePrдx: n(T) ^ д x YvP (Tv - T) (4) YM P = PT, Yv = Y vib 1- Yvib' :, j = 1, 2, (5) где x1 = x, x2 = у, а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Параметры, входящие в уравнения системы (1) - (5), определяются следующим образом. Коэффициент a1 = n0,b/n0 есть отношение объемной и сдвиговой вязкостей. Коэффициент у = cP/cV - показатель адиабаты, cV = cVt + cVr, cp = cV + R - соответственно удельные теплоемкости при постоянных объеме и давлении, где выделены составляющие, обусловленные поступательным cVt и вращательным cVr движением молекул газа, R - газовая постоянная. Коэффициент yvib = cVv/(cVt + cVr + cVv) характеризует степень неравновесности колебательной моды, cVv - удельная теплоемкость при постоянном объеме, связанная с колебательным движением молекул газа, т - характерное время колебательной релаксации. Параметры Re = p0hU0/n0 и M = U0/(yRT0)1/2 есть соответственно числа Рей-нольдса и Маха несущего потока. Pr = -q0cV/X0 - число Прандтля, где коэффициент теплопроводности Х0 = X0t+X0r определяется поступательными и вращательными степенями свободы молекул газа. Нижний предел Yvib = 0 соответствует случаю невозбуждения колебательной моды молекул. С другой стороны, равнораспределение энергии по степеням свободы молекул не является здесь верхним пределом для параметра Yvib. Поскольку закон равнораспределения энергии неприменим в неравновесной ситуации, описываемой системой уравнений (1) - (5), когда разрыв между статической температурой потока T и колебательной температурой Tv может быть достаточно велик. В [6] показано, что при T = 300 К неравновесная теплоемкость cVv и 1.8R. Используя равнораспределение энергии в состоянии термодинамического квазиравновесия по поступательным и вращательным модам молекул, получаем, что параметр Yvib и 0.42. С ростом разрыва между температурами Tv и T значение Yvib увеличивается, приближаясь в пределе к единице, когда энергия колебательной моды молекул существенно превышает температуру квазиравновесного термостата, определяемого поступательными и вращательными степенями свободы молекул. В расчетах максимальное значение параметра Yvib было выбрано равным Yvib = 0.4, с тем, чтобы остаться в рамках используемой модели, избежав возбуждения высоких колебательных уровней энергии. В качестве решения для среднего течения (несущего потока) выбрано равновесное стационарное решение, где yvib = 0 и T = Tv. При этом считалось, что гидродинамические переменные среднего течения зависят только от поперечной координаты у: ux = Us (у), Uy = 0, T = Ts (у), Tv = Tv,s (у) = Ts (у), p = ps (у) (6) и удовлетворяют граничным условиям 1 гр Us (0) = 0, Us (1) = 1, -у = 0, Ts (1) = 1, Ps (0) = Ps (1)=-Ц-. (7) у=0 Y M2 В силу геометрии профилей среднего течения (6) уравнение неразрывности (1) удовлетворяется автоматически. Уравнение Ландау - Теллера (4) также выполняется тождественно, поскольку для рассматриваемого равновесного решения параметр yvib = 0 и T = Tv. При этом из уравнений импульсов (2), энергии (3) и уравнения (7) определяются psTs = 1, р8(у) = 1/(yM2), а профили скорости и8(у) и температуры Ts(j;) вычисляются из системы уравнений: т{ ^Ь т{ n s-T-1+(y-1)PrM2ns f dU\ = 0, ns = n(Ts). (8) -у у d у J dу у d у J у dу J Для вязкости, определяемой формулой Сазерленда [2-4] 1,5 Tt3/2( у) ns (у) = s ^ }, (9) Ts (у) + 0,5 V ' и различных чисел Маха M при y = 1.4; Pr = 3/4 система (8) с данными Коши (7) интегрировалась численно с помощью метода Рунге-Кутты четвертого порядка на интервале у = [0; 1] с шагом Ау = 10-3. Результаты расчетов зависимостей скорости и8(у) и температуры Tfy) для M = 0.5; 2 и 5 представлены на рис. 1. Рис. 1. Профили скорости и(у) (а) и температуры Tfy) (б) среднего течения (сплошная линия - модель постоянной вязкости при M = 0.5; штриховая и штрихпунктирная линии -модель Сазерленда (9) при M = 2 и 5) Fig. 1. Profiles of the (a) velocity и(у) and (б) temperature Tfy) of the average flow (the solid line is the constant viscosity model at M = 0.5; the dotted and dashed lines are the Sutherland model (9) at M = 2 and 5) Мгновенные значения гидродинамических переменных представим в виде ux = Us + ux , uy =uy , р = Ps + р T = Ts + T, Tv = Tv, s + ^ dn (10) dT p = Ps + p, n=ns + n=ns + %X Пт,s = т=T где возмущения гидродинамических переменных представляются в виде бегущих плоских волн q(x,y,t) = qo(У)eгa(x-c^2, q(x,y,/) = (^,^,P, T,p) , q0Cy) = (u, av,р,9,0v, p). (11) Здесь a - волновое число вдоль периодической переменной x, c = cr+ici - комплексная фазовая скорость, i - мнимая единица. Подставляя (10), (11) в уравнения системы (1) - (5) и линеаризуя ее относительно среднего течения, получаем систему уравнений для амплитуды возмущений: DP + aPs v+р s о = ° ' ^Дu -рsDu -apsvUs -iae++(U)9 + ^Tl-L9' = 0, Re s Re Re Re a Д ТЛ ' , anT,sTs' ' n -Д v - aoD v - e +--:-v = 0, Re s Re Д 9 - р sD 9 - ap s vTs' - a(y -1) о+2y(y-1) nsM ( + ia2v)-s + ^(9v -9) + v ' т RePr Re y( Л') + y(y -1) % ,sM2us2 2ynT T' + y lT,s s 9' + RePr ) = 0; (12) Re RePr 20YYv Д9 Y р D9 aY р vT, YvPs (9 9) + 20YYvnT,sTs'9' + 777-!-Д 9v - Yv PsD9v - aY vp s vTs--(9v - 9)+ n-9v + 33RePr т 33RePr 33RePr + 20YYvnT,sTs' 9' + 20YYv (nT,sTs') 9 = 0 33RePr Y M2 p = р s 9 + pTs, = v| y=1 =9| y=0 = 9| y=1 = 9v|y=0 = 9v |y=1 = p|y=0 = p|y=1 = 0, (13) u ly=0 uly=1 Vly=0 *ly=1 "ly=0 "ly=1 d2 --a "Y vib dy2 Здесь и далее штрих у функций обозначает дифференцирование по переменной y. Спектральная задача и метод решения Система (12) вместе с однородными граничными условиями (12) определяет спектральную задачу, в которой собственными значениями являются комплексные фазовые скорости возмущений c = cr+ici, а числа Маха M, Рейнольдса Re и D = ia(Us -c), о=v ' + iu, e = p-О^/ц + Ло, Yv =7^, Д = Re v 3; 1- yvib волновое число а служат параметрами. Для расчета собственных значений с = cr+ici неустойчивых мод система (12) сводилась к матричному виду и далее решалась численно в среде пакета Matlab. Использовался метод коллокаций [10, 11], ранее примененный в работах [12, 13]. Следует отметить, что в работах [1-3], посвященных исследованию линейной устойчивости течения Куэтта в невозбужденном совершенном газе, также применялся метод коллокаций, причем в [1-3] использовался инструментарий Matlab. В данном случае спектральная задача записывалась в матричном представлении: Лф"+ 4ф'+ АзФ = сЛ4ф, ф| =ф| = 0, (14) ( 0 0 0 0 ly=0 где ф = (р, u, v, 6, 0v), а матрицыЛк (к = 1, 2, 3, 4) размера (5x5) имеют вид 0 0 0 0 Л Re 0 ms RePr 0 0 0 20YYvП 33RePr a +- Л, = Re 0 0 ai +- Re 2Y(Y-1) П MU'S Re 0 0 0 T Л2 = Y M2 0 0 ia \ Re 0 Л 0 0 0 a5 Ps YM2 a a2 -a (Y -1) 0 -PS -aPs U' (-iUs i aT 0 i aPs Y M2 0 0 0 Y vPs T - Yv b4J Л -iPs -abj ia b5 -i a (y -1) + a' Y M2 T s Y M2 0 0 Л3 = Y M2 -b, Л4 = -a 2b2 ab6 0 -aYvPs T s Yv b7 -i 0 0 0 0 0 -iaPs 0 0 0 0 0 -ia2Ps 0 0 0 0 0 -iaPs 0 0 0 0 0 -iaY Пт T ( + 4 ) 2 у ax 10 Y v «3 a =-;-, a2 = a I a, +- I, a3 =-L, a4 =-^^ Re \ 3 / Pr 33 a5 = ^, b. = iPU + na(,+ 4), b = iPU + na, b' = iaPsUs +^+--y(y-1)a,^, b. = (op,U, + *+^ b, = a_ (a1 + i), b6 = 2'aY'Y-1)%MUS -^т;, b, = ™ +?0YY ^ Уп 2 3/ u Re T 33RePr В качестве узлов коллокации выбирались точки Гаусса - Лобатто 1 1+cosI N n = 0,1,..., N, в которых полином Чебышева N-й степени имеет экстремумы на отрезке y = [0, 1]. Дифференциальные операторы первого порядка, входящие в спектральную задачу, аппроксимируются на данном шаблоне матрицей коллокационных производных DN [10, 11] размером (N+1)x(N+1). Дифференциальные операторы второго порядка аппроксимируются суперпозицией DN = DlNDlN [10, 11]. Построенная таким образом дискретная аппроксимация позволяет свести задачу (14) к обобщенной задаче на собственные значения (линейному спектральному матричному пучку) относительно спектрального параметра c: 5 N+4 X (Gkj - cFkj) r} = 0, k = 0,1,2, .,5 N + 4, (15) j=0 где вектор неизвестных r размером 5(N+1) состоит из значений собственных функций в узлах коллокации: r (x2) = (P0 ,P1,.,P N , u0,u1,.,uN ,v0 ,v1,.,V N ,00,в1,.,е N ,0 v,0,0 v,1,"',0v, N ), а матрицы G, F размером 5(N+1)x5(N+1) вычисляются с использованием специальной процедуры Matlab по формулам G=A1 ® DN + A2 ® DN + A3 ®In, F=A4 ® IN (знак «®» обозначает прямое (тензорное) произведение матриц [14]), IN - единичная матрица размером (N+1)x(N+1). Однородные граничные условия (13) для уравнения (15) учитываются неявно через оператор DlN и на дискретном уровне реализуются заменой матриц DN на окаймленные матрицы размером (N-1)x(N-1), которые получаются при выполнении условий [10, 11]: D0, j = DN, j = 0, D^ = D\n = 0, i = 0,1,N, j = 0,1,N, k = 1,2. Для нахождения всех собственных значений и функций обобщенной спектральной задачи (15) использовалась процедура Matlab, реализующая QZ-алго-ритм, который позволяет одновременным ортогональным преобразованием привести пару матриц G, F к обобщенной верхней треугольной форме [15]. В результате применения данной процедуры для фиксированных значений чисел Рей-нольдса Re и Маха M, объемной вязкости ab степени неравновесности колебательной энергии yvlb, времени колебательной релаксации т и волнового числа a получается набор (N+1)-ro собственных значений c = cr+icj. Для проверки точности вычислений параллельно были проведены расчеты собственных значений c = cr+ict с помощью метода «стрельбы». Для этого уравнения (12) заменялись фундаментальной системой уравнений и граничными условиями для вещественных и мнимых частей функций р, u, v, 6 и 6v. Полученная система при фиксированных наборах параметров Re, M, yvib, т и a интегрировалась численно с помощью процедуры Рунге-Кутты четвертого порядка на интервалах ye [0; 0.5] и ye [0.5; 1] с шагом Ay = 10-3. Шаг по волновому числу Aa = 10-3. Точкой «прицеливания» служила середина канала - y = 0.5. Значения cr и ct подбирались таким образом, чтобы вычисленные «слева» и «справа» в точке y = 0.5 значения функций pr, ur, vr, 6r, 6v r и р„ u, v„ 6,-, 6v I- совпадали с точностью до 10-8. Соответствующее такому совпадению значение c принималось в качестве собственного значения при заданном наборе параметров Re, M, ab yvib, т, a. Сравнение результатов, полученных с помощью методов коллокаций и «стрельбы» показало, что различия в значениях c = cr+ici, наблюдаются лишь в шестом-седьмом десятичных знаках после запятой. Таким образом, была обеспечена необходимая точность вычисления инкрементов (декрементов) возмущений. Расчеты велись при следующих значениях параметров: yvib = 0 - 0.4; т = 10-2 -10; ai = 0 - 2; M = 0.5 - 25; Pr = 3/4; у = 7/5. Значение волнового числа менялось в диапазоне a = 0 - 10 с шагом Aa = 10-3. Число узлов коллокаций в интервале ye[0; 1] варьировалось в диапазоне от N+1 = 100 до N+1 = 500 и в большинстве расчетов принималось равным N+1 = 300. Результаты расчетов Для модели постоянной вязкости и модели Сазерленда параметрические расчеты спектральной задачи (15) показали, что изменение значений времени колебательной релаксации в диапазоне 10-2 < т < 10 слабо влияет на поведение спектров вязких возмущений. Поэтому ниже расчетные данные приведены для одного значения времени т = 1. Показано, что для модели постоянной вязкости и модели Сазерленда множество собственных значений линейной задачи устойчивости сверхзвукового вязкого течения Куэтта термически возбужденного молекулярного газа, как и в случае совершенного газа, делится на два непересекающихся множества Sa и Sv [1-3]. Собственные значения из множества Sa сходятся в пределе Re^ro к собственным значениям для невязких акустических мод I, II, III и т.д. Собственные значения из Sv не имеют асимптотической связи с невязкой задачей и характеризуются большими декрементами затухания [16]. Разбиение множества мод Sa на четные и нечетные, классифицированное для невязких возмущений в равновесном и колебательно-возбужденном газах [4], сохраняется и для вязких возмущений. Представление об общей структуре спектра вязких возмущений дает рис. 2. Графики зависимостей волновых скоростей cr(a) для семейств четных и нечетных мод возмущений из Sa приведены на рис. 3. Здесь сплошной и штриховой линиями показаны зависимости cr(a) для четных и нечетных мод невязких возмущений соответственно для невозбужденного (yvib = 0) и колебательно-возбужденного (yvib = 0.4) газов. Из рис. 3 следует, что диссипативные эффекты, связанные с «вязкой» стратификацией, варьированием числа Рейнольдса и с возбуждением внутренних степеней свободы молекул, практически не меняют поведения кривых cr(a), рассчитанных в невязком приближении при Re^ro [4]. Выделенные моды I и II, как видно из рис. 3, раньше других переходят в интервал cr = [0, 1], где, как было показано в [4, 12], возможно развитие невязкой неустойчивости, и в этом смысле являются наиболее неустойчивыми. Рис. 2. Спектры собственных значений для M = 5, Re = 5-105 при a = 0.1 (а) и a = 2.5 (б) (кружки - совершенный газ, крестики - максимальное возбуждение колебательной моды) Fig. 2. Spectra of eigenvalues for M = 5 and Re = 5-105 at a = (a) 0.1 and (б) 2.5 (the circles denote the perfect gas; the crosses, the maximum excitation of the vibrational mode) Рис. 3. Зависимости cr(a) для чисел Маха M = 3 (a) и M = 5 (б) при a1 = 0 (1, Г - мода I; 2, 2' - мода II; 3, 3' - мода III; 4, 4' - мода IV; сплошные линии - невязкие моды при yvib = 0, штриховые - невязкие моды при yvib = 0.4; A - модель постоянной вязкости при Re = 105; B - модель постоянной вязкости при Re = 106; C - модель Сазерленда (9) при Re = 105; D -модель Сазерленда (9) при Re = 106) Fig. 3. Dependencies cr(a) for a Mach number M = (a) 3 and (б) 5 at a1 = 0 (1, Г are mode I; 2, 2f are mode II; 3, 3' are mode III; 4, 4' are mode IV; solid lines, non-viscous modes at yvib = 0; dashed line, non-viscous modes at yvib = 0.4; A, constant viscosity model at Re = 105; B, constant viscosity model at Re = 106; C, Sutherland model (9) at Re = 105; D, Sutherland model (9) at Re = 106) При числе Маха M = 2 кривые мод I и II практически зеркально симметричны относительно линии cr = 0.5, соответствующей положению критического слоя на оси канала. Можно обратить внимание, что с ростом числа Маха точки перехода мод I и II в интервал cr = [0; 1] сдвигаются в область меньших волновых чисел а, а симметрия относительно cr = 0.5 несколько нарушается. Последнее связано с увеличением несимметрии профиля температуры среднего течения Ts при возрастании числа Маха (см. рис. 1). Сравнение декрементов (инкрементов) ю/ = асг- мод I и II для двух моделей вязкости в совершенном газе представлено на рис. 4. На графиках рис. 4, а можно заметить, что дестабилизирующее влияние вязкости на устойчивую [4] в невязком пределе моду I при M = 3 имеет место для обеих моделей. При этом влияние «вязкой» стратификации по сравнению со случаем n = const [5] сводится к смещению зоны неустойчивости в сторону больших волновых чисел и небольшому снижению максимального инкремента. Следует отметить, что такая вязкая дестабилизация моды I проявляется лишь в очень узком диапазоне чисел Маха M - 3. При всех других числа Маха мода I остается устойчивой и вязкость оказывает на нее исключительно дополнительное стабилизирующее воздействие. В частности, это подтверждается кривыми декрементов для M = 5. Рис. 4. Зависимости Ю/(а) для совершенного газа при Re = 5105 (а - мода I, б - мода II; 1 -M = 3, 2 - M = 5; сплошные линии - модель постоянной вязкости, штриховые - модель Са-зерленда (9)) Fig. 4. Dependencies Ю/(а) for a perfect gas at Re = 5105 (а, mode I; б, mode II; M = (1) 3 and (2) 5; the solid line is the constant viscosity model; the dashed line, Sutherland model (9)) Как следует из рис. 4, б стратификация также сдвигает кривые инкрементов моды II в сторону коротковолновых возмущений, незначительно снижая их максимумы. Вместе с тем для обеих моделей вблизи а - 1.5 при M = 5 фиксируется резкое локальное возрастание инкремента ю/, вызванное дополнительным дестабилизирующим воздействием вязкости. Этот эффект сохраняется и при дальнейшем продвижении в зону дальнего сверхзвука [2]. Влияние возбуждения колебательной моды на наиболее неустойчивые акустические моды возмущений в стратифицированном течении можно оценить по графикам рис. 5. Видно, что в основной части диапазона неустойчивости возбуждение приводит к уменьшению инкрементов нарастания. При этом относительная величина подавления возмущений остается такой же, как и для модели постоянной вязкости [5]. Общее представление об устойчивости течения Куэтта дают кривые нейтральной устойчивости Ю/(Яе,а) = 0 на рис. 6. Влияние возбуждения на стратифицированный поток при M = 3 для обеих мод I и II представлено графиками рис. 6, а. Пунктирные кривые, отвечающие предельному возбуждению колебательной моды, можно рассматривать как сдвиг соответствующих сплошных кривых для совершенного невозбужденного газа в область больших чисел Re и а без изменения формы, в частности без деформации внутренней области неустойчивости. Точки K1, K\ соответствуют минимальным (критическим) числам Рейнольдса Recr, определяющим порог, ниже которого все возмущения затухают. Видно, что наиболее неустойчивой является мода II, у которой существенно меньше критические числа Рейнольдса и заметно шире внутренняя зона неустойчивости в направлении оси волновых чисел а. Можно констатировать, что учет зависимости вязкости от температуры никак не сказывается на диссипативном эффекте колебательного возбуждения, которое повышает устойчивость обеих мод, увеличивая критические числа Рейнольдса. Рис. 5. Зависимости юг(а) для модели Сазерленда (9) при Re = 5105, M = 3 (а - мода I, б -мода II; сплошные линии - совершенный газ, штриховые - колебательно-возбужденный газа (ai = 2, yvlb = 0.4)) Fig. 5. Dependencies юг(а) for Sutherland model (9) at Re = 5-105, M = 3 (а, mode I; б, mode II; the solid line is the perfect gas; the dashed line, the vibrationally excited gas (a1 = 2, yvlb = 0.4)) На рис. 6, б сравниваются нейтральные кривые для совершенного газа и обеих моделей вязкости при числе Маха M = 5. Анализ графиков позволяет заключить, что во всем диапазоне чисел Рейнольдса влияние стратификации по вязкости сводится в основном к усилению диссипативного эффекта, проявляясь в сужении зоны неустойчивости и существенном возрастании критического числа Рейнольдса, что видно из сравнения точек K2, K2. Вместе с тем характерные особенности поведения кривых нейтральной устойчивости в дальней сверхзвуковой области при M > 5 остаются неизменными для обеих моделей. В частности, здесь область неустойчивости при возрастании числа Рейнольдса расширяется (ср. рис. 6, а). Кроме того, в обоих случаях кривые имеют два минимума по числу Рейнольдса. При этом острый пик вблизи а ~ 1.5 соответствует острому пику инкремента нарастания на графике рис. 4, б, связанному с дополнительной вязкой неустойчивостью. Минимум на пологой части кривых, наоборот, определяется диссипативным влиянием вязкости на максимальный инкремент инерционной неустойчивости при M = 5 [4]. Рис. 6. Кривые нейтральной устойчивости Юг(Яе,а) = 0 (I - мода I, II - мода II; K1, K'1 -критические точки моды I. K2, K'2 - критические точки моды II; а - модель Сазерленда (9) при M = 3 (сплошные линии - совершенный газ, штриховые - колебательно-возбужденный газ (а1 = 2, yvib = 0.4)); б - совершенный газ при M = 5 (штриховая - модель Сазерленда (9), сплошная линия - модели постоянной вязкости)) Fig. 6. Curves of neutral stability ro/(Re,a) = 0 (I, mode I; II, mode II; K1, K\, critical points of mode I; K2, K'2, critical points of mode II; a, model of Sutherland (9) at M = 3 (solid line, the perfect gas; dashed line, the vibrationally excited gas (а1 = 2, yvib = 0.4)); б, perfect gas at M = 5 (dashed line, Sutherland model (9); solid line, the constant viscosity model)) Поведение кривых нейтральной устойчивости W/(M, а) = 0 и изолиний фазовых скоростей wr(M, а) = const моды II во всем расчетном диапазоне чисел Маха для обеих моделей вязкости в совершенном газе показано на рис. 7. Из графиков wr(M, а) = const следует, что независимость фазовых скоростей от диссипативных эффектов, отмеченная на рис. 3 для M = 3; 5, имеет место для всех чисел М. Кривые W/(M, а) = 0 показывают, что расхождение между моделями вязкости резко усиливается с возрастанием числа Рейнольдса. Это прослеживается по максимальному размеру основной области неустойчивости вдоль оси M. Если для модели Сазерленда этот размер остается неизменным, то в случае постоянной вязкости при Re = 106 обе ветви кривой выходят далеко за предел M = 25. Графики рис. 8 дают возможность качественно оценить влияние модели вязкости, сжимаемости и колебательного возбуждения на критические параметры моды II. Можно видеть, что во всем диапазоне чисел Маха для совершенного газа «вязкая» стратификация в несколько раз увеличивает значение Recr по сравнению со случаем постоянной вязкости, хотя длины волн наиболее неустойчивых возмущений (критические волновые числа) при переходе от модели к модели меняются незначительно. Для обеих моделей возбуждение колебательной моды увеличивает критические числа Рейнольдса и критические волновые числа при всех числах Маха, хотя и существенно меньше, чем стратификация. Видно, что немонотонность всех кривых в зависимости от числа Маха имеет одинаковый характер: в области умеренных сверхзвуковых значений M < 6 с ростом сжимаемости понижается устойчивость течения, а ее дальнейшее увеличение, наоборот, стабилизирует поток. а а Рис.7. Изолинии юг(М, а) и wz(M, а) моды II для совершенного газа (а - модель постоянной вязкости; б - модель Сазерленда (9); кр. 1 - юг = 0, кр. 2 - юг = 1, кр. 3 - юг = 2, кр. 4 -юг = 3; кр. 5, 6 - Ю/ = 0; сплошные линии - Re = 2-105, штриховые - Re = 2-106) Fig. 7. Isolines of юг(М, а) and юг(М, а) of mode II for the perfect gas (а, the constant viscosity model; б, Sutherland model (9); юг = (1) 0, (2) 1, (3) 2, (4) 3, and (5, 6) 0; solid line, Re = 2105, dashed line, Re = 2106) Рис. 8. Зависимости Recr(M) (а) и асг(М) (б) (1 - модель постоянной вязкости, 2 - модель Сазерленда (9); сплошные линии - совершенный газ, штриховые - колебательно-возбужденный газ (а1 = 2, yvib = 0.4)) Fig. 8. Dependencies (а) Recr(M) and (б) а^М) (1, the constant viscosity model; 2, Sutherland model (9); solid line, the perfect gas; dashed line, the vibrationally excited gas (а1 = 2, yvib = 0.4)) Критические числа Рейнольдса Recr и соответствующие им значения волновых чисел acr M Совершенный газ (а1 = 0, Yvib = 0) Колебательно-возбужденный газ (a1 = 2, Yvib = 0.4) Модель постоянной вязкости Модель Сазерленда (9) Модель постоянной вязкости Модель Сазерленда (9) Recr acr Recr acr Recr acr Recr acr 3 50060 2.5460 164870 2.8398 56060 2.6039 184190 2.9025 5 23830 2.1310 85720 2.5688 26930 2.3377 95750 2.6831 7 21640 1.9301 121830 2.5156 24230 2.1801 136080 2.6435 9 35080 1.8706 205110 2.4884 39630 2.1226 229110 2.6241 11 55750 1.8790 308170 2.4851 62720 2.1144 344230 2.6218 13 75240 1.8840 461550 2.4872 84940 2.1119 515550 2.6255 15 85150 1.8110 655850 2.4950 96150 2.0660 732580 2.6394 Точные количественные оценки влияния каждого рассматриваемого фактора на критические числа Рейнольдса и критические волновые числа моды II можно извлечь из приведенной таблицы. В частности, учет температурной зависимости вязкости по модели Сазерленда (9) при 3 < M < 15 увеличивает Recr от трех до шести раз. При этом acr возрастает в пределах 30 %. Относительное возрастание чисел Recr при возбуждении колебательной моды практически совпадает для обеих моделей вязкости и составляет примерно 10-12 %. Заключение Численное исследование устойчивости двумерных возмущений в сверхзвуковом течении Куэтта для двух моделей вязкости в совершенном и колебательно возбужденном газах позволяет сделать следующие выводы. «Вязкая» стратификация совершенного газа в форме модели Сазерленда значительно усиливает стабилизацию течения. В частности, в диапазоне чисел Маха 3 < M < 15 критическое число Рейнольдса моды II, остающейся наиболее наиболее неустойчивой при всех числах Маха M > 3, возрастает примерно в 3-6 раз по сравнению с моделью постоянной вязкости, хотя соответствующие волновые числа a увеличиваются в пределах 30 %. Относительное уменьшение инкрементов нарастания вязких возмущений мод I и II при колебательном возбуждении практически одинаково для обеих моделей вязкости. При этом увеличение критического числа Рейнольдса в обоих случаях лежит в пределах 10-12 %. Более простая модель постоянной вязкости на качественном уровне полностью воспроизводит все характерные особенности развития вязких возмущений акустических мод I и II в совершенном газе: Дестабилизация устойчивой в невязком пределе моды I в узком диапазоне волновых чисел a в окрестности M s 3. Существенное увеличение инкремента нарастания моды II по сравнению с невязким пределом при a s 1.5 для сверхзвукового диапазона 5 < M < 15. Характерное поведение кривых нейтральной устойчивости в координатах (Re,a) при 5 < M < 15, в частности расширение области неустойчивости с ростом Re и наличие двух минимумов на верхней ветви. Немонотонную зависимость критического числа Рейнольдса Recr от числа Маха с незначительным сдвигом минимума в точку M s 6.

Скачать электронную версию публикации