Domain shape influence on the solution of the problem about the flow of a mixture of compressible viscous fluids around .pdf Авторами [1] построено сильное обобщенное решение неоднородной краевой задачи, моделирующей обтекание препятствия потоком смеси вязких сжимаемых жидкостей. Настоящая статья посвящается исследованию зависимости решения данной краевой задачи от формы области течения. Эти результаты имеют важное значение для анализа свойств функционалов (скажем, функционала сопротивления) от решений краевой задачи и, следовательно, для решения задачи об оптимизации формы области течения. Постановка задачи заключается в следующем. Область течения смеси вязких сжимаемых жидкостей представляет собой область Q = B \ S евклидова пространства М3 точек х = (xj, х2, х3), внешнюю по отношению к обтекаемому препятствию S (которое предполагается компактным множеством) и ограниченную замкнутой поверхностью Е . Пусть х ^ T(х) обозначает векторное поле класса C 2(К3), равное нулю в окрестности границы Е. Определим отображение х ^ y = T (х) = х + еТ (х), задающее возмущение формы обтекаемого препятствия S . Для малых е отображение х ^ Те (х) является диффеоморфизмом области течения Q на область Qe = B \ Se, где Se = Те (S) - возмущенное обтекаемое препятствие. div(p!eMe(0) = 0 в Qe, i = 1,2, (2) где и(1), и,2-1 обозначают поля скоростей компонент смеси; р1е, р2е - функции плотностей компонент, а соответствующие давления pis = pis (pie), i = 1,2, предполагаются известными достаточно гладкими функциями своей плотности; через Re и Ma обозначены числа Рейнольдса и Маха соответственно; L^, i, j = 1,2, обозначают дифференциальные операторы второго порядка Lv(u(j)) = -цу.Ди(j) -(^ +Х1})Vdivu(j), i, j = 1,2, причем постоянные (безразмерные) коэффициенты вязкости , Xij- удовлетворяют условиям l11>0, 4l11l22 - (l12 +l21)2>0, ^11 + 2l11>0, 4(Xjj + 2|JJ)(X 22 + 2|22) - (X12 + 2|12 +X 21 + 2|21)2 > 0. Слагаемые J(i) = (-1)(i) a(Ui(2) - и,1-1), a = const > 0, i = 1,2, характеризуют интенсивность обмена импульсами между компонентами смеси [3, 4]. Уравнения (1) и (2) отражают соответственно законы сохранения импульсов и массы компонент смеси. Для постановки граничных условий используем заданные векторные поля U(j), j = 1,2, класса С3(М3), обращающиеся в нуль в окрестности множества S . С помощью вектор-функций U(Л на границе £ области B выделим участки «втекания»: £j = {x е £ :U(j)n 0}, j = 1,2. Будем предполагать выполненными следующие условия: Условие 1. Множества Г1 = cl£jn n (£ \ £j), j = 1,2, («характеристические» части поверхности) представляют собой замкнутые одномерные многообразия, такие, что £ = £jn иГ u £0ut и, кроме того, jU(j)nds = 0, j = 1,2; U(j)V(U(j)n) > С >0 на Гj, j = 1,2, £ где С >0 - некоторая постоянная. К уравнениям (1), (2) присоединим граничные условия u(1) = U(j) на £, u(1) =0 на 3Ss, р, = p^j, на j j = 1,2, (3) где р°е, j = 1,2, - заданные положительные постоянные. Стационарное движение в области Qe смеси вязких сжимаемых жидкостей описывается следующими уравнениями [2]: Рис. 1. Схемы обтекания препятствия j-й компонентой смеси: a - трехмерный поток; b - плоское сечение Fig. 1. Schemes of aflow around an obstacle jth component of the mixture: a) a three-dimensional flow; b) plane section Сила сопротивления набегающему потоку со стороны препятствия Ss выражается посредством формулы 2 ( 2г/ -1-ш- Л ■nds, (4) Л (SE) = -U JI ]Г L. ( +(vj ) div«(j)I1-JL p. (pj/ i=1 ds\ j=iL v ' 1 Ma где Uш - постоянный вектор, имитирующий скорость потока на «бесконечности». Проблема минимизации этого функционала означает решение задачи выбора оптимальной формы обтекаемого препятствия. Задачу (1) - (3) удобно свести к краевой задаче в невозмущенной области Q для однопараметрического семейства дифференциальных уравнений с возмущенными коэффициентами. С этой целью вводятся функции u(,) и p,., i = 1,2, определенные в O согласно формулам: u(i) (x) = N (x)u() (x + eT (x)), pi (x) = p,e (x + eT (x)), x eO, i = 1,2, где N (x) = (detM (x))Mx), M (x) = I +eDT(x), DT(x) = \ дТ'(x) I - матрица I dxj J Якоби отображения x ^ T(x). В результате такого преобразования задача (1) - (3) трансформируется в задачу 2 2 Xl.Дм(j)-Vq, = Xl.A(u(j);N) + ReB(рг,u(l),u(i);N) + (-1)гS(u(2) -u(1);N)в O, j=i j=i 2 2 div«(i) = XgaijPj-XgYj.qj в ° (5) j=i j=i 2 2 U(l) - VP,. +P,. X?OjPj = Pi X?Yijqj в O, j=i j=i u(i) = U(i) наE,u(i) =0 на dS, p, = p° на E|n, i = 1,2. Здесь g = g (x; N) =-Jdet N (x) ; линейные операторы A, B и нелинейное отображение S определены по формулам A (u; N ) = Дм-(NT )-1div (g - NNT v(n ~1u)), B(p,u, w; N) = p(Nt )-1 (u V(N)), S(u; N) = g - a (nt ) Nu; 2 Re qi = -Xg- (i. + Xit-)divu(j) +---pi(pi), i = 1,2, - эффективные вязкие давления; j=i Ma2 Yj - элементы матрицы к_1, обратной к матрице м, элементы которой есть Re ij +h,, i, j = l,2; о,. = -- Yij. Ma2 Решение задачи (5) строится в виде возмущения специальным образом выбранного достаточно гладкого течения и1?-1, p*, q(p, т. е. 2 u(,) = и.(0 + v(0, Pi = P* + Ф,, q, = q* +п + Л-Pl (p*) + X(|j + hj-)mj, j=1 2 2 Ду( J) - Vnt = A(u(J);N) + ReB(рг,u(i),u(i);N) + (- 1)г S(u(2) -u(1);N) в Q, j=1 1=1 2 1 divv(i) = gт.фi -gФi[0] - gmt в Q, (6) j =1 Pi u(i) ^ + тйФi = Y [0] + gmiPi в Q, v(i) = 0 на dQ, фi = 0 на Sjn, П^ = ni (П

Скачать электронную версию публикации