On the solution of the nonstationary Schrodinger equation.pdf Постановка задачи Известное из квантовой механики [1, 2] уравнение Шредингера имеет следующий вид: - ^ + U (x, y, z)y- Ду = 0. (1) i dt 2m При надлежащем выборе масштабов по переменным x и t его записывают также в нормализованной форме: dt = i(Д-U(x,y,z)) . (2) Нетрудно заметить, что уравнение (2) тесно связано с уравнением теплопроводности вида д0 - = (Д-U(x,y,z))0 . (3) dt Cвязь между функциями у и 0 такова, что если мы знаем какое-либо решение уравнения (3), записанное в форме 0 = 0(x, y, z, t), то связанное с ним решение уравнения (2) имеет следующий вид: у = 0(x, y, z, it)), то есть просто сводится к замене вещественного времени t его мнимой величиной it. При этом функция у всегда оказывается комплексной величиной, даже если функция 0 - вещественна. Квадрат модуля функции у в квантовой механике интерпретируется как вероятность локализации частицы в элементарном объеме, и величину у называют поэтому амплитудой вероятности. Если из уравнения (2) исключить время, положив, что у = ¥ exp (-ik2t), то тогда для функции ¥ получается стационарное уравнение Шредингера, имеющее вид Д¥ + (k2 - U(x,y,z))T = 0. (4) Это уравнение, не содержащее времени, легче поддается решению, чем уравнение (2) и применяется, в основном, для описания прохождения частиц через потенциальный барьер или для нахождения его собственных чисел и собственных функций этого оператора. Трудность аналитического или численного решения нестационарного уравнения (2) или (3) возникает из-за наличия переменного коэффициента U(x, y, z) в этих уравнениях. Таким образом, задача состоит в выборе эффективного метода решения уравнения теплопроводности (3). Одномерная задача. Точные решения В одномерном случае, когда функция у зависит только от одного пространственного аргумента x, уравнения (2) и (3) записываются в виде дш ( д2 тт, Л 59 ( Л - =' - - U (x) ^ - д - U (x) (5) dx2 dt dt dx2 v При произвольно заданном потенциальном барьере U(x) уравнения (5) не могут быть решены в явной аналитической форме. Поэтому, чтобы выяснить общий характер поведения решений, рассмотрим сначала случай, когда отсутствует потенциальный барьер, т.е. когда U(x) = 0, и уравнения (5) имеют вид . dV 59 = 5^ (6) dt ~1 5x2 , dt ~ 5x2 . Рассмотрим два примера точных решений уравнений (6). Пример 1. На бесконечном интервале изменения переменной -да < x < да, одно из частных решений уравнения теплопроводности и соответственно уравнения Шредингера будет следующим: - x2 ^ ( - x2 ^ ( -2 х2 ^ exp I-I exp I-г I exp ч 1 + 4t J 1 1 + 4it J . l2 I 1 + 16t2 J 9(x, t) =-v y , y(x, t) =-v y , p(x, t) = H2 =-, y . (7) y/1 + 4t V1 + 4it -хА+Ш2 Здесь p(x, t) - плотность вероятности локализации частицы в точке с координатами (x, t). Из формул (7) видно, что как температура 9, так и плотность вероятности p(x, t) монотонно убывают с ростом величин x и t, хотя они и ведут себя при этом по-разному. Пример 2. Методом разделения переменных и разложением в ряд Фурье можно найти следующее решение уравнений (6), определенное на конечном интервале переменной 0 < x < L: 9=4£sinXxe-^, e-^2', Х = n(2n-1) . (8) L n=1 "К L n=1 "К L Оно соответствует нулевым граничным условиям на концах интервала и постоянному (единичному) начальному распределению температуры. Вычисленные по формулам (8) значения амплитуды вероятности |у|2 в точках плоскости (x, t) показаны на рис. 1. Повышенная амплитуда вероятности |у|2 отмечена на нем более темным цветом. Видно, что функция у совершает непрекращающиеся бесконечные колебания во времени. Этот рисунок демонстрирует сложную периодическую по времени структуру поведения амплитуды вероятности. Этим свойством и отличается решение нестационарного уравнения Шредингера от решения связанного с ним уравнения теплопроводности, которое, согласно формулам (8), всегда очень быстро убывает по времени. Рис. 1. Пространственно-временное поведение амплитуды вероятности Fig. 1. Space-time behavior of the probability amplitude 50--1_I_I_I_I_I_I_I_I_ 0 100 200 300 400 t На рис. 2 показан график среднего по времени (на участке T) значения функции |у|2, который определяется из выражения 1 т pt (х) = т JI У(х, t)|2 dt. (9) т 0 Такой график показывает, что материальная частица большую часть своего времени проводит в средней области участка 0 < х < L. Рис. 2. График осредненного по времени значения амплитуды вероятности Fig. 2. Plot of the time-averaged value of the probability amplitude Вычисление методом матричной экспоненты Решение однородного уравнения теплопроводности вида (6) можно формально записать в символической форме, имея ввиду разложение показательного дифференциального оператора в ряд Тейлора: , д2 t2 д4 t3 5б t4 58 1 +1-+--+--+-йх2 2! ах4 3! дхб 4! dx8 д2 , - о дх2 0(х, t) = е Эх 0(х,0) = 0( х,0). (10) Так, например, нетрудно непосредственно проверить, что если 0(х, 0) - многочлен по переменной х, то ряд в формуле (10) обрывается и мы получаем точное решение уравнения теплопроводности (б). С другой стороны, при численной реализации решения, оператор дифференцирования по переменной х обычно заменяется его конечно-разностной аппроксимацией (11) д 20„ 0„ 1 - 20 n + 0„+ n n-1 n n +1 ax2 h2 Таким образом, оператор дифференцирования - это трехдиагональная квадратная матрица H2, действующая на вектор-столбец состоящий из чисел 0n, n = 1,2,3,.. ,,N. В таком случае, имея ввиду, что 0 - это векторы-столбцы, мы можем просто записывать решение (10) в векторно-матричном виде 0(х,t) = expm(tH2)-0(х,0). (12) Функция от матрицы f (A) = еА, известная как матричная экспонента, является стандартной программой в ряде вычислительных систем, и ею всегда можно воспользоваться. Такой подход применялся в работе [3], где с помощью матричной экспоненты успешно решалась задача с начальным условием как для одномерного, так и для двумерного уравнения теплопроводности. Ясно, что таким же способом можно решать и более общее уравнение (5), где учитывается влияние потенциального барьера и(х). Там только нужно от дифференциального оператора H2 отнять диагональную матрицу Щ(х), тогда получим у(х,0 = ешу(х,0), 0(х, t) = e,tH0(х,0), H = H2 - diag(U). (13) Отметим следующие свойства расчета решения уравнения Шредингера методом матричной экспоненты: 1. Возможность учитывать наличие потенциальных барьеров в уравнении Шредингера, что практически нельзя осуществить аналитическими методами. 2. Время входит непосредственно как параметр матричной экспоненты. 3. Вычисление матричной экспоненты для матрицы H при N

Скачать электронную версию публикации