Numerical simulation of nonlinear oscillations of a viscoelastic pipeline with fluid.pdf В настоящее время нефтегазовая промышленность часто сталкивается с проблемами ремонта, реконструкции и восстановления трубопроводов из-за воздействия на них различных внешних факторов. Одним из путей решения данной проблемы является применение современных, ресурсосберегающих, экологически безопасных технологий, к которым можно отнести использование неметаллических, в частности полимерных композиционных материалов [1-3]. Целью данной работы является создание математической модели, численного алгоритма и компьютерной программы для решения задачи о нелинейных колебаниях вязкоупругих тонкостенных трубопроводов большого диаметра на базе теории оболочек [4, 5]. Рассмотрим поведение тонкой круговой вязкоупругой цилиндрической оболочки, внутри которой с постоянной скоростью u движется идеальная жидкость. Используя в [5] и полагая kx = 0, ky = -1, y = R6, уравнение колебаний вязкоупругой цилиндрической оболочки с учетом геометрической нелинейности запишем / „*\|d2u 1 -ц d2u 1 + ц d2v Т , J 1 -ц2 d2u „ (1 -R Н-- + --+---+ Ц (wH-p----- = 0, ' >\dx2 2R2 dQ 2R dxdQ U F E dt2 ' 1 д2v 1 -ц д2v 1 + ц32« , ,] 1 -ц2 д2v n ---- + ---- + ---+ Ц2 (w)^-p----- = 0, ^^^ R2 dQ2 2 dx2 2R dxdQ n Ч и E dt2 2 w = ^ d2 w 2 D (1 -R* )v4w + Ц (u, v, w) + ph dt2 где ц - коэффициент Пуассона, E - модуль упругости, р - плотность материала; h - толщина оболочки; R*- интегральный оператор вида R*ф(t) = |R(t -т)ф(т)dт ; R(t -т) - ядро релаксации; 9 9 9 ц dw dw d w 1 + ц dw d w 1 - ц dw d w , n , 1 L (w) = -^-- +--- + -£--+ -£---kx = 0, kv = -, y = R9; 1 w R dx dx dx 2 2R2 59 3x59 2R 2 dx да2 x y R 2 2 2 1 dw 1 dw 5 w 1 + ц dw d w 1 -a dw d w L2 (w) =----+ ---- +-----+ - ' 22 1 dv w ц fdwY 1 f dw42 2] Rsx R259 + R2 IRtsrJ RHse, L* (u,v, w) = (1 -R*)- Eh d I dw (1 r*\ 1 -ц2 ox[ox\ ' du ц dv aw dx R 59 R du dv R 59 + dx, Eh 1 d I 1 dw du 1 dv w Ц dx R 59 R du dv R 59 + Sx, 'I -(1 -R ) R2 59 R3 59 d92 2R 5x 5x59 2R 59 a*-2 Eh I ц du (1 -a)dw (1 - R*)) 1 2R dQV R (1 -a)dw (1 - R* ) 1 2 dx V /I R 1 -ц2 R 59 | R 59 (2) где q - давление жидкости на стенку трубопровода. Решение систем нелинейных интегродифференциальных уравнений в частных производных (1) при различных граничных условиях и при наличии сингулярных ядер наследственности представляет собой значительные математические трудности. Поэтому естественным способом решения этих систем является дискретизация по пространственным переменным и получение системы разрешающих нелинейных ИДУ относительно функций времени. Приближенное решение системы (1) будем искать в виде N M u ( 9t) = X Xunm (t)cos ^ sin (m9) , n=1m=1 N M v (( 9, t )= XX vnm (t) sin cos (m9), n=1m=1 N M W ( 9, t)= XX wnm (t) sin^sin (m9). n=1m=1 Подставляя (2) в систему (1) и применяя метод Бубнова - Галёркина, получим систему интегродифференциальных уравнений (ИДУ): 2_2я2.,2 , 1 - Ц ,2521 -ц ;,;„y52,, + 4 5 I ukl--- klлу5 vkl + 2 2 ^ +ц52 Y2knwk/ + X X N M f .2 2 , ni п 3c 1 -ц nr Y 5 + Y5 *1klnmir wnm wir n,i=1m, r=1 1 + N M m _ I --+ц X X mY5^2klnmirwnmwir [ = 0, n,i=1m,r=1 I ukl +(1 - R* ) k2 п252 у 2 + 1 + Ц;; я 2 ,я2 vkl---klпу8 ukl -l8 wkl - ^ k 2 п282 у 2 +12S2 (i -«') vu + 1 - NMmr2 -Д +1 + Ц N M inrn 28д (3) - Z Z ~2^4^3klnmirwnmwir Z Z у 8&4klnmirwnmwir - (3) n,i=1m,r=1 n,i=1m,r=1 1 -Ц N M i2mn 2 1 Z Z ^pY28Л3klnm,rwnmw,r ^ = 0 ; 2 ^ ^ 2 n,i=1m,r=1 (1+фО, )t, +(1 - R){(12 + 82 I wkl + пЦу82kukl -182vkl - / 2 2 2 , ,2 k п у +1 N M -4П Z Z mrA5klnmirwnmwir 4 n,i=1m,r=1 n,i=1m,r=1 „MJX N M пцу 8 ^ ^ wnmw,r--Z Z mA6klnmir wnm wir N M 1-Ц ymrvir - r uir 2 6klnmir r r ir^yuir--vir + - wir п п + *5klnmir У8 Z Z wnmn (1 - R*) n,i=1m,r=1 N M -Z Z mwnm ( - R*) n,i=1m,r=1 N M 1 -Ц 4 2 -2 /гyuir - у / nvir л5klnmir Z Z mwnm ( - R*) n,i=1m,r=1 2 -2 3 2 -2 /гцу nvir - i у п uir - цп/у wir *6klnmir ' N M 1-Ц rу^ -/у то/ л7klnmir Z Z nmwnm ( - R*) n,i=1m,r=1 N M r1 imuir--vir + " wir п п -д. 8klnmir Z Z m2wnm ( - R*) n,i=1m,r=1 N M 1 -Ц rу^г -/у Щ; л7klnmir Z Z nmwnm (l- R*) n,i=1m,r=1 Я N M 2 Z Z n2wnm (1 - R*) n,i=1m,r=1 iyъп2uir - цгу2пvir + цу2пwir 8klnmir - -2 m *2 у2 mE k2 п2Ф>и =0; unm (0) u0nm, unm (0) = u0nm, vnm(0) v0nm, vnm (0) v0nm, wnm(0) = w0nm, wnm (0) = w0nm . Далее к системе (3), описывающей нелинейные задачи о колебаниях вязкоуп-ругих трубопроводов, применен численный метод [6-8]. Следующим этапом численного метода является регуляризация системы ИДУ (3) с сингулярными ядра-t-т = z1'а , 0 < z < ta (0

Скачать электронную версию публикации