Об одном методе исследования задачи Стеклова для 3-мерного уравнения Лапласа с нелокальными граничными условиями | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2016. № 6(44). DOI: 10.17223/19988621/44/2

Об одном методе исследования задачи Стеклова для 3-мерного уравнения Лапласа с нелокальными граничными условиями

Рассматривается фредгольмовость спектральной задачи Стеклова для 3-мерного уравнения Лапласа с однородными нелокальными граничными условиями, где спектральный параметр появляется только в граничном условии. Данная однородная граничная задача сводится к однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с несингулярным ядром, зависящим от спектрального параметра.

On a method of investigating the Steklov problem for the 3-dimensional Laplace equation with non-local boundary-value co.pdf 1. Введение Как известно, задача Стеклова в одномерном случае является однородной краевой задачей для одномерного уравнения Лапласа, т.е. вторая производная равна нулю при однородных линейных краевых условиях, содержащих спектральный параметр. Эта задача легко решается, и определяется счетное число собственных значений и собственных функций. Сведение задачи Стеклова для уравнения Коши - Римана с нелокальными однородными граничными условиями, содержащими спектральный параметр, к однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с невырожденным ядром приведено в [1]. Далее, та же задача с простыми глобальными членами с параметром в граничном условии была изучена в [2]. Продолжение этой работы рассматривается в [3], где интеграл охватывает всю границу рассматриваемой области. Задача Стеклова для двумерного уравнения Лапласа с простыми локальными граничными условиями рассмотрена в [4]. Следует отметить, что в этой работе метод исследования является новым, т.е. он основывается на необходимых условиях, полученных в этой работе. Та же задача для двумерного уравнения Лапласа с нелокальными граничными условиями со спектральным параметром, также содержащими глобальные члены (интегралы), была рассмотрена в [5]. Аналогичная проблема, где спектральный параметр появляется только в одном из граничных условий, содержащих нелокальные и глобальные члены, рассматривалась в [6]. Работы [7, 8] также посвящены изучению таких задач для двумерного уравнения Лапласа. Излагаемая работа посвящена изучению решений задачи Стеклова для трехмерного уравнения Лапласа с нелокальными граничными условиями. Отметим, что трудности, возникающие при увеличении размерности рассматриваемого уравнения, не сопоставимы с трудностями в предыдущих работах. Метод исследования заключается в следующем. На основе фундаментального решения уравнения Лапласа и с помощью второй формулы Грина и аналога этой формулы получаем аналитическое представление как для решения, так и для его частных производных. Из этих формул мы также получаем необходимые условия. Далее, первое необходимое условие, которое получается из второй формулы Грина, не содержит сингулярностей. А остальные необходимые условия, которые получаются из аналога второй формулы Грина, содержат сингулярные члены. Эти сингулярности не регуляризируются по общим правилам, приведенным в [9, 10]. Поскольку эти сингулярные уравнения находятся в спектре, регуляризация этих сингулярностей осуществляется по оригинальной схеме. Кроме того, комбинируя полученные регулярные отношения с заданными граничными условиями, получим достаточные условия для фредгольмовости поставленной задачи. Рассмотрим трехмерное уравнение Лапласа в области D с R3, выпуклой по 2. Постановка задачи рное направлению оси Ox3: . „ ч д2u(х) д2u(х) д2u(х) ^ ^ ,ч Lu =Au(x) =-у- +-у- +-у- = 0, (2.1) дх1 дх2 дх3 х = (х1, х2, х3) e D, с нелокальными граничными условиями а(1)( х,) ^uw +а«( х.) ^ j дх1 j дх2 дu( х) I ^ГР х3 =Yk (х° j=1 , + = Xu(х', yk (х')), х' e S, k = 1,2, (2.2) u(х) = f0(х), х e L = Г1 пГ2. (2.3) Задача (2.1) - (2.3), содержащая параметр в граничных условиях, - это так называемая задача Стеклова. Здесь S - проекция области D на плоскость Ox1 х2 = Ox', коэффициенты a(jk)(х') e C(S) , i, j, k = 1,2; граница Г = дD поверхность Ляпунова, Xe C - комплекснозначный параметр; L - экватор, соединяющий верхнюю и нижнюю полуповерхности Г1 и Г2: Гk = {% = (%1,%2,S3): %3 = Yk(%'), %' = (%1,^2)e S} , k = 1,2, где %3 =y k (%1, % 2), k = 1,2, уравнения полуповерхностей Г1 и Г2 (выпуклость области D в направлении Ox3 обеспечивает существование таких уравнений), функции yk (% ), k = 1,2, дважды дифференцируемы по обеим переменным %1, %2; коэффициенты aj) (х') удовлетворяют условию Гельдера в S. Задача (2.1) - (2.3) сводится к однородному интегральному уравнению (или спектральному уравнению), из которого определяются собственные значения и собственные функции. 3. Необходимые условия Фундаментальное решение трехмерного уравнения Лапласа имеет вид [11] U (х-%) --j1-^. (3.1) 4п |х -%| Умножим уравнение (2.1) на фундаментальное решение (3.1) и проинтегрируем по области D: 3 я2 .fX^-uxU (x 4)dx =0. (3.2) D j=1 dxj Интегрируя по частям, получим следующее: 3 ^ d2u(x) U (x-|)dx = J=1 D dxj = Y ff_du(x)U(x-|)-u(x)dU(x-|) 1 cos(vx,x.-)dx +fu(x)5(x-|)dx . (3.3) j=1Я dxj dxj J D Так как U(x -|) - фундаментальное решение уравнения Лапласа, то ± %:« = Д^ (x= 5( x-?) J=1 dxj является функцией Дирака. Учитывая это и подставляя (3.3) в (3.2), получим первое основное соотношение: ff^U(x-|)-u(x)dUdV^ldx = -fu(x)5(x-|)dx J "^^Г (3.4) ГI dvx dvx J D I- 2u(|) |еГ Первое выражение в (3.4) дает представление общего решения уравнения (2.1), второе выражение в (3.4) является первым необходимым условием. Рассмотрим первое необходимое условие (|e Г ): 1 u(I) =/(■ du(x) u(x-u(x)Idx . (3.5) ГЧ dv x dv Так как dU(x -1) = x - | = cos(x -xi) дЦ 4n| x -||3 4n| x -||2 ' то получаем соотношение из (3.5) 1 ^ if/- 4cos(x-I, Vx) 1 f 1 du( x) „ Г -u(|) = --I u(x)-:-+ -- dx, |еГ (3.6) 2 4пГ |x-||2 4п Г |x-|| dvx где все подынтегральные выражения имеют слабую особенность, т.е. порядок сингулярности не превышает кратность интеграла. Таким образом, доказана следующая Теорема 3.1. Пусть область D с R3 ограничена и выпукла по направлению x3, ее граница Г - поверхность Ляпунова. Тогда полученное первое необходимое условие (3.6) регулярно. dU (x -|) _ Умножая (2.1) на-, i = 1,3, и интегрируя по области D , получим осdxi тальные три основных соотношения: ди ( x-«W ,, xm )cos(V ,,x ) •дш(x) ди(x -%) дu (x) dx + | dx + Г дх1 дv x Г дхт дх1 дхт ди(х %)cos(vx,xl)-ди(x %)cos(vx,xt) • (u( x) dx = Г дх1 дхдх, gu(%) д%1 , 1(u(%) "2 % e D, i = 1,3, (3.7) % e Г, где числа i, m, l образуют перестановку чисел 1,2,3. Вторые соотношения в (3.7) - остальные три необходимых условия ( %еГ. i = 1,3 ): 1 дu(%)_ г дu(х) ди(х -%) дv х cos(vх , xm ) %) cos(vх , х ) дх дх„, = J dx + 2 д%1 г 5U (х -%) дх1 • (u( х) dx + Г Sxm ^дТ %) cos(vх, xi) -дUд" %) cos(vх, xi) ох дх. • (u( х) dx, (3.8) Г дх' где числа i,m,l образуют перестановку чисел 1,2,3. (U (х -%) и вводя обозначение дхг 4п| х -% |3 4п| х -%|2 K- (х, %) = cos(х -%, xi )cos(vx, xj ) - cos(x -%, xj)cos(vx, xi), (3.9) можем переписать 2-е, 3-е и 4-е необходимые условия (3.8) в виде 1 du(%) = с du(х) (U(х-%) х- j(u(x) Km(х,%) х- J (u(x) K'l(х,%) х J (xm 4п|х-%|2 х J дх1 4п|х-%|2 дх 2 (%' Г где числа i,m,l образуют перестановку чисел 1,2,3. xi -%1 cos( х - %, xt) Учитывая, что -dx, (3.10) Раскроем первые два поверхностных интеграла в (' +1) -м соотношении (3.10) (' = 1,2,3 ) по верхней и нижней полуповерхностям Гk, k = 1,2 : (v -1f (u(х)\ Kim (x, %) dx' |%3 =Yk (%')" 1 1 1 J х3 =Y 1(х0 «3=Y/k ((«:) cos(v х) 2 д%1 (xm 1=1 4п| х-%|2 Ka (х, %) ' (u(х) i dx' %3=Yй°°s(v х, х> S 4п|х -%| (u(х) (u(х -%)| +Х(-1)1-1 x,=Yj(х, - 1=1 S дх' +J dx . Г дх1 (V х |%3 =Yk (%') Выделим только сингулярные слагаемые во втором, третьем и четвертом необходимых соотношениях (i = 1,3) для k= 1, 2: du(x) I K'm (x, f) dxm lx3=Yk ,l2 1 du 2 df" dx' f3 =Yk (f')=( 1)k I ?3=Y/k(Й cos(vx, x) 4n| x -f|2 K'l (x, О du( x) I dx: +(-1)k I (3.11) -+..., £=Yk (f')cos(v x, x3) dx 1x3 =Yk (x°4n| x2 где многоточие обозначает сумму несингулярных слагаемых. Введем обозначения: Kj)(x:, f ') == Kj (x, f) k = 1,2. (3.12) x3=Yk(x,) f3=Yk (f') Рассмотрим |x -f|2 , k=1,2 : x3=Yk(x0 f3 =Y k (f') x3=Yk (xo = |x '-fl2 +(Yk (x') -Yk (f'))2 = |x '-fl2 f3 =Yk (f') +2 ^TiM cos( x'- f', x1) cos( x'- f', x2) + O(| x'- f '|) dx1 dx2 1+]г fdYkCx > -f2 cos2^'-f',xm ) + (3.13) Введем обозначение Pk (x', f ) = 1 I cos2( x '-f ', xm) + m=1 +2 dx, dxm ^TiMcos(x'- f', x1) cos(x'- f', x2) + O(|x'- f '|), dx. откуда можем переписать (3.13) следующим образом: = |x'- f 'I2 Pk (x', f'). -ff (3.14) x3 =Yk (x0 f3 =Y k (f') Замечание. Заметим, что для f' = x' имеем + 2 ^ ^ * 0, k = 1,2. dx1 dx2 2 2 dY dy, Pk (x', x') = 1 + Vdx1 J Vdx2 J При помощи обозначений (3.12), (3.14) перепишем необходимые условия (3.11) следующим образом ( k=1, 2): du( x) 1 K(m)(x', f ■) dx' 1 = (-1)k f 2 df N3(f') = ( 1) J x3 =Yk(x°4n|x'-ff Pk(x',f') cos(Vx,X3) + dxm K(k)(x', f') dx' du(x)I 1 +(-1)k J (3.15) +..., s dxl =Yk(x,)4n|x'-f|'2 Pk(x',f') cos(vx,x3) где i = 1,2,3, а числа i,l,m образуют перестановку чисел 1,2,3. Таким образом, нами доказана Теорема 3.2. Пусть выполняются условия теоремы 3.1. Тогда необходимые условия (3.15) являются сингулярными. Чтобы выделить сингулярные члены в подынтегральных выражениях необходимых условий (3.15), сначала разложим все коэффициенты при производных по формуле Тейлора в точке %' = x': Kj)(x', %') = K,)(x', x ■) + I Kj)(x', x') ^ + Pk (x', x ) I- Pk (x', %') Pk (x', x') p= 5xp (xp -% p ) + ... . Kj)(x', %') Подставляя полученную формулу Тейлора для p ^ , % ^ в необходимые усло- ( K.m)(x', x') i (x, -%,) _д_ dx,- ,j = 1,2, имеют слаi|2 вия (3.15) и учитывая, что члены Pk (x1, x1) бую особенность, выделим только сингулярные члены. Тогда необходимые условия (3.15) примут окончательный вид для регуляризации: 1ЁЦ = (-1)k f 1 х 2 д%. ^(%0 = ( 1) J 4п|x'-%f Х 4n| x'-% K(m)(x', x') + ди( x) | Pk (x', x') дхг I dx' (3.16) +... , t = 1,2,3; k = 1,2, cos(v x, x3) где многоточие обозначает члены со слабой сингулярностью, а числа ., т, l образуют перестановку чисел 1, 2, 3. 4. Регуляризация необходимых условий Вернемся к первому необходимому условию (3.5) и раскроем каждый поверхностный интеграл по верхней и нижней полуповерхностям Гк ={% = (%1, %2, %3): %3 = Y k (%')} , %' = (%1, %2)е S = pr%3=ork, k = 1,2: Kk)(x', x') ' Pk (x', x') ди(x) I dxm ' =Yk(x0" =Yk(x0 2 I .=1 ■ - S 1 u(%) %3 =Yk (%')" 2 dx' V/ 1V 1 Г / ч| cos(x-%,vx) I"1) ^J U (x)l x3=Yf (xO ,g|2 -%2dx' (4.1) %=YYk((x%)) COS(Vx,,) ' . x33 =Yk((x%)) COS(vx, *,)' 4nS|x-%| дvx Очевидно, когда k Ф. в (4.1), соответствующий интеграл не является сингулярным. Когда k =. в первой сумме в (4.1), тогда соответствующий интеграл имеет устранимую особенность при x и во второй сумме из (4.1) соответствующий интеграл имеет слабую особенность, так как порядок сингулярности меньше порядка кратности интеграла. Поэтому, обозначая несингулярные члены многоточием в (4.1) и учитывая (3.14), получаем первое необходимое условие в виде (для k = 1, 2) I3=Yk(I') , , x3 =Yk (x') dx cos( x -|, vx) 2u(i)| (-Dk^j u( x)| x =Yk(x0" I3=Y k (I') Pk (x', | ')| x cos(vx ,x3) du( x) dx' +1 гч ^ '>-j+ 2 2 дм I + : |c(l) (Z ')м |г: dZ + : |dj)(Z Z + Ф, (I'), l = 3,4; k = 1,2, (5.14) i =1 5 i, j=15 j то, учитывая (5.13) и ((5.14) в (5.12), получаем систему линейных интегро-дифференциальных уравнений по отношению к неизвестным м(|', yk (I')), k = 1,2, в двумерной области 5: 2 2 дм L 2 : 4k )(i ')м| г:+: ^fd ^+x| c(k )(Z ')u| г dz+ i=1 i, j=1 д| j i=1 5 2 . дм г + X|Df(ZZ+ gk(I') = 0, k = 1,2, (5.15) i, j=1 5 "Z j где Ak) (I') = aik) ') - aik +2) (|'), Щ) (|') = bj) (|') - bj+2) (| ) , C(k) (Z') = cik) (Z') - cik+2) (Z'), Dj) (Z') = dj) (Z') - dj+2) (Z') , gk (I') = Фк (I')-Фк+2Й'), к = 1,2, которую при помощи граничного условия Дирихле (2.3) на границе L =Г1 пГ2 легко можно свести к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода с регулярным ядром. В силу одномерности этой границы это условие Дирихле не ограничивает общности, так как его размерность на две единицы меньше размерности области D. Таким образом нами установлена Теорема 5.1. Если выполняются условия теоремы 4.1 и условие (5.8) , то граничная задача (2.1) - (2.3) сводится к двумерной системе линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно граничных значений u (|', Yk (|')), k = 1,2 , решения исходной задачи. Возвращаясь назад, вспомним, что из регуляризированных необходимых условий (4.7) получили систему (5.3) интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода du(|)I , „ относительно -U =Y (| ), j = 1,2. Учитывая также, что относительно граничд|з 3 ' ных значений неизвестной функции также получена система (5.15) интегральных уравнений Фредгольма второго рода с регулярным ядром, приходим к следующему утверждению. Теорема 5.2. Если выполняются условия теоремы 5.1, то задача (2.1) - (2.3) является фредгольмовой в классе функций С2(D) П C\D).

Ключевые слова

Fredholm property, regularization, singularity, necessary conditions, nonlocal boundary conditions, three-dimensional Laplace equation, spectral problem, Steklov problem, фредгольмовость, регуляризация, основные соотношения, трехмерное уравнение Лапласа, нелокальные граничные условия, спектральная задача, задача Стеклова

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Алиев Нихан АлиБакинский государственный университетдоктор физико-математических наук, профессор кафедры математических методов прикладного анализаaliyev.nihan@mail.ru
Мустафаева Елена ЮмиддиновнаБакинский государственный университеткандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математикиhelenmust@rambler.ru
Всего: 2

Ссылки

Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Мир, 1981. - 512 с.
Aliyev N.A. and Hosseini S.M. Multidimensional singular Fredholm integral equations in a finite domain and their regularization // Southeast Asian Bulletin Mathematics. 2003. V. 27. No. 3. P. 395-408.
Aliyev N.A. and Hosseini S.M. A regularization of Fredholm type singular integral equations // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2001. V. 26. No. 2. P. 123-128.
Алиев Н.А., Сулейманов Н.С. Исследование решения задачи Стеклова в ограниченной простой области с общими линейными нелокальными граничными условиями. Баку, 1989. Депон. рук. № 1223Az, 30 с.
Алиев Н.А., Сулейманов Н.С. Исследование решения краевых задач, содержащих параметр в граничном условии // Численные методы краевых задач: сб. трудов. Баку: Изд-во Азерб. гос. ун-та, 1989. С. 3-12.
Алиев Н.А., Аббасова А.Х. и Зейналов Р.М. Нелокальные граничные условия задачи Стеклова для уравнения Лапласа в ограниченной области // Прикладная математика и статистика. 2013. № 1. С. 1-6. DOI: 10.11648/j.sjams.20130101.11.
Алиев Н.А., Зейналов Р.М. Задача Заремба - Стеклова для уравнения Лапласа // Научная конференция «Актуальные проблемы математики и механики» для студентов, магистрантов и молодых исследователей Азербайджанской Республики, Баку, 30-31 мая 2012. С. 37-38 (на азербайджанском).
Алиев Н.А., Зейналов Р.М. Задача Стеклова для уравнения Лапласа в одной неограниченной области // Труды Научной конференции «Современные проблемы математики, информатики и экономики», 24 ноября 2010. С. 199-202 (на азербайджанском).
Алиев Н.А., Зейналов Р.М. Задача Стеклова для уравнения первого порядка эллиптического типа // Вестник Бакинского государственного университета, сер. физ.-мат. наук. 2012. № 2. С. 12-20 (на азербайджанском).
Алиев Н.А., Зейналов Р.М. Исследование решения задачи Стеклова для уравнения Коши - Римана с глобальными членами в краевых условиях // Труды Азербайджанской Национальной Академии наук, сер. физ.-тех. и мат. наук. 2010. Т. XXX. № 3. С. 75-79 (на азербайджанском).
Алиев Н.А., Зейналов Р.М. Фредгольмовость задачи Стеклова с условием Лаврентьева -Бицадзе для уравнения Коши - Римана // Вестник Педагогического университета, Баку. 2012. № 1. С. 16-19 (на азербайджанском).
 Об одном методе исследования задачи Стеклова для 3-мерного уравнения Лапласа с нелокальными граничными условиями | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2016. № 6(44). DOI: 10.17223/19988621/44/2

Об одном методе исследования задачи Стеклова для 3-мерного уравнения Лапласа с нелокальными граничными условиями | Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2016. № 6(44). DOI: 10.17223/19988621/44/2