The kinematics of a viscous fluid flow in a channel with a valve.pdf Во многих технологических процессах при переработке материалов в жидком состоянии реализуется транспорт жидкости по трубопроводу, который является частью технологической оснастки. Транспортный трубопровод, как правило, содержит конструктивные элементы специального назначения (соединения типа сужение/расширение, диафрагма, клапаны, краны и т.п.). При расчете расходно-напорных характеристик трубопровода необходимо учитывать потери энергии в потоке за счет конструктивных элементов [1]. Начиная с середины прошлого столетия в этом направлении ведутся интенсивные теоретические и экспериментальные исследования как для различных режимов течения, так и для каналов разной геометрии, в том числе с использованием сложных реологических моделей поведения жидкой среды. Обзор подобных исследований представлен в работах [1-4]. Утверждается, что исследования в данной области являются актуальными и в настоящее время. Это обусловлено не только многочисленными практическими приложениями, но и тем, что имеющиеся экспериментальные данные во многих случаях не согласуются не только между собой, но и с результатами аналитических и численных исследований [5]. Широко распространенным конструктивным элементом, используемым для открытия/закрытия трубопровода, является шаровой затвор. Конструкция шарового затвора позволяет осуществлять полное и частичное перекрытие сечения трубопровода. Течение жидкости в окрестности шарового затвора имеет сложный пространственный характер и его качественное и количественное исследование возможно лишь с использованием современных вычислительных технологий, реализуемых на высокопроизводительных ЭВМ. Имеются попытки численного моделирования течений жидкости в трубопроводах с шаровыми кранами и в системах с шаровыми клапанами с помощью пакетов прикладных программ, например «FLUENT» [6, 7]. Целью данной работы является численное моделирование течения жидкости в плоскости симметрии канала с затвором в положении как полного, так и частичного перекрытия сечения. Постановка задачи Рассматривается ламинарное, стационарное течение ньютоновской жидкости в плоском бесконечном канале шириной D. Область решения в декартовой системе координат схематично изображена на рис. 1. На некотором удалении от входной границе Г и от выходной границы Г5 в канале расположен затвор диаметра D1, который может менять ширину проходного сечения в зависимости от положения запорного элемента Г4. Значения L\ и L2 подбираются такими, чтобы исключить влияние границ Г1 и Г5 на характер течения в окрестности затвора. Геометрия стенки Г2 описывается непрерывной функцией fx), стенки Г3 - (-fx)). Г Рис. 1. Область течения Fig. 1. Flow region Г5 X Задача формулируется в плоской постановке с использованием декартовой системы координат, начало которой располагается во входном сечении. Течение описывается уравнениями движения и неразрывности, которые в безразмерных переменных принимают вид f du du Л Re dp Re I u - + v- 1 =----+ Au , (1) ^ dx dy) 2 dx „ f dv dv Л Re dp Re I u - + v- 1 =---- + Av, (2) ^ dx dy) 2 dy ^= 0. (3) dx dy На твердых стенках (Г2, Г3) и запорном элементе (Г4) выполняются условия прилипания; на входной границе (ГО жидкость поступает с постоянным расходом, распределение скорости при этом соответствует установившемуся течению жидкости в бесконечном канале с заданным постоянным расходом; на выходной границе (Г5) используются мягкие граничные условия для продольной скорости и равенство нулю поперечной. Таким образом, граничные условия записываются в виде (Г0: v=0, u=1.5(1 -y2); (4) (Г2, Г3, Г4): v=0, u=0; (5) (Г5): v = 0, ^ = 0. (6) dx Здесь: u, v - продольная и поперечная компоненты вектора скорости соответственно; p - давление; Re = pUL/ц - число Рейнольдса (L=D/2); р - плотность; ц вязкость. В качестве масштабов обезразмеривания выбраны следующие величины: длина - полуширина входного канала D/2; скорость - среднерасходная скорость во входном сечении U; давление - величина pU2/2 . Используя безразмерные функцию тока и вихрь, определяемые выражениями dv du dx' dy' dx dy' перепишем постановку (1) - (6) в переменных функция тока - вихрь дю дю 1 u--+ v- = -Дю , dx dy Re ю = 3 y; (11) (12) (13) V > = -ю : ..3Л (Г1): y = 1 +1.5 (Г2, Г4): y = 2, = 0; dn1 (Г3): У = 0, fU 0; dn1 (Г5): ^ = 0,^ = 0. dx dx (7) (8) (9) (10) В уравнениях (11), (12) n1 соответствует направлению внешней к границе нормали. Функция fx) в безразмерном виде записывается следующим образом: 0.5 x e[L1/L, L /L + 2l], R2 -|x - L1 - l f (x) = 1, x g[L1/ L, L1/ L + 21 ], где R = -D- - безразмерный радиус затвора, образом, решение задачи определяется критериями подобия Re, геометрическими параметрами R и s=S/D - степень закрытия запорного элемента (рис.1). = 4яГ-1 . Метод расчета Для решения сформулированной задачи в переменных функция тока - вихрь используется метод установления [8]. Физическую область течения с криволинейной границей f(x) преобразуем в прямоугольную введением новых координат | = x, n = y / f (x). В преобразованной области решения строится квадратная разностная сетка с шагом hQh ={§.■ = .h, n. = jh, . = 0,...,N1, j = 0,...,N2}. Уравнения (8), (9) с учетом преобразования координат записываются в разностном виде с применением схемы продольно-поперечной прогонки [9]. Конвективные слагаемые в уравнении переноса вихря аппроксимируются с помощью схемы против потока [10]. VD12 - D2 D l = Таким Значение вихря на стенке определяется выражением д 2ш ю =--^, дп2 для разностного представления которого используется формула Тома [22]. Профиль функции fx) в малой окрестности точек L1 / L, L1 /(L + 2l) сглаживается полиномом третьей степени, обеспечивающим непрерывность самой функции, а также ее первой и второй производных. Для проверки аппроксимационной сходимости методики расчета была проведена серия вычислительных экспериментов на последовательности сеток. Сходимость демонстрируется по распределению скорости в поперечных сечениях x = L1 /L и x = Ц /(L +1) (рис. 2). Рис. 2. Распределение продольной скорости в сечениях x = Lj/L (а) и x = L1/(L +1) (b): Re = 1, n = 1, R = 2 (кр. 1 - 1/10, кр.2 - 1/20, кр. 3 - 1/40, кр. 4 - 1/80, кр. 5 - 1/160) Fig. 2. Distribution of the axial velocity in cross-sections (а) x = L1 /L and (b) x = L1 /(L +1) for Re = 1, n = 1, R = 2 ((1) 1/10, (2) 1/20, (3) 1/40, (4) 1/80, (5) 1/160) Анализ результатов показывает аппроксимационную сходимость метода. Максимальные расхождения между результатами, полученными на сетках с шагом 1/80 и 1/160, в значениях скорости составляют 0.02 %. Все дальнейшие вычисления проведены на сетках с шагом 1/80. Результаты расчетов Расчеты показали, что в случае установившегося течения жидкости в рассматриваемом канале с полностью открытым затвором распределения характеристик симметрично относительно плоскости у=0, при этом можно выделить три зоны в области течения. В окрестности входной и выходной границ наблюдаются зоны одномерного течения, характерного для установившегося движения в бесконечном канале с профилем скорости (4), в окрестности затвора движение имеет двумерный характер. Поля компонент скорости в случае малых значений чисел Рей-нольдса демонстрируются на рис. 3, а распределения линий тока в зависимости от Re представлены на рис. 4. Рис. 4. Распределения изолиний функции тока ^b^def^, - Re = 0.1, 1, 5, 10, 20, 50, 80) Fig. 4. Streamline distributions for Re = (a) 0.1, (b) 1, (c) 5, (d) 10, (e) 20, (f) 50, and (g) 80 Видно, что распределения линий тока и продольной скорости при малых Re симметричны также и относительно плоскости x = xc, где xc - координата центра затвора. Увеличение числа Re приводит к возникновению в области затвора зон циркуляционного движения. Последние формируются в левой части затвора (рис. 4, d) и по мере увеличения Re занимают всю полость (рис. 4, g). Распределения характеристик течения в области двумерного течения при Re = 50 представлены на рис. 5. Видно, что внутри затвора ширина эффективного сечения, через которое протекает жидкость, уменьшается, что приводит к росту продольной скорости в окрестности плоскости симметрии. Параметрические расчеты показывают, что при Re < 1 распределения кинематических характеристик практически не меняются. -0.13 -0.09 -0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Рис. 5. Картина течения Re = 50 (а, b - распределения v, u) Fig. 5. Flow pattern for Re = 50 (distributions of the velocity components (a) v and (b) u) Влияние радиуса затвора на картину течения демонстрирует рис. 6, где представлены распределения линий тока при различных значениях R для двух чисел Рейнольдса. В случае Re=1 с ростом размеров затвора характер течения не меняется, линии тока плавно огибают его контур. Частичное закрытие затвора приводит к формированию в зоне двумерного течения несимметричной картины. Распределения составляющих вектора скорости для различных значений Re в случае, когда запорный элемент перекрывает половину сечения канала, представлены на рис. 7 и 8. Влияние степени закрытия затвора на картину течения демонстрирует рис. 9. При малых значениях Re линии тока плавно огибают контуры канала, а по мере закрытия затвора за ним формируется циркуляционная зона (рис. 9, a,b,c). Перед элементом возникает зона циркуляционного движения, размеры которой практически не меняются при изменении числа Рейнольдса. При Re=10 практически вся жидкость за затвором вовлечена в циркуляционное движение, а размеры циркуляционной зоны в нижней части потока уменьшаются по мере закрытия затвора (рис. 9, d,ef). 1 d 1. 0.502 Рис. 6. Распределения изолиний функции тока при различных R (а,Ь,е - Re = 1, d,ef- Re = 10; a,d - R = 1.6, b,e - R = 1.8, cf - R = 2.0) Fig. 6. Streamline distributions for various R (Re = (а,Ь,с) 1, and (d,ef 10; R = (аД) 1.6, (b,e) 1.8, and (cf 2.0) 12 -1.1 -0.9 -0.7 -0.5 -0.3 -0.1 0.2 0.4 0.6 -0.1 0.3 0.7 1.1 1.5 1.9 2.3 2.7 -i-1-1- i-1-1- -2"l-1-1-1 ' I1 -1-r- 7 8 9 10 11 12 6 7 8 9 10 11 12 Рис. 7. Картина течения Re = 1, s = 0.5 (а, b - распределения v, u) Fig. 7. Flow pattern for Re = 1, s = 0.5 (distributions of (а) v and (b) u) 1 -1.4-1.2 -1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 a ---^ tllip '6 7 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4 1 01 -1 I I I-1-1 -2--г-T-J I -1-1- 9 10 11 12 13 26 7 8 9 10 11 12 13 2 Рис. 8. Картина течения Re = 10, s = 0.5 (а, b - распределения v, u) Fig. 8. Flow pattern Re = 10, s = 0.5 (distributions of the velocity components (а) v and (b) u) 0 -1 -2 2 1 0 -1 -2 2 1 2 1 6 7 8 9 10 11 12 6 7 8 9 10 11 12 Рис. 9. Распределения изолиний функции тока при различных s (а,Ъ,с - Re = 1, d,ef- Re = 10; а,d - s = 0.25, b,e - s = 0.5, cf- s = 0.75) Fig. 9. Streamline distributions for various s (Re = (a,b,c) 1, and (d,ef 10; s = (а,сТ) 0.25, (b,e) 0.5, and (cf) 0.75) 0 -1 -2 Заключение В результате проделанной работы выполнено математическое моделирование течения ньютоновской жидкости по каналу с конструктивным элементом типа затвора. В результате параметрических исследований получены картины течения в зависимости от числа Рейнольдса в диапазоне изменения от 0.1 до 80, радиуса затвора - от 1 до 2, степени закрытия запорного элемента - от 0 до 0.5. Показано разделение потока на три характерные зоны: зону двумерного течения в окрестности затвора и зон одномерного течения вне его. Продемонстрировано влияние значений определяющих параметров на формирование и размеры выделяемых зон в потоке.

Скачать электронную версию публикации