On the theory of 2-ordered groups.pdf В [1, 2] приведены различные примеры 2-упорядоченных групп и доказаны некоторые их свойства. В данной статье эта работа продолжена: обобщена теорема о мощности множества элементов порядка n и исследованы свойства порядка на прямой le,a, где о(а) = 2. Будем пользоваться терминологией теории 2-порядка, приведённой в [1, 2]. 1. О порядке на прямой lea Пусть (G, -, Q - невырожденная 2-упорядоченная группа, а е G, o(a) = 2. Рассмотрим прямую le,a = {х е G| Z(a, e, х) = 0}. В [2, с. 37] доказано, что le,a < G. В силу невырожденности группы G имеем le,a Ф G. Следовательно, 3ceG (Z(c, a, e) Ф 0). Так как Z(c, a, e) = -Z(ca, a, e), то, не нарушая общности, будем считать, что Z(c,a, e) = 1. (1) Для любых х, у е le,a положим * < У ^ Zc(x, y) = Z(c, х, y) = 1. Известно [3, с. 19], что функция Zc задаёт на прямой le,a отношение линейного порядка. Заметим, что относительно этого порядка a < е. Однако, так как а е le,a, то группу (le,a, -) нельзя линейно упорядочить. Наша задача: выделить в ней подгруппу, которая относительно указанного порядка Zc является линейно упорядоченной. Пусть Р = {х е le,a | х > e}, H = P u P"1. Справедлива следующая Теорема 1.1. Если |P| Ф 1, то (Н, -, Zc) - линейно упорядоченная группа. Докажем предварительно ряд утверждений. Лемма 1.2. Пусть х е Р. Тогда функции Zc, Zxc, Qcx, Zx-ic, Z -1 задают на прямой lea один и тот же порядок, то есть Z = Zxс = Zсx = Z x-1c = Zcx-1 . (2) Доказательство. Согласно [3, с. 19], для того чтобы доказать, что Zа = Zb, достаточно найти элементы u, v е lea, для которых выполнено равенство Za(u, V) = Zb(u, V). Так как Z(c, a, е) = Z(ca, a2, a) = -Z(ca, a, e), то [3, с. 19] Vu, V е lea [Zc(u, v) = - Zca(u, v)], то есть функции Zc и Zca задают на прямой lea противоположные порядки. Так как a е Z(G) [1, c. 6], то Zc Zca Zac . (3) Пусть х е Р и х > е (для х = е равенства (2) очевидны). Тогда Z(c, е, х) = 1. Отсюда, используя (3), получаем Z(ca, a, xa) = -Z(ca, xa, a) = Z(c, xa, a) = 1, то есть xa < a. Применяя (1), получаем xa < a < e < x. Отсюда xa < x, то есть Z(c, xa, x) = 1. Таким образом, Z(cx4, a, е) = Z(x lc, a, е) = 1, поэтому Zcx-1 (a, е) = Z x-1c (a, е) = Zc(a, е). Следовательно, Z -1 = Z -1 = Zс. cx x c Так как Z(c, е, x) = Z(x :c, е, x) = Z(c, x, x2) = 1, Z(c, е, x) = Z(cx, x, x2) = Z(xc, x, x2) = Z(c, x, x2) = 1 то x < x2. И, наконец, из равенств следует, что Zс Zсx Zxс. # Следствие 1.3. Если х > е, то х 1 < е. Доказательство. Истинность импликации вытекает из равенств Z(c, е, х) = Z(cx4, х"1, е) = Z(c, х"1, е) = 1. # Заметим, что обратное утверждение ложно, например, для х = a. Предложение 1.4. Пусть Р = {x е le a, x > е}, H = P u P4. Тогда (Я, •) - группа. Доказательство. Так как Н с le a, то достаточно проверить замкнутость операции умножения на Н. а) Пусть х, у е Р \ {е} и х е или ху < e. Если ху > е, то ху е Н. Пусть ху < e. Покажем, что (ху)1 е Р. Так как у е Р1, то у-1 е Р, у-1 > е. Применяя лемму 1.2 для элемента у1, имеем Z(c, ху, е) = СО^у-1, х, у-1) = Z(c, х, у-1) = 1. Следовательно, С^х1, е, у-1х-1) = Z(c, е, у-1х-1) = 1, то есть e < (xy)-1, отсюда (ху)-1 е Р и ху е Н. г) Аналогичные рассуждения можно провести для случая х е Р1, у е Р. # Предложение 1.5. Множество Р = (x е le,a | Z(c, е, х) = 1} u {e} является положительным конусом группы (Н, •). Доказательство. Согласно критерию положительного конуса линейного порядка в группе [4, с. 26], множество Р должно удовлетворять условиям P u P-1 = Н; P n P-1 = {e}; P • P с P; Vh е H (h-1Ph с P). Из определения множества Н и доказательства пункта а) предложения 1.4 следует истинность первых трёх условий. Докажем свойство инвариантности множества Р. Пусть х е Р, х > e и h е P, h > e. Так как Z(c, е, х) = Z(ch, h, х^ = 1 и h > e, то Z(c, h, хh) = 1. Отсюда Z(h-1 c, e, h-^h) = Z(c, e, h-^h) = 1, то есть hГlхh е Р. Пусть х е Р, h е P1. Следовательно, х > e, h-1 > e. Так как Z(c, е, х) = Z(h-1c, h-1, h-1х) = Z( c, h-1, h-^) = 1, то Z(ch, e, h-^h) = Z(c, e, h-^h) = 1, то есть hГlхh е Р. # Истинность теоремы 1.1 непосредственно следует из предложений 1.4 и 1.5. В заключение приведём примеры прямых le,a и соответствующих им подгрупп Н в некоторых 2-упорядоченных группах. 1) Пусть (С*, •, п) - 2-упорядоченная группа ненулевых комплексных чисел, где функция 2-порядка есть естественная ориентация п. Имеем a = -1, l1,-1 = R*, H = R+. 2) В циклической группе (С2и, •, Z) [4, с. 98] /1,-1 = {-1, 1}, H = {1}. 3) Пусть (Г, -, Zi) - произвольная линейно упорядоченная группа с функцией линейного порядка Z1, Т0 - тороидальная группа. Согласно Сверчковскому [4, с. 97], G = (T0 х Г, -, Z1) - циклически упорядоченная группа, инволюцией которой является элемент а = (-1, е). Так как значение Z1(g1, g2, g3) равно 0 тогда и только тогда, когда, по крайней мере, две координаты точки совпадают, то l(1,e),(-1,e) = {(1, е), (-1, е)} и H = {(1, е)}. На группе (T0 х Г, -, Z) удалось задать отличный от Z1 2-порядок [5, с. 25]. Пусть g = g2, g3), gk = (tk, Yk), tk e T0, Yk e Г, k e {1, 2, 3}, t = (t1, t2, ts), y = (Y1, Y2, Y3). Обозначим функцию двумерного циклического порядка на Т0 через ю и положим ra(t), если |set (t)| = 3; Z1 (Y1, Y 2 )ro(t3 4, e, t11t3), если t1 = t2; Z 2 (Y 2, Y3 )ro(t11t2, e, t2 4), если t2 = t Z1 (Yз, Y1 )ю(t-1tз, e, 0, если |set(t)| = 1. Z2 (g) = Z1 (y 3, Y1 )ro(t21t3, e, t3 lt2), если t1 = t3; Тогда Ww = {(-1, Y), (1, Y) | Y e Г} и H = {(1, y) | Y e Г}. 4) Пусть (F, F') - двумерно упорядоченное поле с базой F0, где Fu = {х e F | Z(0, 1, х) > 0} - верхний конус поля F [3]; F0 = {х e F| Z(0, 1, х) = 0} [3]. Элемент a e F называется бесконечно близким к базе F0, если Vn Vr e F0 (r < a) ^ (a - r)n e Fu или Vn Vr e F0 (r < a) ^ (a - r)n e -F". Множество B бесконечно близких к базе F0 элементов поля F относительно операций сложения и умножения образует бесконечно узкое поле (В, +, -) [6]. Бесконечно узкие поля допускают как линейное, так и двумерное упорядочивание [7, 8]. В частности, Q(n) - бесконечно узкое поле. Произвольный элемент b этого поля представим в виде b = fn), g (п) где f(х), g(x) e Q[x]. * Мультипликативную группу (Q (п), -) этого поля можно двумерно упорядочить следующим образом [7]: ' Vb e Q*(n) (Z(0, 1, b) = 1 о [^g(X)^ |x=b > °). Тогда a = -1, l^ = Q*, H = Q+. В общем случае бесконечно узкого поля В имеем а = -е, 4,-е = F0, H = F+. 2. О мощности множества элементов порядка n в 2-упорядоченной группе Теорема о том, что в произвольной невырожденной 2-упорядоченной группе (G, •, Z) существует не более одной инволюции, доказана в [2, c. 34]. Пусть n е N и Н = {х е G | хп = e}. Так как T(G) с Z(G) [1, c. 6], то Н < G и Н -абелева. Следовательно, (Н, •, Z) - локально конечная 2-упорядоченная группа. Рассмотрим случай, когда Z^ 0 на Н. Нашей целью является доказательство следующего утверждения. Теорема 2.1. Пусть (G, •, Z) - невырожденная 2-упорядоченная группа, n е N и Н = {х е G | хп = e}. Если Z^ 0 на Н, то |H| < n. Известно, что периодическая часть циклически упорядоченной группы вкладывается с сохранением порядка в группу (С, •) комплексных корней из 1 [4, c. 98]. Так как Т(Н) = Н, то для доказательства теоремы достаточно убедиться, что (Н, •, Z) - циклически упорядоченная группа. Истинность этого утверждения доказана методом математической индукции в [9, c. 32] для произвольных невырожденных n-упорядоченных групп. (Каждая локально конечная n-упорядоченная группа с невырожденным порядком является n-циклически упорядоченной.) Для n = 2 это доказательство более наглядно и конструктивно. Приведём его. Напомним, что известное определение циклически упорядоченной группы [4, c. 97] равносильно следующему. Определение 2.1. Невырожденная 2-упорядоченная группа (G, •, Z) называется циклически упорядоченной, если в каждом невырожденном её подмножестве (Х4, Z) каждый элемент из множестваХ4 является в нём внешней точкой [9, c. 24]. Нам понадобится также понятие отделимой точки в 2-упорядоченном множестве (Х, Z), введённое в [10]. Определение 2.2. Пусть (Х, Z) - 2-упорядоченное множество. Элемент а е Х называется точкой, отделимой в (Х, Z), если существует грань Р с Х, такая, что Z(P, а) = 1 и Vx е Х \ {a} (Z(P, х) < 0) или Z(P, а) = -1 и Vx е Х\ {a} (Z(P, х) > 0). Здесь же [10, с. 238] доказано Предложение 2.2. Если точка а отделима в (Х, Z), а е Х4, Х4 сХ, множество (Х4, Z) - невырожденное, то точка а отделима в (Х4, Z). Приведём план доказательства теоремы 2.1. 1) Пусть Х4 с Х, а е Х4. Докажем, что если точка а отделима в (Х4, Z), то а -внешняя точка в (Х4, Z). 2) Покажем, что в каждом конечном невырожденном 2-упорядоченном множестве (Х, Z) существует отделимая точка. 3) Убедимся, что в каждой конечной невырожденной 2-упорядоченной группе все её элементы являются в ней отделимыми точками. Из пунктов 1)-3) непосредственно следует, что невырожденная локально конечная группа (Н, •, Z) является циклически упорядоченной. Действительно, пусть Х4 с Н и (Х4, Z) - невырожденное множество. Рассмотрим группу S = ((Х4), •, Z). Очевидно, S - конечная невырожденная 2-упорядоченная группа. Согласно пункту 3) все её элементы являются отделимыми в (S, Z) точками. Из предложения 2.2 следует, что все они отделимы в (Х4, Z). Осталось применить пункт 1). Таким образом, из истинности пунктов 1)-3) истинность теоремы 2.1 будет доказана. При доказательстве пунктов 1)-3) будем пользоваться следующей аксиоматикой 2-упорядоченного множества [11]. Пусть Z : Х3 ^ {-1, 0, 1}, функция Z - антисимметрична (то есть меняет значение на противоположное при каждой перестановке двух аргументов). Пара (X, Z) называется 2-упорядоченным множеством, если Z удовлетворяет следующим условиям: С1. Если Х4 с Х, множество (Х4, Z) - невырожденное, то в (Х4, Z) существует, по крайней мере, две внешние грани. С2. ЕслиХ2 сХ, a, b, c е X и Z(X2, а) = Z(X2, b) = Z(X2, c) = 1, Z(X1, а, b) = Z(X1, b, c) = 1, то Z(X1, а, с) = 1. С3. Пусть S с X, |S| < 6; G', G" - грани в (S, Z), причём Vx е G" (Z(G', x) = 0). Тогда существует e = ±1, такое, что Vx е S (Z(G', x) = eZ(G", x)). Это одна из систем аксиом 2-порядка, предложенных в работах Г. Г. Пестова [3, 11]. Там же рассмотрен вопрос об их равносильности. Предложение 2.3. Пусть (X, Z) - 2-упорядоченное множество; X4 сX, а е X4. Если точка а отделима в (X4, Z), то a - внешняя точка в (X4, Z). Доказательство. Пусть X4 = {a, x1, x2, x3} и точка а - отделима в (X4, Z). Не нарушая общности, можно считать, что Z(x1, x2, а) = 1 и Z(x1, x2, x3) < 0. Следовательно, (X4, Z) - невырожденное множество. Согласно аксиоме С1, в (X4, Z) существует внешняя грань Р. Если а е Р, то а - внешняя в (X4, Z). Пусть а £ Р. Так как Р Ф {x1, x2}, то Р = {x1, x3} или Р = {x2, x3}. Рассмотрим оба случая. Z(x1, x3, x2) = Z(x1, x3, а) Ф 0, отсюда Z(x1, x3, а) = 1. Следовательно, Z(x1, а, x3) = Z(x1, а, x2) = -1, то есть точка а - внешняя точка в (X4, Z). Аналогично, Z(x2, x3, x1) = Z(x2, x3, а) = -1. Значит, Z(x2, а, x3) = Z(x2, а, x1) = 1, отсюда - точка а является внешней точкой в (X4, Z). # Истинность пункта 1) доказана. Предложение 2.4. В каждом конечном невырожденном 2-упорядоченном множестве (Х, Z) существуют отделимые точки. Доказательство. Пусть (Х, Z) - конечное невырожденное 2-упорядоченное множество. Согласно [12, с. 31], во множестве Х существует нестрогая внешняя грань Р = {х1, х2}, такая, что Vх е Х (Z(x1, х2, х) > 0). Так как Z^ 0 на Х, то За е Х (С(х1, х2, а) = 1). Рассмотрим прямую /х1х2 = {х е Х | С(х1, х2, х) = 0}. Линейно упорядоченное множество (/х1,х2; Za) является конечным. Следовательно, в нём существуют наибольший и непосредственно предшествующий ему элементы b и к соответственно. Таким образом, fZ а (к, b) = Z(a, к, b) = 1, (4) [Vx е /х1,х2 \{b} (Za (к, х) < 0). Покажем, что элемент b - отделимая точка во множестве (Х, Z). Пусть Y = X\ /х1х2. Так как а е Y, то Y Ф 0. Для любых u, v е Y положим u < v » Z(k, u, v) < 0. Убедимся, что < - отношение линейного предпорядка на множестве Y. Очевидно, что < является рефлексивным и связным отношением. Покажем, что оно транзитивно. Лемма 2.5. Пусть (Х, Z) - конечное невырожденное 2-упорядоченное множество, тогда Vх е Х ^(хь х2, х) = Z(k, b, х)). Доказательство. Пусть х0 е Х. Рассмотрим множество S = {х1, х2, к, b, a, х0}. Очевидно, |S| < 6. Так как х1 Ф х2, к Ф b, Z(x1, х2, а) Ф 0, Z(k, b, а) Ф 0 то G1 = {х1, х2}; G2 = {к, b} грани в (S, Z). Так как к, b - элементы прямой /х1х2, то Z(G1, к) = Z(Gb b) = 0. Согласно свойству элемента а и (4), Z(G1, а) = Z(G2, а). Применив аксиому С3, имеем Z(Gb х0) = Z(G2, х0), то есть лемма доказана. Пусть х, y, z е Y, х < y, y < z. Следовательно, Z(k, х, у) < 0; Z(k, у, z) < 0. Убедимся, что Z(k, х, z) < 0. (5) Так как х, y, z £ /х1х2, то согласно лемме Z(k, b, х) = 1; Z(k, b, у) = 1; Z(k, b, z) = 1 (6) Рассмотрим все возможные случаи: а) Z(k х, у) = Z(k, у, z) = -1. Так как Z(k, у, х) = Z(k, z, у) = 1, то применяя (6) и аксиому С2, получаем Z(k, х, z) = -1, неравенство (5) - истинно. б) Z(k, х, у) = -1; Z(k, у, Z) = 0. Пусть S = {k, y, z, x, b}. Очевидно, G1 = {к, y}; G2 = {к, z} грани в (S, Z), причём Z(G1, к) = Z(G1, z) = 0. Так как согласно (6), Z(k, у, b) = Z(k, z, b), то согласно С3, Z(k, у, x) = Z(k, z, x) = 1, отсюда Z(k, x, z) = -1, то есть неравенство (5) - истинно. в) Случай Z(k, х, у) = 0; Z(k, у, z) = 1 рассматривается аналогично случаю б). г) Z(k, х, у) = Z(k, у, z) = 0. Пусть S = {k, x, y, z, b}. Предположим, что Z(k, x, z) = 1. Тогда G1 = {k, y}; G2 = {x, z} грани в (S, Z), такие, что Z(G1, x) = Z(G1, z) = 0. Согласно С3, 3e = ±1 Vs е S (Z(k, y, s) = eZ(x, z, s)), но Z(k, y, k) Ф eZ(x, z, k). Получили противоречие. Таким образом, Z(k, х, z) < 0 и отношение < на Y транзи-тивно. Так как Y является конечным множеством, то Зс е Y Vx е Y (x < c), то есть Vx е Y (Z(k, х, с) < 0). (7) Покажем, что грань Р = {k, c} отделяет элемент b во множестве (X, Z). Согласно (7), Vx е Y (Z(k, с, х) > 0). (8) Так как с £ lx1x2, то Z(x1, х2, а) = Z(x1, х2, с), значит, функции порядка Zс и Za на прямой lx1x2 равны: Zс = Za. Из (4) получаем Z(k, c, b) = Z(k, a, b) = -1; (9) Vx е lx1,x2 (x Ф b ^ Z(k, c, x) = Z(k, a, x) > 0). (9) Из (8) и (9) следует, что элемент b является точкой, отделимой в (X, Z). # Пункт 2) доказан. Следствие 2.6. В каждой конечной невырожденной 2-упорядоченной группе (G, •, Z) все элементы являются отделимыми во множестве (G, Z) точками. Доказательство. Пусть с - отделимая в (G, Z) точка и Р = {х1, х2} - грань, такая, что Z(x1, х2, с) = 1 и Vx е G \{c} (Z(x1, х2, х) < 0). Пусть g e G. Тогда Z(gc_1X1, gc~'x2, g) = 1. Пусть х0 Ф g. Значит, cg~1х0 Ф с, отсюда Z(X1, Х2, cg4X0) < 0. Тогда Z(gc_1X1, gc4X2, Х0) < 0. Таким образом, произвольный элемент g e G является отделимой в (G, Z) точкой. # Пункт 3) доказан. Таким образом, теорема 2.1 доказана полностью.

Скачать электронную версию публикации