On the optimization formulation of the coefficient inverse problem for a parabolic equation with an additional integral .pdf Обратные задачи для уравнений с частными производными могут быть сведены к задачам оптимального управления соответствующими системами. Например, обратные задачи для уравнений тепломассообмена могут рассматривается как задачи оптимального управления тепловыми режимами технических объектов. При этом управляющие воздействия обычно входят в коэффициенты уравнений тепломассообмена или граничные условия для них. Эти воздействия должны быть определены таким образом, чтобы удовлетворить условия. Обычно эти критерия качества составляются на основе дополнительных информации и их называют функционалами невязки, или целевыми функционалами. Одним из основных типов обратных задач для уравнений с частными производными являются задачи, в которых подлежат определению коэффициенты уравнений или величин, в них входящих, по некоторой дополнительной информации. Такие задачи называются коэффициентными обратными задачами для уравнений с частными производными. В работе А.Н.Тихонова [1] предложена идея использования методов теории оптимального управления для решения обратных задач. В работах [2-7] и др. обратные задачи об определении коэффициентов соответствующих уравнений с частными производными сводились к задачам оптимизации для этих уравнений с управлениями в коэффициентах, т.е. исследовались оптимизационные постановки коэффициентных обратных задач. Во многих этих работах дополнительные условия, по которым подлежат определению коэффициенты уравнений, являются локальными. Оптимизационные постановки коэффициентных обратных задач с дополнительными нелокальными условиями мало изучены. В данной работе рассматривается оптимизационная постановка одной коэффициентной обратной задачи для параболического уравнения с целевым функционалом, соответствующим дополнительному интегральному условию. Исследованы вопросы корректности оптимизационной постановки обратной задачи. Доказана дифференцируемость по Фреше целевого функционала и найдено выражение для его градиента. Установлено необходимое условие оптимальности в виде вариационного неравенства. 1. Постановка задачи Пусть управляемый процесс описывается в QT = {(x,t)eR2:00, q1 >q0 >0 - заданные числа. Поставим следующую коэффициентную обратную задачу типа оптимального управления: среди всех допустимых управлений и(x, t) = (к (x, t), q (x, t))eV найти управление и» (x, t) = (к» (x, t), q» (x, t)) e V, минимизирующее функционал t i J (u) = 11K (x, t)u (x, t; u) dx - E(t) 0 0 где K (x, t )e Lx (QT), E (t )e L2 (0, T) - заданные функции, причем |K (x, t)| 0 . Эту задачу ниже будем называть задачей (1) - (5). Обозначения используемых в работе функциональных пространств соответствуют принятым в [8, с. 12-17]. Ниже положительные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин и допустимых управлений, обозначаем через Mi (i = 1,2,...). Под решением краевой задачи (1) - (3), при каждом фиксированном управлении u = u(x,t) e V , будем понимать обобщенное решение из V21,0 (QT), т.е. функцию u = u (x, t) = u (x, t; u)e V21,0 (QT), удовлетворяющую для всех П = П(x, t)e W\ (QT), n(x,T) = 0 интегральному тождеству t jj[-unt + к(x,t)uxnx + q(x,t)un]dxdt = ^(x)n(x,0)dx + Ц f (x,t)ndxdt. (6) QT 0 Qt При сделанных предположениях краевая задача (1) - (3) имеет единственное обобщенное решение u = u (x, t; u) из V21,0 (QT) при каждом фиксированном u = u(x,t) e V и справедлива оценка [8, с. 181-189] К-(QT) = IuQt = ™aTl|u (x,t; U)L2 (0,i)+llu^lL2 (QT) < M1 [llfll L (QT )+IMIl2 (0,/)] . (7) 2 dt , (5) Более того, это решение принадлежит также пространству W22,1 (QT), удовлетворяет уравнению (1) при почти всех (x,t) е QT и справедлива оценка [8, с. 203-211] INIw22,1(qt) < M1 [lMlw21(0,iO +1 f\V2(q )] . (8) Используя оценки (8) теорем вложения [8, с.78; 9, с. 33] и рассуждая аналогично работе [10] можно показать, что для решения краевой задачи (1) - (3) справедлива также оценка INL(QT) +1(qT ) * M2 [IMk(0,,) +1f wl2(qT)] . (9) Из оценки (7) следует, что функционал (5) определен на V и принимает конечные значения. Отметим, что функционал (5) нелинеен и исследование его выпуклости весьма сложно. Задача (1) - (5) тесно связана с коэффициентной обратной задачей, заключающейся в определении функций {u (x, t; и), k (x, t), q (x, t)}, удовлетворяющих условиям (1) - (4) и дополнительному условию i | K (x, t)u (x, t; u)dx = E (t), 0 < t < T . (10) 0 Функционал (5) является функционалом невязки в L2 (0, T) соответствующей условию (10). Если в задаче (1) - (5) окажется, что существует управление и„(x,t) = (k„(x,t),q„(x,t))е V, такое, что J(o„) = J„= inf {J(и): ие V} = 0, то это управление решает обратную задачу (1) - (4), (10). Задача (1) - (5) является задачей оптимального управления для параболического уравнения с управлениями в коэффициентах. Такие задачи при других целевых функционалов исследованы в работах [10-12] и др. 2. Корректность постановки задачи Теорема 1. Пусть выполнены условия, принятые в п. 1. Тогда множество оптимальных управлений задачи (1) - (5) V„={u„ е V: J(о„) = J„} не пусто, слабо компактно в H и любая минимизирующая последовательность {un } = = {(kn (x, t), qn (x, t))} с V функционала (5) слабо в H сходится к множеству V„. Доказательство. Множество V, определяемое равенством (4), выпукло, замкнуто и ограничено в рефлексивном банаховом пространстве H , и поэтому оно слабо компактно в H [13,с. 49]. Покажем, что функционал (5) слабо в H непрерывен на множестве V . Пусть и(x, t) = (k(x,t),q(x,t))е V - некоторый элемент, {un (x, t)} = {(kn (x,t), qn (x,t))} с V - произвольная последовательность, такая, что un ^ и слабо в H , т.е. kn (x, tk (x, t) слабо в W2, (Qt ); (11) qn (x, t) ^ q (x, t) слабо в L2 ( Qt ). (12) Из (11) и компактности вложения W2, (Qt ) ^ L (Qt ) [8, с. 75] следует, что kn (x, t) ^ k (x, t) сильно в L (Qt ), (13) где г-, > 2 - произвольное конечное число. Кроме того, в силу однозначной разрешимости краевой задачи (1) - (3), каждому управлению un e V соответствует единственное решение un = u (x, t; un) из W22,1 (QT) задачи (1) - (3) и справедлива оценка ,2,1(0. )< M3 (n = l2, -).. (14) ' nllW22,1(QT т.е. последовательность {un} равномерно ограничена в пространстве W22,1 (QT). Тогда из (14) и компактности вложения W22,1 (QT) ^ L (QT) [9, с. 33] следует, что из последовательности {un} можно извлечь подпоследовательность {un }, такую , что un (x, t) ^ u (x, t) слабо в W22,1 (QT) и сильно в L (QT ), (15) где r2 > 2 - произвольное конечное число, u (x, t) - некоторый элемент W2,1 (Qt ). Покажем, что u (x, t) = u (x, t; u), (x, t)e QT, т.е. u (x, t) является решением задачи (1) - (3), соответствующим управлению ue V . Ясно, что справедливы тождества JJ[-unm n + кпп (xt )unmx nx+qnm (xt )un]dxdt = (16) QT i = J

Скачать электронную версию публикации