A composite surface close to pseudo-minimal.pdf 1. Постановка задачи Автор продолжает исследование о моделировании деформированного лепестка осесимметричного параболического рефлектора [1-6]. Схема моделирования формы деформированного лепестка сетеполотна осесимметричного рефлектора, предложенная в [7], разработана для изотропного упругого материала, и не видно способов адаптировать её для ортотропного сетеполотна. Автором в [1, 6] предложена методика моделирования формы ортотропного упругого материала, основанная на использовании поверхности, для которой отношение главных кривизн есть величина постоянная (выражающаяся через отношение коэффициентов растяжения материала в двух ортогональных направлениях. Такая поверхность названа псевдоминимальной. В [1] методика адаптирована под конкретную ситуацию (лепесток сетеполотна осесимметричного рефлектора). Работа [6] посвящена вопросам более общего характера. Доказана теорема существования (широта класса псевдоминимальных поверхностей оказалась такая же, как и для минимальных поверхностей - две функции одного аргумента, то есть - в принципе -псевдоминимальная поверхность указанного веса [6] определяется граничной линией). Данные о широте класса допускают иное истолкование: возможность (теоретическая!) построить составную псевдоминимальную поверхность, присоединяя к одной плоской линии семейство других плоских линий. Пример построения такой поверхности (она задается вектор-функцией) строится в данной статье. Для этой же поверхности строится явное задание. В работе [1] применен способ моделирования ортотропных свойств лепестка сетеполотна осесимметричного рефлектора, основанный на зависимости отношения главных кривизн поверхности сетеполотна от коэффициентов растяжения в указанных направлениях. На этом пути автор пришел к понятию псевдосредней кривизны и псевдоминимальной поверхности [6]. А именно, если главные кривизны поверхности Z : r = r (u, v) e C2 упорядочены номерами (k1 и k2), то псевдосредней кривизной веса L называется величина HL = kj + Lk2, (L = const, L Ф 0), а поверхность, для которой Hl = 0, (1) называется псевдоминимальной поверхностью веса L. Ясно, что при L = 1 получаем минимальную поверхность. Если отсутствует правило упорядочения главных кривизн, то, имея в виду условность нумерации, говорим об ослабленном условии псевдоминимальности в виде (k1 + Lk2)(Lk1 + k2) = 0 , которое, очевидно, от перемены номеров не меняется. Пусть gn, g12, g22 - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности Z , а bu ,b12 ,b22 - коэффициенты второй квадратичной формы. Тогда ослабленное условие псевдоминимальности веса а запишется [4] в виде L(2b12 g12 - g11b22 - b11 g 22 )2 + (1 - L)2 (b11b22 - ^2X^22 - g12) = 0 . (2) Соответственно безразмерный показатель псевдоминимальности с весом L 5(u v )= (2b12 g12 - g11b22 - b11 g22 )2 (1 - L )2 (b122 - b11b22 )(g11 g22 - g122) L 2. Построение поверхности В [1, 2] составлено дифференциальное уравнение, решение которого позволяет построить псевдоминимальную поверхность, проходящую через сечение параболоида вращения двумя плоскостями, проходящими через ось его симметрии. Уравнение в общем случае решается приближенно. Указанная поверхность может быть отнесена к составным поверхностям: она образована однопараметрическим семейством парабол, «подклеенных» своими вершинами к определенной линии G («гребневая линия») - она и определяется упомянутым дифференциальным уравнением. Возникает вопрос о моделировании псевдоминимальной поверхности (хотя бы приближенно), при этом можно обойтись более скромными средствами: обычно это упрощает исследование. Именно, пусть «гребневая линия» G - заданная парабола и к её текущей точке «подклеивается» парабола, зависящая от точки прикрепления так, что условие (1) выполняется вдоль линии G (рис. 1). Вопрос в том, насколько точно при этом выполняется хотя бы ослабленное условие (1.6) уже вдоль поверхности. Гребневая линия Рис. 1. Схема построения составной поверхности Fig. 1. Scheme of constructing the combined surface Схема построения пояснена на рис. 1. Заштрихована часть нормальной плоскости гребневой линии. Векторы et составляют ортогональный репер. Пунктирная линия - «подклеенная парабола». Гребневая линия пусть задана вектор-функцией r = {г,0, at2}, a = const, a > 0. Кривизна равна к = 2a * = V 1 + 4a212 ' Базисные векторы e, = r'(t), ез ={0,1,0}, e2 = [e3,e] Радиус-вектор текущей точки присоединенной параболы P (t, u) = r (t) - h(t)u2E2 (t) + uE3 (t) . Таким образом, P(t, u) = {t - 2au2h(t), u, at2 + u2h(t)} . Условие (2), примененное вдоль гребневой линии, дает нам уравнение L2 ha + ha + 4 ha3t2 + Lh2 + La2 + 96 Lh2 a4t4 + 256lh2a6t6 + +16 Lh2a2t2 + 256Lh2 a8t8 + 4 L2 ha3t2 + 8Lha3t2 + 32 Lha5t4 = 0. Уравнение второй степени относительно h(t). Дискриминант равен a2 (l + 4a2t2 )2 (L -1)2 (L2 +16La2t2 + 2L +1) . Совпадение корней равносильно тому, что вдоль гребневой линии сумма главных кривизн равна нулю. (3) (4) В качестве первого корня уравнения (4) примем h(t) (-8La2t2 -1 - L2 + V16La2t2 +16lla2t2 +1 - 2L2 + L4 - 32a2L2t2 ) a 2L (1 + 8a2t2 + 16a 4t4 + 4 a 2t2 ) Тогда при a = 1 для различных значений L получаем поверхности (3), изображенные на рис. 2. z 0.4 0.2 -0.2 -0.4 0 Рис. 2. Поверхности, приближенно псевдоминимальные при L = 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 (очередность сверху вниз) Fig. 2. Surfaces approximately pseudominimal at L = 0.4, 0.6, 0.8, and 1.0 (from top to bottom) Вектор-функция (3) слишком сложна для дальнейшего анализа, и для неё строится дробно-рациональное приближение P = {X5, Y, Zs } . (5) Здесь 12a2 L2t2 + 12La 2t2 + 48L2 a4t4 + 48 La4t4 + 64 L2a6t6 + + 64 La6t6 + L2 + L + 16a4u 2 Lt2 + 2a2 u2 L + 2a2 u 2 (L + 1)L (1 + 4a 2t2 ) Y = u, Г 64L2t8 a6 + 64Lt8 a6 + 48L2t6 a4 + 48Lt6 a4 +12 L214 a 2 + ' +12Lt4a2 + L2t2 + Lt2 - 8u2La2t2 - u2L - u2 t Xs =- (6) =- (L + 1)L (1 + 4a 2t2 ) Относительная погрешность построенного приближения оценивается выражением s =P - Psl Значения погрешности при a = 1 и L е {0.6, 0.7, 0.8,0.9,1.0} приведены на рис. 3. S - 2.0-10-3: 1.5-10-3: 1.0-10-3: 0.5-10-30: Рис. 3. Относительная погрешность s для L = 0.6,0.7,0.8,0.9,1.0 (очередность снизу вверх). Для L е {1.0,1.1,1.2,1.3,1.4} результат аналогичный Fig. 3. Relative error е for L = 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, and 1.0 (from bottom to top). For L = {1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4}, the result is similar. Безразмерный индекс псевдоминимальности для a = 1 и L е {1.00,1.05,1.10, 1.15,1.20} представлен на рис. 4. Этот же индекс для a = 1 и L е {0.6,0.7,0.8, 0.9,1.0} приведен на рис. 5. Использование второго корня уравнения (4) в качестве функции h(t) принципиально картину не меняет. 2 Рис. 4. Безразмерный индекс псевдоминимальности для L = 1.00,1.05,1.10,1.15,1.20 (очередность сверху вниз) Fig. 4. Dimensionless index of pseudominimality for L = 1.00, 1.05, 1.10, 1.15, and 1.20 (from top to bottom) t u 5(u,t) 0 0.510-3 1.010-3 1.510-3 2.0-10-3 2.5-10-3 -0 5(u,t) 0 -0.01 -0.02 -0.03 2 1.5 Рис. 5. Безразмерный индекс псевдоминимальности для L = 0.80, 0.85,0.90, 0.95,1.00 (очередность снизу вверх) Fig. 5. Dimensionless index of pseudominimality for L = 0.80, 0.85, 0.90, 0.95, and 1.00 (from bottom to top) u t 3. Задание поверхности явным уравннием В некоторых случаях задание поверхности как годографа вектор-функции не столь удобно как использование уравнения вида z = f (X, y). (7) Наличие уравнений (6) позволяет решить этот вопрос локально и приближенно. В окрестности начала координат приближенное разрешение первых двух уравнений приводит к соотношению „a2xy2 a1 (L + 3)x3y2 ™4y4 x3a2 (L + 3)y4 t и T = x - 2-- + 8-y' + 4-f---64- v L L2 + L L2 L2 (L +1) Уравнение вида (7) получаем, внеся в третье из уравнений (6) T вместо t и y вместо u . Результат подстановки не приводим ввиду крайней громоздкости. Для a = 1, L = 6 приводим изображение поверхности (5) и поверхности (7). Рис. 6. Изображение поверхности (5) (крупная клетка) и поверхности (7) (мелкая клетка) Fig. 6. Image of surface (5) (large squares) and surface (7) (small squares)

Скачать электронную версию публикации