Totally ordered fields with symmetric gaps.pdf Предварительные сведения Строение сечений в упорядоченном поле несёт существенную информацию о свойствах самого поля. В данной статье будем использовать понятия симметричного и трансцендентного сечений из классификации сечений, разработанной Г.Г. Пестовым [1-4]. Автором статьи были полностью исследованы симметричные сечения для полей ограниченных формальных степенных рядов и некоторых моделей нестандартной вещественной прямой [5-7]. В данной статье исследование симметричных сечений продолжается для более общего случая. Сечение (A, B) упорядоченного поля K называется симметричным, если для каждого a е A существует такое ax е A , что (aj + (aj - a)) е B, и для каждого Ь е B существует такое Ь е B, что (Ьг -(Ь -bj)) е A [1-4]. Пусть A - упорядоченное множество. Говорят, что подмножество X множества A конфинально A, если для каждого x е A существует y е X , такой, что x < y . Наименьшая мощность среди мощностей всех множеств, конфинальных A , называется конфинальностью A и обозначается cf (A) [4]. Конфинальностью симметричного сечения (A, B) называется cf (A) [4,8]. Пусть P - упорядоченное расширение поля K . Будем говорить, что элемент t е P \ K порождает сечение (A,B) в упорядоченном поле K , если A < t < B . Говорят, что многочлен f (x) меняет знак на сечении (A, B) упорядоченного поля P , если существуют такие a е A, Ь е B , что на множестве A n [a, Ь] многочлен строго положителен (отрицателен), а на множестве B n [a, Ь] строго отрицателен (положителен). Если все многочлены из P[x] не меняют знак на сечении, то это сечение называется трансцендентным. В противном случае сечение называется алгебраическим [1-4] . Теорема 1.1. [1] Упорядоченное поле P вещественно замкнуто тогда и только тогда, когда все сечения P трансцендентны. Пусть G - линейно упорядоченная мультипликативная абелева группа, R -поле вещественных чисел. Через R[[G]] обозначается [9] поле формальных степенных рядов вида x = ^ rgg , rg е R, где носитель ряда supp(x) = {g е G | rg Ф 0} - вполне антиgeG упорядоченное (каждое непустое подмножество имеет наибольший элемент) подмножество группы G. Полагаем x > 0 » rg0 > 0, g0 = max(supp(x)). Пусть p - кардинал, K0 < p | a |. Если a и b архимедовски эквивалентны, то пишем a ~ b . С каждым упорядоченным полем K связано понятие его группы архимедовых классов, она получается как фактор-группа мультипликативной группы K \{0} по отношению к архимедовской эквивалентности [1-4]. Группа архимедовых классов упорядоченного поля R[[G]] изоморфна G . Как было доказано Капланским [8, 9], каждое линейно упорядоченное поле вкладывается с сохранением порядка в поле формальных степенных рядов, построенное по группе архимедовых классов данного поля. Мультипликативная группа G называется делимой [8], если для любого g е G и любого натурального n существует решение уравнения hn = g . Доказано [8], что если группа G - делимая, то поля R[[G]], R[[G, Р]] вещественно замкнуты. Поле R[[G]] является архимедовски замкнутым, что равносильно отсутствию симметричных сечений [2-4], [10]. Теорема 1.2. [2] Если сечение (A, B) поля K трансцендентно, то порядок из K единственным образом продолжается на поле K(t), полученном заполнением этого сечения. Теорема 1.3. [3] Пусть P есть упорядоченное расширение поля K , такое, что для каждого x е P существует y е K , такое, что x ~ y. Тогда каждый элемент из P \ K индуцирует симметричное сечение в K . Теорема 1.4. [3] Пусть K есть подполе архимедовски замкнутого поля P и (A, B) есть симметричное сечение в K. Тогда существует t е P такое, что A < t < B . Теорема 1.5. [2] Пусть упорядоченные вещественно замкнутые поля F1, F2 таковы, что | Fj | = | F2 | = а и конфинальность каждого симметричного сечения в обоих полях равна а. Тогда для того чтобы F1, F2 были упорядоченно изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы группы архимедовых классов этих полей были изоморфны. Теорема 1.6. [10] Пусть G - линейно упорядоченная делимая абелева группа. Пусть р - кардинал, К0 < Р < | G |. Тогда конфинальность каждого симметричного сечения поля R[[G, Р]] равна cf (Р). В частности, если р - регулярный кардинал, то конфинальность каждого симметричного сечения R[[G, Р]] равна р . Следствие 1.7. (ОКГ) Пусть G - линейно упорядоченная делимая абелева группа, р - регулярный кардинал, К0 < Р = cf (G) = | G |. Тогда каждое вещественно замкнутое поле K мощности р с группой архимедовых классов G, в котором каждое симметричное сечение имеет конфинальность р , упорядоченно изоморфно полю R[[G, Р]]. Доказательство. Так как р = cf (G), группа G имеет вполне антиупорядо-ченные подмножества мощности р . Поэтому R[[G]]\ R[[G, Р]] . При ОКГ мощность поля R[[G, Р]] равна | G | (см. [8]). Пусть поле K удовлетворяет условиям следствия, тогда | K | = | R[[G, Р]] | =р. Группы архимедовых классов обоих полей равны G . Симметричные сечения обоих полей имеют конфинальность р . По теореме 1.5 K изоморфно R[[G, Р]]. Свойства упорядоченных полей с симметричными сечениями Рассмотрим некоторые следствия теории сечений, изложенной в [1-4], [10]. Лемма 2.1. Пусть P - упорядоченное расширение поля K , (A,B) - сечение поля K и между берегами сечения (A, B) нет элементов из P . Тогда пара множеств (A,B), заданная следующим образом: A = {x e P13a e A x < a}, B = {x e P13b e B b < x}, является сечением поля P и cf (A, B) = cf (A, B). При этом если (A, B) симметричное сечение, то (A,B) также симметричное сечение. Доказательство. По условию A с A, B с B. Так как между берегами (A, B) нет элементов из P , то (A, B) - сечение P . Множество наименьшей мощности, конфинальное A , будет также и множеством наименьшей мощности, конфиналь-ным A , поскольку A конфинально A . Отсюда получаем cf (A, B) = cf (A, B). Пусть теперь (A,B) - симметричное сечение; докажем, что (A, B) также симметрично. Пусть a e A . Найдётся a e A такое, что a < a . Далее, по определению симметричного сечения существует такое a1 e A , что (a1 + (a1 - a)) e B . Из того, что (a1 + (a1 - a)) < (a1 + (a1 - a)) и (a1 + (a1 - a)) e P , следует, что (a1 + (a1 - a)) e B . Аналогично, для каждого b e B существует такое b1 e B, что (b - (b - b1)) e A . Утверждение 2.2. Пусть упорядоченное поле K имеет группу архимедовых классов G. Сечение (A, B) поля K симметрично тогда и только тогда, когда существует элемент t e R[[G]] \ K такой, что A < t < B . Доказательство. Если t e R[[G]] \ K таково, что A < t < B, то по теореме 1.3 (A, B) симметрично. Это следует также и из теоремы 1.4, так как поле R[[G]] архимедовски замкнуто [10]. С другой стороны, если между (A, B) нет элементов из R[[G]], то (A, B) индуцирует (по лемме 2.1) симметричное же сечение (A, B) в R[[G]], но в R[[G]] нет симметричных сечений [10]. Докажем следующий факт, используя теорию сечений. Лемма 2.3. Пусть Г - вполне упорядоченное множество, {Fy }уеГ - семейство вещественно замкнутых упорядоченных полей, таких, что Vy1, у2 e Г y1 < у2 ^ F с Fy . Тогда F = U Fy - упорядоченное вещественно замкнутое уеГ поле. Доказательство. Очевидно, что F - упорядоченное поле. Проверим вещественную замкнутость F . Согласно теореме 1.1, достаточно доказать, что все сечения поля F трансцендентны. Допустим противное, т.е. пусть существует алгебраическое сечение (A, B) поля F. Тогда существует многочлен f (x) e F[x] и такие a e A, b e B , что на множестве A n [a, b] многочлен f (x) строго положителен (отрицателен), а на множестве B n [a,b] строго отрицателен (положителен). Найдётся Fy0, такое, что f (x) e Fy0 [x] и a, b e Fy0. Тогда f (x) строго положителен (отрицателен) на A n [a,b] n Fy , а на множестве B n [a,b] n Fy строго отрицателен (положителен). Это означает, что сечение (A n Fy , B n Fy ) поля Fy -алгебраическое, что противоречит вещественной замкнутости Fy . Конструкция упорядоченного поля с симметричными сечениями Пусть вещественно замкнутые упорядоченные поля P и K имеют одинаковую группу архимедовых классов G, K с P . Пусть (A,B) - симметричное сечение поля P , р - кардинал, К0

Скачать электронную версию публикации