Construction of an analog of the Fredholm theorem for a class of model first order integro-differential equations with a.pdf Теория интегродифференциальных уравнений с регулярными коэффициентами и с сингулярными коэффициентами является одним из важных разделов теории интегральных и дифференциальных уравнений, которая находит широкое и многообразное применение в физике и технике. На истории возникновения и применения теории интегродифференциальных уравнений наши классики и современники подробно останавливались в своих работах, например в [1-6] и в приведённой там литературе. За последние годы теория интегродифференциальных уравнений в основном развивается в двух направлениях. Первое направление связано с изучением интегродифференциальных уравнений, появляющихся в конкретных физических или механических задачах [1, 4, 6, 7]. Второе направление связано с построением общей теории для неисследованных классов интегродифференциальных уравнений. Ко второму направлению также относится изучение различных абстрактных интегродифференциальных уравнений в банаховых пространствах [8, 9]. Также в последние годы активно развивается решение прямых и обратных задач или задач с малыми параметрами для интегродифференциальных уравнений [10-12]. Одной из малоизученных задач в теории интегродифференциальных уравнений является изучение интегродифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами. Некоторые результаты в этом направлении получены для сингулярно возмущённых систем интегродифференциальных уравнений [13-16]. Но заметим, что сингулярность в зависимости от изучаемой задачи бывает разной природы, и поэтому подход отдельных авторов в изучении сингулярных задач бывает разнообразным. В классических сингулярных интегродифференциальных уравнениях интегралы в основном понимаются в смысле главного значения по Коши, и поэтому для решения таких уравнений применяются методы теории аналитических функций. В отличие от этого ниже мы будем рассматривать сингулярное интегродифферен-циальное уравнение, в котором интегралы понимаются в обычном смысле Рима-на. То есть будем рассматривать вопрос об изучении интегродифференциального уравнения вида B y(tК C„+! y(t) у '(x)+--y (x)+f V - n J dt = f (x), (1) (t - a)a (t - a)a+1 для случая a = 1, где A, B, C - заданные постоянные числа, f (x) - заданная функция, y (x) - искомая функция. Определение 1. Уравнение (1) будем называть модельным интегродиффе-ренциальным уравнением первого порядка с сингулярным коэффициентом, когда a = 1; со сверхсингулярным коэффициентом, когда a > 1 и со слабосингулярным коэффициентом, когда a < 1. Как видно, в (1) коэффициенты при y' (t) и y (t) под интегралом в случае a > 1 являются не фредгольмовыми и уравнение (1) в таком виде до настоящего времени никем не изучено. Нефредгольмовость ядра уравнения (1), как будет показано ниже, влечёт за собой новые и интересные свойства решения этого уравнения. Постановка задач и их решение Пусть r = {x: a < x < b} - множество точек на вещественной оси. На Г рассмотрим модельное интегродифференциальное уравнение (1) в сингулярном случае (a = 1), т.е. рассмотрим уравнение вида У' (x)+ ~~У (x)+f V - п J ^ ■y (t» dt = f (x), (2) где A, B, C - заданные постоянные числа, f (x) - заданная функция, y (x) - искомая функция. Следуя работам [17 - 20], прежде всего, через Cla [a,b] обозначим класс таких функций, которые имеют производные первого порядка и в точке x = a обращаются в нуль с асимптотическим поведением: У (x) = o [(x - a)Y1 ], Y1 > 1, а первые производные от этих функций в точке x = a обращаются в нуль с асимптотическим поведением: У(x) = o[(x-a)Y2], Y2 >s , и решения однородного уравнения (2) будем искать в этом классе. Таким образом, для нахождения общего решения однородного уравнения (2) частные решения этого уравнения будем искать в виде y (x) = (x - a, где X -постоянное число. Подставляя эту функцию в левую часть уравнения (2), для определения X получим следующее характеристическое уравнение: X2 -(1 - A - B)X + C-A = 0. (3) В зависимости от корней характеристического уравнения (3) решение уравнения (2) получим в следующем виде: I. 1. Пусть D = (1 - A - B )2 - 4 (C - A) > 0, Х12 = 1 - A - ^ и корни характеристического уравнения (3) удовлетворяют неравенству 1

Скачать электронную версию публикации