Generalized solutions of the degenerate hyperbolic equation of the second kind with a spectral parameter.pdf 1. Постановка задачи Рассмотрим уравнение ymUxx - Uyy +X2ymU = 0, (1) где m - действительное число, причем -1 < m < 0, а X - действительное или чисто мнимое постоянное число. Пусть a, b, M, N - некоторые действительные числа, причем M < N 0. Здесь 1 = x--y(m+2)/2, П = x + y(m+2)/2. (2) m + 2 m + 2 Для уравнения (1) прямая параболического вырождения является особой характеристикой - огибающей обоих семейств характеристик. В зависимости от степени вырождения m предельные значения т(x) = U(x, +0), v(x) = U'y (x, +0) могут иметь особенности. Чтобы обеспечить необходимую гладкость решения U (x, y) вне линии характеристического вырождения, необходимо требовать повышенную гладкость функций т( x) и v( x). С целью ослабить это требование в [1] дано определение и изучены свойства так называемого класса R2k (здесь и далее k принимает значения a и b ) обобщенных решений уравнения (1) в области D , который при X = 0 и k = 0 совпадает с классом R2, введенным и изученным И. Л. Каролем [2]. Кроме того, на основе известной формулы классического решения задачи Коши [3] для уравнения (1) в [1] получен явный и удобный для дальнейших исследований вид обобщенного решения этой же задачи в классе R2k и исследованы обобщенные решения, для которых т'( x), v( x) е С (a, b) вместо требуемого С2[a,b] . В настоящей работе исследуются задачи Коши - Гурса и Гурса для уравнения (1) в классе обобщенных решений и приводится пример, показывающий важность введения понятия такого класса. Прежде чем перейти к решению поставленных задач вводятся в рассмотрение некоторые операторы с функциями Бесселя в ядрах. Именно выявленные здесь новые свойства этих операторов играют важную роль при получении явных интегральных представлений исследуемых задач. Задача Коши - Гурса. Требуется найти в области D решение U(|, п) уравне (3) ния (1) из класса R2k , удовлетворяющее начальному условию U'у (x, +0) = v( x) и одному из условий U|AB =Wa(x), a 0; Ja (z) =Г(а + 1)(z /2)-а Ja (z) - функция Бесселя - Клиффорда. Доказательство равенств (14)-(15) проводится разложением функций Бесселя в степенные ряды и сравнением коэффициентов. 3. Обобщенное решение задачи Коши Решение задачи Коши для уравнения (7), удовлетворяющее начальным условиям (8) и u(J, J) = t(J), с < x < b, (16) известно [3]: л - 2I2 u(J, п) = к,(п - J)-2MI (rр I в (^л/Т)--r1+p I1+B (Ял/r))x(/)dt - ^^ J -р (1 + Р)(1 + 2Р) 1 п _ п _ (n-J)-2e-11re Ip(Wr)(n + J-2t) x'(t)dt-к21r~p I_e(Xy/r) v(t)dt, (17) 2(1 + 2P) где г = |(n-t)(t-Q|, К =rg±M к2 = [2(1-2РХГ1 Ш-2^, /- (z) = Ja(iz). Г2(1 + P) г 2(1 -P) Если т(х) e C3[a,b] и v(x) e C2[a,b], то функция u(I,n), определенная формулой (17), является классическим, дважды непрерывно дифференцируемым решением задачи Коши для уравнения (7) с начальными данными (8) и (16) в области Д. Определение 1. Если функции т '(х) и v(х) непрерывны при a < х < b, то выражение вида (17) будем называть обобщенным решением уравнения (7) в области Д . Для того чтобы обобщенное решение обладало той или иной гладкостью, необходимо, чтобы функции т( х) и v( х) имели определенную гладкость. Рассмотрим класс Rh. обобщенных решений уравнения (7). Здесь и далее к принимает значения a и b . Определение 2. Обобщенным решением класса Rh. уравнения (7) будем называть функцию u(I, n) вида (17), где т( х) представимо в виде х т(х) = т(к) + sgn(х - к)11х -1\~2р 7р [X |х -t|] T(t)dt, (18) k а v( х) и T (х) - непрерывные и интегрируемые в (a, b) функции. Замечание 1. Из (18) нетрудно заключить, что т(х) e C[a,b] и существует т '(х) e C(a,b). Следовательно, обобщенное решение класса R2k является обобщенным решением в смысле определения 1. Замечание 2. Не ограничивая общности, будем считать, что т(к) = 0 . При невыполнении этого условия, прибавив к функции u(I, n) частное решение уравнения (7) вида w(I, n) = A ch(X(n + I)/ 2) + B sh(X(n +I)/ 2), можно распорядиться коэффициентами A и B так, что новая функция в точке (к, 0) примет нулевое значение. Для определенности, обобщенное решение, принадлежащее к R^ обозначим через и2к (I n) . Согласно [1], интегральные представления обобщенных решений задачи Коши из классов Ra и Rib соответственно записываются следующим образом: I _ n _ u2a (I, n) = |r~p J-p (Хл/r )T(t)dt + |r~p I-p (X>/r)N(t)dt; (19) a I bn u2b (I, n) = | r~p J-p (X4r )T(t)dt +1 r~p 7-p (X4r)N(t)dt, (20) n I где N (t) = [2 cos Рл]-1 T (t) - K2v(t). Лемма 2. Обобщенное решение u2k (I, n) 6 R;k обладает следующими свойст вами: - Я2 1) u2k (I, n) 6 С ( д) п С1 (Д), -U-6 С(А); 2) u2k (I, n) удовлетворяет уравнению (7) и условиям (8), (16). Для X = 0 лемма 2 доказана в [6]. При наличии X доказательство леммы существенно не отличается. 4. Обобщенное решение задачи Коши - Гурса При решении задачи Коши - Гурса для уравнения (7) будем пользоваться соответствующим интегральным представлением задачи Коши. Пусть k = a. В этом случае, полагая в формуле (19) I = a и учитывая условие (9), получаем интегральное уравнение для определения N(х): х _ I (х -1)-e (t - a)-p 7_р [xV(х -1)(t - a) ] N(t)dt = фа (x). a Последнее уравнение в результате применения равенства (14) при a = b можно привести к виду, удобному для дальнейшего исследования: DV {{[(х-a)-PN(х)]} =г(11-в)Фa(х). (21) Применяя теперь к обеим частям уравнения (21) последовательно операторы и ^at , получаем T (х) = K3V( х) + 2cos Рл-Ф a (х), (22) где Кз = 2k2COS Рп, Фa (х) =Г(aa_в)(x - a^ Al«X {{Р[фa (х)]}. Подставляя (22) в (19), находим представление решения задачи Коши - Гурса (7) - (9) из класса в явном виде I _ U2a (I, n) = | (I - t)-P (n - t)-P J-e [W(n- t)(|- t) ] [кз V(t) + 2 COS Рп - Фa (t)] dt + a n _ +| (n -1 )-e (t - |)-p 1-е [W (n - t )(t -I) ] Ф a (t )dt . (23) I Доказательство, приведенное нами, переносится и на случай к = b . Таким образом, представление решения задачи Коши - Гурса (7), (8), (10) из класса R^b выписывается в явном виде: 2b n n (I, n) = I (t - I)-P (t - n)-e J-p [W (t -n)(t -I) ] [k3v(t) + 2 cos Рп - Фь (t)] dt + n _ +I(n-1)-e(t-I)-e 1-е [W(n-1)(t-I)]Фь(t)dt, (24) где Фь (x) = - x)P AL {{[Фь (x)]} . Здесь также можно доказать лемму, аналогичную лемме 2. Замечание 3. Полученные явные интегральные представления (23) и (24) обобщенного решения задачи Коши - Гурса для уравнения (1) играют важную роль при исследовании задач для уравнений смешанного типа, так как из них при п = 1 легко вывести основные функциональные соотношения между т( x) и v( x) на линии вырождения, принесенные из гиперболической части смешанной области. Замечание 4. Класс обобщенных решений уравнения (7) при изучении задачи Коши - Гурса (8), (9) является существенным: если решение уравнения (7), удовлетворяющее условиям (8), (9), не принадлежит к R2a, то нарушается единственность решения задачи. Пример. Функция [7] «(I,п) = [(I-a)(n-a)]-P Jp (Wй-a)(n-a)) является решением уравнения (7), удовлетворяющим однородным условиям (8) и (9). Однако она не принадлежит к классу функций R2a. В справедливости последнего утверждения можно убедиться, например, с помощью метода от противного. 5. Обобщенное решение задачи Гурса Рассмотрим в области Д задачу Гурса для уравнения (7) с условиями (9) -(11). При изучении этой задачи будем пользоваться представлением решения задачи Коши - Гурса для уравнения (7). Пусть k = a. В этом случае, полагая в формуле (23) п = Ь и учитывая условие (10), получаем интегральное уравнение x | (x -1 )-р (Ь -1 )-р J-p [xV (Ь -1)(x -1) ] [k3v(t) + 2 cos Рл • Ф a (t)] dt + a ь +J (b -1)-p (t - x)-p 7-p [W(Ь -1)(t - x) ] Фa (t)dt = фь (x). (25) x Разрешая интегральное уравнение (25), имеем k3v(x) + 2cos Pn • Фa (x) = Ab [Da-вФь (x)] - - (b - x)e [Da- PDe-1 {{ [(b - x)-^a (x)]}] . (26) Подставляя (26) в формулу (23), получаем интегральное представление обоб- «2a (I, П) е Rxa щенного решения u2a (|, п) е R^a задачи Гурса для уравнения (7) с условиями (9) - (11) в виде , I «2a (I,n) ^ (I-t )-Р (п-t )-Р J-p (п-t )(|-t)] (Ь-t)P Albt {{ [фь (t )]}dt- -J (I-t )-e (n-t )-e J-p[W (n-t )(|-1) ] (b -1 )e A^t {(- {( [(b -1 )-рФ a (t )]}]}dt+ a n _ +J(n -1)-e(t-|)-e I-p [W(n-1)(t-I)]Фa(t)dt. (27) I Аналогично находится обобщенное решение этой же задачи, принадлежащее к Я^ь : 1 ь U2b (I,n) n (t-I)-P (t-n)-P J-P [W (t-n)(t-I)] (t-a)e Abat {( [Pa (t)]}dt- -J(t-I)-e (t-n)-P J-p [W(t-n)(t-I)](t-a)e4* {( [D- {( [(t-a)-e Фь (t)]}]}dt+ n n _ +J(n-1)-e(t-I)-eI-p [W(n-1)(t-I)]Фь(t)dt. (28) I Замечание 5. Из формул (27) и (28) нетрудно заметить, что при исследовании задачи Гурса для уравнений гиперболического типа второго рода, в отличии от уравнений первого рода, нарушается равноправие характеристик. Это обстоятельство связано с необходимостью введения представления (18).

Скачать электронную версию публикации