Pulse heating of a medium by assemblies of hollow cylindrical conductors inductively heated in the magnetic field of a s.pdf В [1] описывается плазмозамещающая технология зажигания пороховых метательных зарядов, основанная на замене плазмы высокотемпературными двухфазными продуктами сгорания дополнительного заряда из высокоэнергетического топлива, например, [2]. Эффективное и быстрое зажигание таких топлив осуществляется потоками мелкодисперсных раскаленных металлических частиц [3], которые генерировались электрическим разрядом через расположенные в топливе проводники, гальванически соединенные с источником электрической энергии [4]. В отличие от [4] в данной работе рассматривается бесконтактная индукционная схема генерации, в которой нагрев и последующая капельная деструкция ко-роткозамкнутых фольговых проводников происходят в переменном магнитном поле соленоида. Возможности такого дистанционного способа быстрого нагрева и капельной деструкции тонкостенных цилиндрических проводников подтверждены экспериментально на модельной индукционной установке [5]. Эта схема снимает проблему надежных электрических контактов с токоподводящими электродами и связанные с ней ограничения на размеры, количество и положение проводников, что, в свою очередь, позволяет осуществлять многоочаговый нагрев и зажигание топлива в необходимых частях заряда. 2017 № 46 Математика и механика Схема устройства. Постановка задачи Индукционный нагрев проводников осуществляется переменным магнитным полем, которое генерируется при электрическом разряде конденсаторной батареи через соленоид (см. рис. 1). B(t) A 1 A - A C Рис. 1. Общая схема устройства индукционного нагрева ансамблей короткозамкнутых проводников: 1 - ансамбли полых цилиндрических проводников, 2 - соленоид, B- вектор магнитной индукции магнитного поля соленоида, К - ключ-коммутатор, I - ток в цепи соленоида, U0 - начальное электрическое напряжение на конденсаторной батарее емкостью C Fig. 1. General scheme of a device for induction heating of assemblies of short-circuited conductors: 1, assemblies of hollow cylindrical conductors; 2, solenoid; B, vector of the magnetic field induction of the solenoid; К, switch key; I, current in the solenoid circuit; and U0, the initial voltage of the capacitor bank with capacity C Эффективный режим нагрева проводников достигается при необходимом по-токосцеплении между проводниками и соленоидом. Совокупности индуктивно связанных между собой проводников образуют ансамбли. Электрическая схема устройства индукционного нагрева ансамблей проводников показана на рис. 2. Схема состоит из электрических цепей соленоида и короткозамкнутых тонкостенных проводников, каждый из которых индуктивно связан с соленоидом и соседними проводниками ансамбля. Проводники образуют К ансамблей Ak, каждый из которых состоит из N проводников. Использованы следующие обозначения: L0, R0 - индуктивность и сопротивление конденсаторной батареи, ключа и соединительных кабелей, Ls и Rs - индуктивность и сопротивление соленоида, Lkn, Rk.n и ik.n - соответственно индуктивность, сопротивление и ток n-го проводника в k-м ансамбле, Mkn - взаимные индуктивности n-го проводника в k-м ансамбле с соленоидом и Mk.m.n - взаимные индуктивности n-го и m-го проводников в k-м ансамбле. Предполагается, что проводники из разных ансамблей между собой индуктивно не связаны. Наклонной стрелкой отмечены параметры, изменяемые в процессе разряда конденсаторной батареи. В дальнейшем рассматриваются тонкостенные полые цилиндрические проводники, толщина стенки которых г1-г0 много меньше его внутреннего радиуса r0. Проводники расположены соосно с соленоидом, каждый из ансамблей состоит из семи одинаковых проводников, причем расстояния между центрами соседних проводников одинаковы (см. рис. 3). Такое расположение проводников в соленоиде обеспечивает их эффективный индукционный нагрев. 1^1.1 L1.n i1.n L1.N i1.N LK.1 K.1 LK.n iK.n LKN iK.N .n.N Рис. 2. Электрическая схема устройства индукционного нагрева ансамблей проводников Fig. 2. Electrical circuit of the device for induction heating of the assemblies of conductors L1.1 i1.1 A J' R1.N J ^Гяк.1 ) Ak Jrk.n Рис. 3. Компоновка ансамбля проводников в поперечном сечении соленоида: 1 - центральный проводник; 2 - периферийные проводники; 3 - катушка-соленоид; M1 - взаимная индуктивность двух соседних проводников; M2, M3 - взаимная индуктивность двух периферийных проводников. между которыми находится один и два периферийных проводника соответственно; a - длина проводников Fig. 3. Arrangement of the assembly of conductors in a cross section of solenoid: 1, central conductor; 2, peripheral conductors; 3, coil-solenoid; M1, mutual inductance of two adjacent conductors; M2 and M3, mutual inductance of two peripheral conductors with one or two peripheral conductors in-between, respectively; a is the length of the conductors При постановке задачи использованы следующие предположения: токи и температуры соленоида и проводников однородны по сечениям; значения теплоём-костей c материалов проводников и соленоида постоянны при температурах от комнатной до плавления; удельные сопротивления материалов проводника и соленоида п являются линейными функциями их температуры [6]; диффузия магнитного поля в проводники пренебрежимо слабо влияет на их нагрев [7]; теплообмен соленоида с топливом пренебрежимо мал; теплообмен между проводниками и прилегающими к ним слоями топлива осуществляется по закону Ньютона с постоянным коэффициентом теплообмена H; коэффициент теплопроводности топлива X также постоянен. При сделанных допущениях электротехнические и тепловые параметры цепи соленоида и ансамблей проводников описываются следующей системой уравнений: I = f (I ,U, R, ik.n, Rkn), 1(0) = 0; U = -ICU(0)=U0; СЛ = A-1 [(MMk.2-UMkA)f (I,U,R,iLn,Rkn) + 6^А2 -L3Rfc.1ik.1], ik.1 (0) = 0; £2 =A1 [(Л^^^Л - AMk.2 )f I1 ,U ,R,ik.n ,Rk.n )+ M1Rk .1ik .1 - L1Rk .2ik .2 ] 4.2 (0) = 0 ; R = b0 (R - R0 )12, R (0 ) = R0 + R, (0); (1) Rk.1 = b [b2ik.12Rk.1 - b!2 ( - гс*кл)], Rk.1 (0) = R00; Rk.2 = b [b2ik.22Rk.2 - b12 ( - ^.2 )] , Rk.2 (0) = R00; T = b (R - R )I2, T (0) = T0; Tk.1 = b2ik.12Rk.1 -b12 ( -T^ ), Tk.1 (0) = T0 , TCk.1 (0) = T0; Tk.2 = b2ik.22Rk.2 - b12 (Tk.2 - T^k.2 ), Tk.2 (0) = T , T^ (0) = T0; f (I ,U, R, ik.n, Rk.n ) = A(U-RI) + £[[л (L3Mk.1 -6MMk.2) + 6Rk.2ik.2 (L^Mk.2 -MMk.1)] =_k=1_ K ' AL + £(12M1Mk.1Mk.2 -6L1M22 -L3M2kA) k=1 k = i^K, n = 1,2. В (1) точка сверху обозначает производную по времени t, индексы k. 1, k.2 указывают на принадлежность к центральному и периферийным проводникам к-го ансамбля соответственно (см. рис. 3), T0 - начальная температура соленоида, проводников и топлива, U - текущее значение электрического напряжения на конденсаторной батарее, R,(0), R00 - начальные значения сопротивлений соленоида и каждого проводника соответственно, T ck1, T ck.2 - текущие значения температуры топлива на границе с соответствующим проводником. Входящие в (1) постоянные коэффициенты описываются следующими выражениями: L = L0 + Ls; L3 + 2 (Мь + M2) + М3; Д = LbL3 - 6Мь2; b0 = ЛьРь (aihi )-2 (Pici )-1; bi = (mici )-1; b2 = (mc)-1;b = -юР^; Rs (0) = nDWпь (abhb )-1; m = n(rb2 - r02 )ap; b12 = 2H [cP(r1 - r0 )]-1; R00 = n(r1 + r0 Ma (r1 - r0 )-1. Использованы следующие обозначения: m - масса проводника; р - плотность материала проводника; c - его удельная теплоемкость; в - температурный коэффициент для его удельного сопротивления п; Ръ сь Ръ Ль - соответствующие параметры материала соленоида; W, D, ть, аь, hb, - число витков соленоида, его средний диаметр, масса, а также ширина и высота поперечного сечения его витков. Все коэффициенты, описывающие индуктивности и индуктивные связи проводников между собой в ансамбле и соленоидом, рассчитываются с помощью аналитических соотношений из [8]. Уравнение теплопроводности, описывающее распределение температуры в топливе, выбирается в плоском одномерном виде, поскольку толщины прогретых слоев топлива много меньше внутреннего радиуса проводников r0. В рассматриваемой постановке тепловая задача для топлива сводится к решению 2K одномерных нестационарных уравнений теплопроводности для полупространства (см. рис. 4): dT d2T _ _JcJkn -c_k_n_, к = 1; K, n = 1,2; dt dx2 x > h = 0.5(r -Г0), Tc±n (t = 0, x > h) = T0 (2) где xc = Xc/pccc - температуропроводность топлива, Xc, рс, cc - его теплопроводность, плотность и удельная теплоемкость соответственно, h =0.5(гь - r0) - половина толщины проводника, x - локальная координата, направленная по нормали к поверхности проводника от среднего сечения его стенки. z ^ II ^ J j Топливо Топливо h h Пров дник Рис. 4. Схема задачи сопряженного теплообмена проводника и топлива Fig. 4. Diagram of the problem of conjugate heat transfer between conductor and fuel Граничные условия у стенок проводников при теплообмене по закону Ньюто на имеют вид dTc.k.n(t, x = h) = q . * . q = h -[Tck.n (t,x = h)- TLn (t)], dx *c где q - поток тепла через единичную поверхность (k.n)-ro проводника. (3) Таким образом, расчет температуры в слоях топлива, примыкающих к внутренним и внешним поверхностям ансамблей проводников, сводится к совместному решению 2(5K+1) уравнений (1), (2) с 2K граничными условиями (3). Алгоритм решения При расчетах используется точное аналитическое решение следующей вспомогательной сопряженной тепловой задачи в приближении идеальной теплопроводности проводника: dT i2 (t) dTc d 2Tc dx2 H x > h ; (4) dt h dt cp-= A(t) -[T -Tc (t,x = h)], A(t) = ^--c = x (2ah)2 dTc (t£ = h) = H [T - Tc (t, x = h)], T (t = 0 ) = Tc (t = 0, x > h ) = T,. Тепловая функция A(t) в (4) описывает динамику индукционного нагрева проводника в устройстве, электрическая схема которого приведена на рис. 5. Индексы «k.n», указывающие на принадлежность данного проводника к k-му ансамблю и положению в нем, опущены. K R L Рис. 5. Электрическая схема модельного индукционного устройства для определения тепловой функции точного решения Fig. 5. Electrical circuit of the model inductive device for determining the thermal function of the exact solution R1 C Аналитическое решение сопряженной тепловой задачи (4) получено для тепловой функции A (t) следующего вида: " ' (U0M)2 - R t R --1 4L (R C I L, (5) ю = A (t )= A0\e L [1 + cos (cot)]-2e L , A0 =■ 2L2 R1V Здесь V=n-a-(r12-r02) - объем цилиндрического проводника, L = L0 + Ls, R = R0 + Rs, L1 - индуктивность проводника, R1 - его сопротивление. Выражение (5) получено из точного решения электротехнической задачи (см. рис. 5) с учетом неравенства RiLi-1 >> RL_1, характерного для рассматриваемой индукционной схемы нагрева проводника. Решение краевой задачи (4), (5) построено с помощью интегрального преобразования Лапласа аналогично [9]. Из найденного решения в (1) подставляется выражение для температуры топлива на границе с соответствующим проводником: T,kM = Tc (t, X = h) = TO + Ao Ne [G (t, 5 = So) - 2G (t, 5 = 5^) + Gi (t)], Ne = Wt,(XcPcCc)-1, 5o = RL-\ 5kn = Rk.nLk.n \ Y = 0.5Ne+ /V, y = 0.5Ne-/V, v = ^jHt, (hcp)-1 -(0.5Ne)2, F(z) = e"2 erfc(z), p = (50 +/ro)t,, (6) F F |/v 5t G (t, 5) = - Im 5t, (- W5t, )(y -45t, (y^ ) "(y2 +5t,)V ( +50t,)) (^Vtt"^1) F j- G1 (t ) = Im ^Vp (Y+iS)(+iS) (y--/л/в) ( + 50t.) +(cot,)2 где t* - характерная длительность процесса нагрева проводника, / - мнимая единица. Из решения системы уравнений (1) определяются температуры проводников, после чего с помощью (6) рассчитываются тепловые потоки qk.n от проводников в топливо qt.n = H[Tkn(t) - Tc.k.n(t,x=h)]. Распределение температуры в топливе Tc.k.n(t,x) определяется из общего квадратурного решения тепловой задачи для полупространства при заданном на границе тепловом потоке [10]: (x-h)2 4Хс т 1 г e ^J qk.n(t-т) ^ dт, x - h. Tc.k.n X) = T0 +сPcCc 0 Амплитуда A0 тепловой функции A(t) из точного решения (5) корректируется поправочным множителем akn с помощью интегрального соотношения, определяющего количество тепловой энергии, выделившейся за время t. в проводнике при решении (1), (6) и при использовании тепловой функции A(t) из (5): 4.1 = ak.nA0, ak.n = J Rk.n (T>k2n (т) d T V J Ak.n (т) dт (7) где V = n(r12 - r02) a - объем проводника. Расчеты показывают, что после первой коррекции A0 при повторном решении (1), (6) вторая коррекция A02 практически совпадает с A01, так что достаточно одной итерации при решении сопряженной тепловой задачи (1), (2), (6), (7). Результаты расчетов Расчёты проведены для устройства со следующими параметрами: соленоид: W = 12, s1 = a1 xh1 = 4.6x2 мм2 - поперечное сечение шины, которой намотан соленоид, D = 45 мм, длина l = 60 мм, материал - медь, T0 = 20 oC; внешняя электрическая цепь: С = 0.238 мФ, R0 = 3 мОм, L0 = 2 мкГн, U0 = 8.3, 9 кВ; полые цилиндрические проводники: а = 5 мм, r0 = 5 мм, r1 = 5.2 мм, материал -магний, алюминий, количество проводников в ансамбле - N = 7 ( см. рис. 3), расстояние между центрами соседних проводников в ансамбле - 12 мм, количество ансамблей проводников - K = 1; 5, при K = 1 проводники ансамбля сосредоточены в среднем поперечном сечении соленоида, при K = 5 расстояние между соседними ансамблями проводников - 7.5 мм, причем средний ансамбль также расположен в среднем сечении соленоида; топливо: pc = 1.65 г-см-3, Xc = 30 Вт-м-1-град-1, cc = 1.5 кДж-кг-1-град-1, H = = 30 кВт-м-2- град-1. На рис. 6 построены расчетные осциллограммы токов в соленоиде и центральном проводнике, расположенном в среднем сечении соленоида, для вариантов с одним ансамблем проводников (рис. 6, а) и пятью ансамблями (рис. 6, b). В соленоиде и проводниках реализуются затухающие переменные токи с частотой 4 кГц. Ток в соленоиде I(t) почти на порядок больше индукционного тока в проводнике i(t). I, кА 20 0 -20 -40 -60 -- I i b | (1 л адшшл А-А Д^л ДА A-/V ;' r |ftlVA ; y vvA |(HV 40 I i а ,141111Шшлла- A (\J\C\jv nw^ /V V V V ^ V 0 1 2 3 4 t, мс I, кА 40 20 0 -20 -40 -60 0 1 2 3 4 t, мс Рис. 6. Токи в цепи соленоида I(t) и в центральном проводнике среднего ансамбля i(t): а - K=1, U0 =8.3 кВ, b - K=5, U0 =9 кВ Fig. 6. Currents in a circuit of solenoid I(t) and in the central conductor of the middle assembly i(t): (a) K = 1, U0 = 8.3 kV and (b) K = 5, U0 = 9 kV Практически совпадающий по токам вариант с пятью ансамблями проводников достигается за счет увеличения начального напряжения на конденсаторной батарее с 8.3 кВ при K = 1 до 9 кВ. При этом запасаемая на конденсаторной батарее энергия увеличивается на 17.6 %. На рис. 7 приведены результаты расчетов сопряженной тепловой задачи для проводников из магния и алюминия при одинаковых условиях их индукционного нагрева. T, °C 600 400 200 Рис. 7. Результаты нагрева топлива проводниками из магния и алюминия: a - температуры центральных проводников, b - профили температуры в топливе. K = 1, U0 = 8.3 кВ Fig. 7. Results of fuel heating by magnesium and aluminum conductors; (a) temperatures of the central conductors and (b) temperature profiles in the fuel. K = 1, U0 = 8.3 kV Проводники из магния нагреваются более эффективно, что позволяет интенсивней и на сравнительно большую глубину прогревать примыкающие к ним слои топлива. Температуры обоих проводников в процессе их индукционного нагрева не достигают температуры плавления, т.е. нагрев топлива осуществляется проводниками в твердом агрегатном состоянии. При повышении начального напряжения на конденсаторной батарее проводники могут быть расплавлены с последующей их капельной деструкцией [7]. При этом нагрев топлива интенсифицируется за счет более высокой температуры капель металла и за счет значительного увеличения поверхности диспергированного проводника. На рис. 8 показаны графики двух приведенных тепловых функций для центрального проводника B(t) = (рс)-1Л(/), имеющих размерность температуры. Здесь BTR(t) - зависимость, полученная из решения (1), (2) при скорректированном значении амплитуды A0.1 в (7), а Bf(t) -точное решение модельной задачи с учетом расчетных зависимостей R(t) и R1(t) при A0 = A01. Практически полное совпадение приведенных результатов иллюстрирует эффективность разработанного алгоритма решения задачи. На рис. 9 приведены графики индукционного нагрева центрального и периферийных проводников в среднем из пяти ансамблей. Центральный проводник нагревается более интенсивно, но его текущая температура не более чем на 10-15 градусов превышает температуру периферийных проводников. 8000 6000 4000 2000 0 0.4 0.8 1.2 1.6 t, мс Рис. 8. Приведенные тепловые функции нагрева центрального проводника BTR(t) и BT(t) K = 1, U0 = 8.3 кВ Fig. 8. Reduced thermal functions of heating of central conductor BTR(t) and BT(t), K = 1, U0 = 8.3 kV B, °C T, °C 600 400 200 Рис. 9. Индукционный нагрев центрального и периферийных проводников в среднем ансамбле K = 5, U0 = 9 кВ Fig. 9. Induction heating of the central and peripheral conductors in the middle assembly, K = 5, U0 = 9 kV 0 1 2 3 4 t, мс Влияние положения ансамблей проводников в соленоиде на динамику нагрева примыкающих к ним слоев топлива показано на рис. 10. Температура топлива слабо зависит от положения проводника внутри соленоида. Тс, °C 200 100 0.2 0.4 0.6 0.8 x, мм -Tch t=5 мс ---Tc2, t=5 мс • ■ • Tci, t=2 мс ----Tc2, t=2 мс Tci, t=1 мс Tc2, t=1 мс 0 T, °C 200 100 \ - - -xa=1,5; 4,5 см - - xa=2,25; 3,75 см -xa=3 см \ • \ • \ • V b \ ' \ 0.2 0.4 0.6 0. Рис. 10. Профили температуры в слоях топлива, примыкающих к проводникам: a - около центрального Tc1 и периферийных Tc2 проводников среднего ансамбля в различные моменты времени, b - около центральных проводников 1-3 ансамблей при t = 5 мс; K = 5, U0 = 9 кВ Fig. 10. Temperature profiles in the fuel layers adjacent to conductors: (a) near the central Tc1 and peripheral Tc2 conductors of the middle assembly at different time instants and (b) near the central conductors of assemblies 1-3 at t = 5 ms; K = 5, U0 = 9 kV Для крайних первого и пятого ансамблей расстояние от края соленоида составляет 15 мм, т.е. одну треть его среднего диаметра. Из представленных расчетов следует, что в течение 5 мс после начала разряда конденсаторной батареи прилегающие к проводникам слои топлива нагреваются до температур, характерных для их зажигания, причем такой нагрев осуществляется проводниками в твердом агрегатном состоянии, т. е. до начала их капельной деструкции. 0 Так, при нагреве в течение 5 мс одного ансамбля алюминиевых проводников КПД(и0=8.3 кВ) = 3.5 %, для одного ансамбля проводников из магния -КПД(и0=8.3 кВ) = 4.3 %. При нагреве пятью ансамблями проводников КПД резко увеличивается: для алюминиевых проводников - КПД(и0=9 кВ) = 15.4 %, а для проводников из магния - КПД(и0=9 кВ) = 18.4 %. Таким ообразом, эффективность процесса индукционного нагрева проводников в соленоиде значительно возрастает с увеличением их количества. С другой стороны, увеличение количества нагреваемых проводников повышает скорость нагрева окружающего их топлива и позволяет необходимым образом распределять тепловое воздействие на необходимые участки метательного заряда. Выводы Представлена и исследована методами математического моделирования индукционная схема устройства многоочагового бесконтактного нагрева топлив с помощью ансамблей тонкостенных полых цилиндрических проводников из магния, алюминия или других металлов с высокой удельной электропроводностью и относительно низкой температурой плавления. Показано, что такие устройства могут обеспечивать быстрый нагрев топлива до температур начала его инициирования в любых необходимых частях заряда. Параметром управления скоростью процесса нагрева является величина начального напряжения на конденсаторной батарее. Такие устройства актуальны для высокоэнергетических сме-севых топлив с ультрадисперсными порошками металлов и низкой скоростью послойного горения.

Скачать электронную версию публикации